1、2.3.3直线与圆的位置关系学习目标：1.理解直线与圆的三种位置关系(重点)2.会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系(重点)3.能解决直线与圆位置关系的综合问题(难点)自 主 预 习探 新 知直线与圆的位置关系的判定位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddrdrdr判定方法代数法：由消元得到一元二次方程的判别式000图形基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()(2)若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切()答案(1)(2)2直线3x4y50与圆x2y21的位置关系是()A相交B相切
2、C相离 D无法判断B圆心(0,0)到直线3x4y50的距离d1，又圆x2y21的半径r1，dr，故直线与圆相切3设直线l过点P(2,0)，且与圆x2y21相切，则l的斜率是()【导学号：90662217】A1B CDC设l：yk(x2)，即kxy2k0.又l与圆相切，1.k.合 作 探 究攻 重 难直线与圆位置关系的判定已知直线方程mxym10，圆的方程x2y24x2y10.当m为何值时，直线与圆：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点思路探究可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断解法一：将直线mxym10代入圆的方程，化简、整
3、理得，(1m2)x22(m22m2)xm24m40.4m(3m4)，当0，即m0或m时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当0，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当0，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点法二：已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24，即圆心为(2,1)，半径r2.圆心(2,1)到直线mxym10的距离d.当d2，即m0或m时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d2，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d2，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点规律方法直线与圆的位置关系的判断方法1几何法：由圆心到直线的距离d与圆
4、的半径r的大小关系判断2代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断3直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系跟踪训练1已知圆C的方程是(x1)2(y1)24，直线l的方程为yxm，求：当m为何值时，(1)直线平分圆；(2)直线与圆相切；(3)直线与圆有两个公共点解(1)因为直线平分圆，所以圆心(1,1)在直线yxm上，故有m0.(2)因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以d2，m2，即m2时，直线l与圆相切(3)直线与圆有两公共点，dr，即2，所以2m2时有两个公共点直线与圆相切的有关问题过
5、点A(4，3)作圆C：(x3)2(y1)21的切线，求此切线的方程.【导学号：90662218】思路探究利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程解因为(43)2(31)2171，所以点A在圆外(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k.所以切线方程为y3(x4)，即15x8y360.(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.规律方法过
6、一点的圆的切线方程的求法1当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程2若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在跟踪训练2求过点(1，7)且与圆x2y225相切的直线方程解由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y7k(x1)，即kxyk70.5，解得k或k.所求切线方程为y7(x1)或y7(x1)，即4x3y250或3x4y250.圆的弦长问题探究问题1已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？提示将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，
7、再利用|AB|求弦长2若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？提示通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l2.在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_.【导学号：90662219】思路探究弦心距，半径，弦长的一半构成直角三角形，利用勾股定理求解解析圆(x2)2(y1)24的圆心为C(2，1)，半径为r2，点C到直线x2y30的距离d，所求弦长为l22.答案母题探究：1.圆心坐标为(2，1)的圆在直线xy10上截得的弦长为2，则此圆的方程为_解析圆心到直线的距离d，由于弦长距d、半径r及弦长的一半构成直角三角形
8、，所以r2d2()24，所以所求圆的方程是(x2)2(y1)24.答案(x2)2(y1)24.2经过点P(2，1)且被圆C：x2y26x2y150所截得的弦长最短，求此时直线l方程解圆的方程为(x3)2(y1)225.圆心C(3,1)所以点P在圆内当CPl时，弦长最短又kCP2.所以kl，所以直线l的方程为y1(x2)，即x2y0.规律方法直线与圆相交时弦长的两种求法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2d2r2，则|AB|2.图1图2(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(
9、x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|(直线l的斜率k存在且不为0)当 堂 达 标固 双 基1直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是()A过圆心B相切C相离 D相交但不过圆心D圆心(1，1)到直线3x4y120的距离dr.2已知直线axbyc0(ab0)与圆x2y21相切，则三边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是()【导学号：90662220】A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不存在B由题意知，1，a2b2c2，因此三角形为直角三角形3由点P(1,3)引圆x2y29的切线段的长是_解析点P到原点O的距离为|PO|，r3，且P在圆外，切线段长为1.答案14过点P(1,2)且与圆C：x2y25相切的直线方程是_.【导学号：90662221】解析点P(1,2)是圆x2y25上的点，圆心为C(0,0)，则kPC2，所以k，y2(x1)故所求切线方程是x2y50.答案x2y505过点(1，2)的直线l被圆x2y22x2y10截得的弦长为，求直线l的方程解由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k.设直线l的方程为y2k(x1)又圆的方程为(x1)2(y1)21，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d.解得k1或.所以直线l的方程为y2x1或y2(x1)，即xy10或17x7y30.
