1、第二节万有引力定律的应用学 习 目 标知 识 脉 络1.会用万有引力定律计算天体的质量(重点)2了解海王星和冥王星的发现方法3会推导第一宇宙速度，知道三种宇宙速度的含义4知道人造卫星的原理，能够确定人造卫星线速度、角速度、周期与半径的关系(重点、难点)计 算 天 体 的 质 量1利用月球计算地球质量(1)思路：月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供(2)推导：月球绕地球做匀速圆周运动所需向心力Fm2rm()2r.地球对月球的万有引力充当向心力，则m()2r，则M.2一般方法已知卫星绕行星(或行星绕中心天体)运动的周期和卫星与行星(或行星与中心天体)之间的距离，也可以算出行星
2、(或中心天体)的质量1利用万有引力等于向心力，可以求出中心天体的质量，也能求出卫星的质量()2利用地球半径、表面重力加速度和万有引力常量能求出地球的质量()3知道行星的轨道半径及运行周期，可计算出中心天体的质量()1969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印(如图321)，迈出了人类征服宇宙的一大步图321探讨1：宇航员在月球上用弹簧秤测出质量为m的物体重力为F.怎样利用这个条件估测月球的质量？【提示】设月球质量为M.半径为R，则FG，故M.探讨2：宇航员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间为T，怎样利用这个条件估测月球质量？【提示】设月球质量为M，半径为R，由万有引力
3、提供向心力，GmRM.1求天体质量的思路绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量 2计算天体的质量下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：(1)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得mgG，解得地球质量为M地.(2)质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动3计算天体的密度若天体的半径为R，则天体的密度将M代入上式得：特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则.1据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为
4、地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为()A0.5B2C3.2D4【解析】在忽略地球自转的情况下，万有引力等于物体的重力即G地G同样在行星表面有G行G以上二式相比可得2故该行星的半径与地球的半径之比约为2故选B.【答案】B2火星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，火星与太阳间的引力提供火星运动的向心力，已知火星运行的轨道半径为r，运行周期为T，引力常量为G，试写出太阳质量的表达式【解析】设太阳质量为M，火星的质量为m火星与太阳间的引力提供向心力，则有，v.两式联立得M.【答案】3若有一艘宇宙飞船在某一行星
5、表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为() 【导学号：35390043】A. B.C. D.【解析】设飞船的质量为m，它做圆周运动的半径为行星半径R，则Gm()2R，所以行星的质量为M，行星的平均密度，B项正确【答案】B1计算天体质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体注意方法的拓展应用明确计算出的是中心天体的质量2要注意R、r的区分R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径以地球为例，若绕近地轨道运行，则有Rr.发 现 未 知 天 体1海王星的发现英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维烈根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新
6、”行星的轨道.1846年9月23日柏林天文台的望远镜对准他们笔下计算出来的位置，终于，一颗新的行星海王星被发现了2其他天体的发现近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星等几个较大的天体1海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性()2科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析()3冥王星被称为“笔尖下发现的行星”()航天员翟志刚走出“神舟七号”飞船进行舱外活动时，要分析其运动状态，牛顿定律还适用吗？【提示】适用牛顿将牛顿定律与万有引力定律综合，成功分析了天体运动问题牛顿定律对物体在地面上的运动以及天体的运动都是适用的如图322所示，行星在围绕太阳做匀速圆周运动
7、图322探讨1：行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？【提示】由Gm得v，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星的轨道半径共同决定的探讨2：行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？【提示】无关因为在等式Gmanmm2rmr各项中都含有m，可以消掉1解决天体运动问题的基本思路一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：Gma，式中a是向心加速度2四个重要结论项目推导式关系式结论v与r的关系Gmvr越大，v越小与r的关系Gmr2r越大，越小T与r的关系Gmr2T2r
8、越大，T越大a与r的关系Gmaar越大，a越小4下列说法正确的是()A海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的B天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星【解析】由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星由此可知，A、B、C错误
9、，D正确【答案】D5设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量G已知，根据这些数据，不能求出的量有()A土星线速度的大小B土星加速度的大小C土星的质量D太阳的质量【解析】根据已知数据可求：土星的线速度大小v、土星的加速度aR、太阳的质量M，无法求土星的质量，所以选C.【答案】C6(多选)2003年8月29日，火星、地球和太阳处于三点一线，上演“火星冲日”的天象奇观这是6万年来火星距地球最近的一次，与地球之间的距离只有5 576万公里，为人类研究火星提供了最佳时机如图323所示为美国宇航局最新公布的“火星冲日”的虚拟图，则有()图323A
10、2003年8月29日，火星的线速度大于地球的线速度B2003年8月29日，火星的线速度小于地球的线速度C2004年8月29日，火星又回到了该位置D2004年8月29日，火星还没有回到该位置【解析】火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动Gm可得：v，所以轨道半径较大的火星线速度小，B正确；火星轨道半径大，线速度小，火星运动的周期较大，所以一年后地球回到该位置，而火星则还没有回到，D正确【答案】BD天体运动的解题技巧(1)建立模型不论是自然天体(如地球、月球等)还是人造天体(如卫星、飞船等)，只要它们是在绕某一中心天体做圆周运动，就可以将其简化为质点的匀速圆周运动模型来处理问题(2)列方程求解根据中心天
11、体对环绕星体的万有引力提供向心力，列出合适的向心力表达式进行求解F向F万mamgGmmr2mr.人 造 卫 星 与 宇 宙 速 度1牛顿的设想山顶上一门大炮若以足够大的速度水平射出一颗炮弹，它将围绕地球旋转而不再落回地面2人造卫星的向心力地球对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力Gmm2rmr.3运行规律v与轨道半径r：v .与轨道半径r：.T与轨道半径r：T2 .a与轨道半径r：a.离地球越远的卫星，线速度、角速度、加速度越小，周期越长，即越远越慢4宇宙速度(1)第一宇宙速度，又叫环绕速度，是指人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，其大小为7.9 km/s.(2)第二宇宙
12、速度，又叫脱离速度，是指物体克服地球引力的束缚，成为绕太阳运动的行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度，其大小为11.2 km/s.(3)第三宇宙速度，又叫逃逸速度，是指在地面上发射物体，使之最后脱离太阳引力的束缚飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小速度，其大小为16.7 km/s.17.9 km/s是人造地球卫星最大的环绕速度()2在地面上发射人造卫星的最小速度是7.9 km/s.()3离地球越远的卫星，发射速度越大，而环绕速度也越大()能否有发射轨道高度不同但具有相同周期的地球卫星？(如图324所示)图324【提示】不能根据万有引力提供地球卫星做匀速圆周运动的向心力Gmr可知，周期T2
13、，所以当卫星轨道高度不同时，其周期一定不同，故不能发射在不同轨道高度但具有相同周期的地球卫星若两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，请思考：探讨1：卫星定轨高度越高，速度越大还是越小？【提示】卫星轨道越高，速度越小探讨2：如何比较两颗卫星的周期大小和角速度大小？【提示】卫星的轨道半径越大，周期越大，角速度越小1第一宇宙速度的推导方法方法(一)设地球质量为M，卫星质量为m，卫星到地心的距离为r，卫星做匀速圆周运动的线速度为v，根据万有引力定律和牛顿第二定律得：Gm，v.应用近地条件rR(R为地球半径)，R6 400 km，M61024kg，得v7.9 km/s.方法(二)在地面附近，重力等于万有引力，
14、此力提供卫星做匀速圆周运动的向心力(已知地球半径R、地面重力加速度g)由mgm得v km/s7.9 km/s.2卫星的轨道特点(如图325)图325(1)若为椭圆轨道，地心是椭圆的一个焦点，其运动遵循开普勒定律(2)若为圆轨道，地心是圆周的圆心，由万有引力提供向心力(3)轨道平面：一定过地心，可以跟赤道平面重合，也可以跟赤道平面垂直，可以跟赤道平面成任意角度3人造卫星的运动规律根据万有引力提供向心力可得G越高越慢4地球同步卫星(1)定义：相对于地面静止的卫星，又叫静止卫星(2)六个“一定”同步卫星的运行方向与地球自转方向一致同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，T24 h.同步卫星的运行角速度
15、等于地球自转的角速度同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星都在赤道的正上方同步卫星的高度固定不变由mr()2知r.由于T一定，故r一定，而rRh，h为同步卫星离地面的高度，hR.又因GMgR2，代入数据T24 h86 400 s，g取9.8 m/s，R6.38106 m，得h3.6104 km.同步卫星的环绕速度大小一定：设其运行速度为v，由于Gm，所以v m/s3.1103 m/s.7探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比()A轨道半径变小B向心加速度变小C线速度变小D角速度变小【解析】探测器做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力
16、，则：Gmr，整理得T2，可知周期T较小的轨道，其半径r也小，A正确；由Gmanmm2r，整理得：anG，v，可知半径变小，向心加速度变大，线速度变大，角速度变大，故B、C、D错误【答案】A8如图326所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动下列说法正确的是() 【导学号：35390044】图326A甲的向心加速度比乙的小B甲的运行周期比乙的小C甲的角速度比乙的大D甲的线速度比乙的大【解析】卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的引力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律解决问题根据Gma得a.故甲卫星的向心加速度小，选项A正确；根据Gm2r，得T2，故
17、甲的运行周期大，选项B错误；根据Gm2r，得，故甲运行的角速度小，选项C错误；根据G，得v，故甲运行的线速度小，选项D错误【答案】A9研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比()A距地面的高度变大B向心加速度变大C线速度变大D角速度变大【解析】A地球的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大由m(Rh)，得hR，T变大，h变大，A正确B由ma，得a，r增大，a减小，B错误C由，得v，r增大，v减小，C错误D由可知，角速度减小，D错误【答案】A天体运动问题解答技巧1比较围绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的v、T、an等物理量的大小时，可考虑口诀“越远越慢”(v、T)、“越远越小”(an)2涉及绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的计算问题时，若已知量或待求量中涉及重力加速度g，则应考虑黄金代换式gR2GM的应用3若已知量或待求量中涉及v或或T，则应考虑从Gmm2rmr中选择相应公式应用
