1、第三节等比数列及其前n项和A组基础题组1.(2016湖北华师一附中3月联考)在等比数列an中,a2a3a4=8,a7=8,则a1=()A.1B.1C.2D.22.(2016安徽皖江名校联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和,若a2a4=16,S3=7,则a8=()A.32B.64C.128D.2563.等比数列an的前n项和为Sn,若公比q1,a3+a5=20,a2a6=64,则S5=()A.31B.36C.42D.484.(2017福建南平模拟)已知等比数列an中,a3=2,a4a6=16,则的值为()A.2B.4C.8D.165.(2016湖南衡阳三模)在等比数列an中,a1
2、=2,前n项和为Sn,若数列an+1也是等比数列,则Sn=()A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n-16.设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=.7.(2016河南开封月考)已知正项等比数列an的前n项和为Sn,且S1,S3,S4成等差数列,则数列an的公比为.8.在等比数列an中,公比q=2,前99项的和S99=30,则a3+a6+a9+a99=.9.设数列an的前n项和为Sn,a1=1,且数列Sn是以2为公比的等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)求a1+a3+a2n+1.10.已知数列an满足a1=5,a2=5,an+1=
3、an+6an-1(n2).(1)求证:an+1+2an是等比数列;(2)求数列an的通项公式.B组提升题组11.(2016福建福州质检)已知等比数列an的前n项积记为n,若a3a4a8=8,则9=()A.512B.256C.81D.1612.已知Sn是等比数列an的前n项和,若存在mN*,满足=9,=,则数列an的公比为()A.-2B.2C.-3D.313.在各项均为正数的等比数列an中,已知a2a4=16,a6=32,记bn=an+an+1,则数列bn的前5项和S5为.14.已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求.15.(2
4、015四川,16,12分)设数列an(n=1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列的前n项和为Tn,求Tn.16.(2016江西师大附中月考)已知正项数列an的前n项和为Sn,且Sn是和an的等差中项.(1)求数列an的通项公式;(2)若a1,a2,an,且,成等比数列,当k1=2,k2=4时,求数列kn的前n项和Tn.答案全解全析A组基础题组1.A因为数列an是等比数列,所以a2a3a4=8,所以a3=2,所以a7=a3q4=2q4=8,所以q2=2,则a1=1,故选A.2.C由题意及等比数列的性质知a2a
5、4=16,an0,a3=4,a3=a1q2=4,S3=7,S3=7,S2=3,3q2-4q-4=0,解得q=-或q=2,an0,q=2,a1=1,a8=27=128.3.A由等比数列的性质,得a3a5=a2a6=64,于是由且公比q1,得a3=4,a5=16,所以解得所以S5=31,故选A.4.B设等比数列an的公比是q,由a3=2,a4a6=16,得a1q2=2,a1q3a1q5=16,则a1=1,q2=2,=4.5.C设an的公比为q,则an=2qn-1,因为数列an+1也是等比数列,所以(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1)+2an+1=anan+2+an+an+2an+an+
6、2=2an+1an(1+q2-2q)=0q=1,即an=2,所以Sn=2n,故选C.6.答案解析由S2=3a2+2,S4=3a4+2作差可得a3+a4=3a4-3a2,即2a4-a3-3a2=0,所以2q2-q-3=0,解得q=或q=-1(舍).7.答案解析设正项等比数列an的公比为q(q0),S1,S3,S4成等差数列,2S3=S1+S4,易知q=1时上式不成立,q1,2=a1+,化简得q3-2q2+1=0,即(q-1)(q2-q-1)=0,又q1,且q0,q=.8.答案解析q=2,S99=30,a1(299-1)=30,又数列a3,a6,a9,a99也成等比数列且公比为8,a3+a6+a9
7、+a99=30=.9.解析(1)S1=a1=1,且数列Sn是以2为公比的等比数列,Sn=2n-1,又当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-2=2n-2.当n=1时,a1=1,不适合上式.an=(2)a3,a5,a2n+1是以2为首项,4为公比的等比数列,a3+a5+a2n+1=.a1+a3+a2n+1=1+=.10.解析(1)证明:an+1=an+6an-1(n2),an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n2).a1=5,a2=5,a2+2a1=15,an+2an-10(n2),=3(n2),数列an+1+2an是以15为首项,3为公比的等比数列.(2)由(1
8、)得an+1+2an=153n-1=53n,则an+1=-2an+53n,an+1-3n+1=-2(an-3n).又a1-3=2,an-3n0,an-3n是以2为首项,-2为公比的等比数列.an-3n=2(-2)n-1,即an=2(-2)n-1+3n.B组提升题组11.A由题意知,a3a4a7q=a3a7a4q=a3a7a5=8,9=a1a2a3a9=(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5=,所以9=83=512.12.B设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q1.=qm+1=9,qm=8.=qm=8=,m=3,q3=8,q=2.13.答案93解析设数列an的公比为q,
9、由=a2a4=16,得a3=4(舍负),即a1q2=4,又a6=a1q5=32,解得a1=1,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,则bn=an+an+1=2n-1+2n=32n-1,所以数列bn是首项为3,公比为2的等比数列,所以S5=93.14.解析(1)由题意得a1=S1=1+a1,故1,a1=,a10.由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以=.因此an是首项为,公比为的等比数列,于是an=.(2)由(1)得Sn=1-.由S5=得1-=,即=.解得=-1.15.解析(1)由已知Sn=2an-a1,有an
10、=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列an是首项为2,公比为2的等比数列.故an=2n.(2)由(1)得=.所以Tn=+=1-.16.解析(1)Sn是和an的等差中项,2Sn=+an,则有2Sn-1=+an-1(n2),两式相减并整理得(an-an-1-1)(an+an-1)=0(n2),又an+an-10(n2),所以an-an-1=1(n2),故数列an是公差为1的等差数列,又由2a1=2S1=+a1,a10,可得a1=1.an=1+(n-1)1=n(nN*).(2)设等比数列的公比为q,由题意及(1)知q=2,=2n-1=2n,又=kn,kn=2n,Tn=2+22+2n=2n+1-2.
