1、2015 年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷数学（理科）本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，满分 150 分考试时间 120 分钟 注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2考生作答时，将答案答在答题卡上请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题无效 3选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用 O5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚 4保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 参考公式：
2、样本数据 x1，x2，xn的标准差 锥体体积公式 s=222121()()()nxxxxxxn V=31 Sh 其中 x 为样本平均数 其中 S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V=Sh 24SR，343VR 其中 S 为底面面积，h 为高 其中 R 为球的半径 第卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把答案填涂在答题卡相应位置1下列函数中，为奇函数的是（）Ay=x+1By=x2Cy=2xDy=x|x|2已知Ra，复数)1)(2(iiaz（i 为虚数单位）在复平面内对应的
3、点为 M，则“0a”是“点 M 在第四象限”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3若 a0，b0，a+b=1，则bay11 的最小值是()A2 B3 C4 D5 4函数)22sin(xy图象的一条对称轴方程为（）Ax2B4 xCx8Dx45某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则其侧视图的面积是（）A 12B32C1D 36阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的 S 的值等于 126，则判断框中的可以是（）Ai4？Bi5？Ci6？Di7？7若直线 y=kxk 交抛物线xy42 于 A，B
4、两点，且线段 AB 中点到 y 轴的距离为 3，则 AB=（）A12B10C8D68学校将 5 个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年段的 4 个班级，其中甲班级至少分配 2 个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，则不同的分配方案共有（）A20 种B24 种C26 种D30 种9常用以下方法求函数)()(xgxfy 的导数：先两边同取以 e 为底的对数（e271828，为 自 然 对 数 的 底 数）得 ln()ln()yg xf x，再 两 边 同 时 求 导，得1()ln()()ln()yg xf xg xf xy，即()()()ln()()ln()g xyf xg xf xg xf
5、 x运用此方法可以求函数()xh xx(x0)的导函数据此可以判断下列各函数值中最小的是()A1()3hB1()h eC1()2hD2()h e10如图，ABC所在平面上的点*()NnP n均满足 nP AB与 nP AC 的面积比为 3；1，1(21)3nnnnnxP AP BxP C（其中，nx是首项为 1 的正项数列），则5x 等于（）A65B63C33D31第卷（非选择题，共 100 分）二、填空题:本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分把答案填写在答题卡的相应位置11集合31xxA，1Bx x，则 BA_12某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元
6、)的统计资料如下表：根据上表数据可得 y 与 x 之间的线性回归方程7.0axy，据此模型估计，该机器使用年限为 14 年时的维修费用约为万元13向区域201,01,xyyx内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于 1 的概率为14已知圆1:22 yxO和双曲线)0,0(1:2222babyaxC若对双曲线C 上任意一点 A（点 A 在圆O 外），均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C上的菱形 ABCD，则2211ba_15定义：Rxx表示不超过 x 的最大整数例如15.1，0.51 给出下列结论：函数xysin是奇函数；函数xysin是周期为 2的周期函数；函数sincosyxx 不存在零点
7、；函数 xxycossin的值域是1,0,1,2 其中正确的是_（填上所有正确命题的编号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 把答案填在答题卡相应位置16本小题满分 13 分已知数列an的首项为 1，前 n 项和 Sn 满足11(2)nnSSn（）求 Sn 与数列an的通项公式；（）设11nnnba a（nN*），求使不等式121225nbbb成立的最小正整数 nx681012y235617本小题满分 13 分已知函数)0(21coscossin3)(2xxxxf经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x 3
8、235)(xf01010（）请直接写出处应填的值，并求函数 f(x)在区间,2 3 上的值域；（）ABC 的内角,A B C 所对的边分别为cba,，已知()1,3f A4bc，7a，求 ABC的面积18本小题满分 13 分甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化印象莆田”知识竞赛活动，进行针对性训练，近 8 次的训练成绩如下（单位：分）：甲8381937978848894乙8789897774788898（I）依据上述数据，从平均水平和发挥的稳定程度考虑，你认为应派哪位选手参加？并说明理由；（II）本次竞赛设置 A、B 两问题，规定：问题 A 的得分不低于 80 分时答题成功，否则
9、答题失败，答题成功可获得价值 100 元的奖品，问题 B 的得分不低于 90 分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值 300 元的奖品答题顺序可自由选择，但答题失败则终止答题选手答题问题 A，B 成功与否互不影响，且以训练成绩作为样本，将样本频率视为概率，请问在（I）中被选中的选手应选择何种答题顺序，使获得的奖品价值更高？并说明理由19本小题满分 13 分如图，边长为 2 的正方形 ABCD 绕 AB 边所在直线旋转一定的角度（小于180）到 ABEF 的位置()求证:CE/平面 ADF；()若 K 为线段 BE 上异于 B,E 的点，CE=22设直线 AK 与平面 BDF 所成角为,
10、当4530时,求 BK 的取值范围20本小题满分 13 分如图，椭圆 C：22221(0)xyabab的离心率 e=32，且椭圆 C 的首项为的短轴长为 2（）求椭圆 C 的方程；（）设 P，M，N 椭圆 C 上的三个动点（i）若直线 MN 过点 D（0，12），且 P 点是椭圆 C 的上顶点，求PMN 面积的最大值；（ii）试探究：是否存在PMN 是以 O 为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由21本小题满分 14 分已知函数 f(x)=lnx+12ax2+b（a，bR）（）若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线为 y=1，求函数 f(x)的单调区间；（）求证：对任意
11、给定的正数 m，总存在实数 a，使函数 f(x)在区间(m，+)上不单调；（）若点 A（x1，y1），B（x2，y2）（x2x10）是曲线 f(x)上的两点，试探究：当 a1 时，an=SnSn1=n2(n1)2=2n1因为11a 也符合上式，所以 an=2n16 分（）由（）知1111()(21)(21)2 2121nbnnnn，8 分所以12111 11111(1)()()232 352 2121nbbbnn11(1)22121nnn，10 分由122125nn，解得 n1212 分所以使不等式成立的最小正整数为 1313 分17本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解
12、三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想满分 13 分解：（）处应填入 6 1 分31 cos21()sin 2222xf xx3 分31sin 2cos2sin(2)226xxx4 分因为 T=522()233，所以 222，12，即()sin()6f xx5 分因为,2 3x ，所以2366x，所以11sin()62x，从而得到)(xf的值域为11,27 分（）因为()sin()136f AA，又0,A所以7666A，得62A，3A9 分由余弦定理得2222cosabcbcA2()2cos 3bcbcbc2()3bcbc，即22(7)43bc，所以3bc 11 分所以 ABC
13、的面积1133 3sin32224 SbcA13 分18本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想满分 13 分 解：（I）记甲、乙两位选手近 8 次的训练的平均成绩分别为 x甲、x乙，方差分别为2s甲、2s乙 8381 937978848894858x甲，8998777487787988858x乙 2 分 222222222165(83 85)(81 85)(93 85)(7985)(7885)(8485)(8885)(9485)82s甲，2222222221
14、(8985)(9885)(7785)(7485)(8785)(7885)(8985)(8885)568s乙 4 分 因为 xx甲乙，22ss甲乙，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加 5 分（II）记事件 C 表示为“甲回答问题 A 成功”，事件 D 表示为“甲回答问题 B 成功”，则 P(C)=34,P(D)=14,且事件 C 与事件 D 相互独立 6 分 记甲按 AB 顺序获得奖品价值为，则 的可能取值为 0,100,400 P(=0)=P(C)=14,P(=100)=P(CD)=3394416,P(=400)=P(CD)=3134416 即 的分布列为：0 1
15、00 400 P 14 916 316 所以甲按AB顺序获得奖品价值的数学期望1935250100400416164E 9 分 记甲按 BA 顺序获得奖品价值为，则 的可能取值为 0,300,400 P(=0)=P(D)=34,P(=300)=P(DC)=1114416,P(=400)=P(DC)=3134416，即 的分布列为：0 300 400 P 34 116 316 所以甲按BA顺序获得奖品价值的数学期望3133750300400416164E 12 分 因为 E E，所以甲应选择 AB 的答题顺序，获得的奖品价值更高13 分 19本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的
16、位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想满分 13 分()证明：正方形 ABCD 中，CD/BA，正方形 ABEF 中，EF/BA2 分EF/CD，四边形 EFDC 为平行四边形，CE/DF3 分又 DF 平面 ADF，CE 平面 ADF，CE/平面 ADF 5 分()解：BE=BC=2，CE=22，222BEBCCE，BCE 为直角三角形，BE BC，6 分又 BE BA，BC BA=B，BC、BA 平面 ABCD，BE 平面 ABCD 7 分以 B 为原点，BC、BA、BE 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向
17、，建立空间直角坐标系，则 B（0，0，0），F（0，2，2），A（0，2，0），)0,2,2(BD，)2,2,0(BF设 K（0，0，m），平面 BDF 的一个法向量为),(zyxn 由0BDn，0BFn，得 220,220,xyyz可取)1,1,1(n，9 分又),2,0(mAK，于是 sinAKnAKn=2432mm，4530，22sin21，即2221,23422,234mmmm11 分结合20 m，解得3240 m，即 BK 的取值范围为（0，324 13分20本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考
18、查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想满分 14 分解：（）由题意得2223,222,cababc解得 a=2，b=1，3 分所以椭圆方程为2214xy 3 分（）（i）解法一：由已知，直线 MN 的斜率存在，设直线 MN 方程为 y=kx 12，M（x1，y1），N（x2，y2）由221,41,2xyykx得(1+4k2)x2 4kx 3=0，所 以12122243,1414kxxx xkk，又3|2PD5 分所以 SPMN=12|PD|x1x2|=2121 23()44xxx x6分222 222316123 1634(1 4)1 42(1 4)kkkkk7 分令
19、t=2163k，则 t 3，22316tk所以 SPMN=223661312(14)16 tttttt，8 分令 h(t)=1tt，t 3，+),则22211()1th ttt 0，所以 h(t)在 3,)单调递增，则 t=3，即 k=0 时，h(t)的最小值，为 h(3）=4 33，所以PMN 面积的最大值为 3 329 分解法二：由已知，直线 MN 的斜率存在，设直线 MN 方程为 y=kx 12，M（x1，y1），N（x2，y2）由221,41,2xyykx得(1+4k2)x24kx3=0，所以12122243,1414kxxx xkk5 分所以|MN|222212122 2216121
20、()41(1 4)1 4kkxxx xkkk点 P（0，1）到直线 MN 的距离 d=222|202 1 1|3422 1kkk 6 分所以 SPMN=12|MN|d=222 22211612312(1 4)1 42 1kkkkk22 22316124(1 4)1 4kkk7 分以下同解法一（ii）假设存在PMN 是以 O 为中心的等边三角形（1）当 P 在 y 轴上时，P 的坐标为（0，1），则 M，N 关于 y 轴对称，MN 的中点 Q 在 y 轴上又 O 为PMN 的中心，所以2POOQ，可知111(0,),(3,),(3,)222QMN从而|MN|=2 3，|PM|=212，|MN|P
21、M|，与PMN 为等边三角形矛盾（2）当 P 在 x 轴上时，同理可知，|MN|PM|，与PMN 为等边三角形矛盾10分（3）当 P 不在坐标轴时，设 P（x0，y0），MN 的中点为 Q，则 kOP=00yx，又 O 为PMN 的中心，则2POOQ，可知00(,)22xyQ设 M（x1，y1），N（x2，y2），则1202 Qxxxx，1202 Qyyyy，又x12+4y12=4，x22+4y22=4，两式相减得kMN=01212121212120111444 xyyxxxxxxyyyyy，11 分从而 kMN=0014 xy12 分所以 kOPkMN=00yx（0014xy）=14 1，所
22、以 OP 与 MN 不垂直，与等边PMN 矛盾13 分综上所述，不存在PMN 是以 O 为中心的等边三角形14 分21本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想满分 14 分解：（）由已知得1(1)1,2(1)10,fabfa 解得1,1.2ab 2 分此时211()ln22f xxx，1(1)(1)()xxfxxxx（x0）令()0fx，得1x，f(x)，()fx的变化情况如下表：x(0，1)1（1，+）()fx+0f(x)单调递增极大值单调递减所以函数 f(x)的增区间为（0，1
23、），减区间为（1，+）4 分（）211()axfxaxxx（x0）（1）当 a0 时，()0fx恒成立，此时，函数 f(x)在区间（0，+）上单调递增，不合题意，舍去5 分（2）当 am，即210am所以对任意给定的正数 m，只须取满足210am的实数 a，就能使得函数 f(x)在区间(m，+)上不单调 8 分（）存在实数 x0（x1，x2），使直线 AB 的斜率等于0()fx 9 分证明如下：令 g(x)=lnxx+1（x0），则1()1g xx，易得 g(x)在 x=1 处取到最大值，且最大值 g(1)=0，即 g(x)0，从而得 lnxx1（*）10分由21021()()()f xf x
24、fxxx，得21210210lnln11()2xxa xxaxxxx 11 分令211()()2p xa xxax，2121lnln1()xxq xxxx，则 p(x)，q(x)在区间x1，x2上单调递增且12112111()()()022p xa xxaxa xx，22121211()()()022p xa xxaxa xx，结合（*）式可得，2221111211211211ln1lnln111()0 xxxxxxq xxxxxxxxxx，1121222212212212ln(1)lnln111()0 xxxxxxq xxxxxxxxxx令 h(x)=p(x)+q(x)，由以上证明可得，h(x)在区间x1，x2上单调递增，且 h(x1)0，13分所以函数 h(x)在区间（x1，x2）上存在唯一的零点 x0，即21210210lnln11()2xxa xxaxxxx成立，从而命题成立 14 分（注：在（）中，未计算 b 的值不扣分）
