1、课后限时集训(四十四)空间向量的运算及应用 建议用时：40 分钟一、选择题1(多选)(2020福建省晋江市南侨中学月考)已知向量 a(1,1,0)，则与 a 共线的单位向量e()A.22，22，0B(0,1,0)C.22，22，0D(1,1,1)AC 由题意得，ae，因而|a|e|，得|a|.故 e a|a|，而|a|110 2，所以 e22，22，0 或 e 22，22，0.故选 AC.2已知 a(2,1,3)，b(1,2,1)，若 a(ab)，则实数 的值为()A2B143C145D2D a(ab)，a(ab)0，即 a2ab.又 a(2,1,3)，b(1,2,1)，ab2237，|a|4
2、19 14.147，2.故选 D.3已知 a(1,0,1)，b(x,1,2)，且 ab3，则向量 a 与 b 的夹角为()A56B23C3D6D a(1,0,1)，b(x,1,2)，abx23.x1.|a|2，|b|6.cosa，b32 6 32.又a，b0，故a，b6.故选 D.4对于空间一点 O 和不共线的三点 A，B，C，有 6OP OA 2OB 3OC，则()AO，A，B，C 四点共面BP，A，B，C 四点共面CO，P，B，C 四点共面DO，P，A，B，C 五点共面B 由 6OP OA 2OB 3OC，得OP OA 2(OB OP)3(OC OP)，即AP2PB3PC，故AP，PB，P
3、C共面，又它们有公共点 P，因此，P，A，B，C 四点共面，故选 B.5.如图所示，三棱锥 O-ABC 中，M，N 分别是 AB，OC 的中点，设OA a，OB b，OC c，用 a，b，c 表示NM，则NM()A.12(abc)B.12(abc)C.12(abc)D.12(abc)B NM NAAM(OA ON)12ABOA 12OC 12(OB OA)12OA 12OB 12OC 12(abc)6A，B，C，D 是空间不共面的四点，且满足ABAC0，ACAD 0，ABAD 0，M 为BC 中点，则AMD 是()A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D不确定C M 为 BC 中点，AM 12(
4、ABAC)，AM AD 12(ABAC)AD12ABAD 12ACAD 0.AMAD，AMD 为直角三角形二、填空题7在空间直角坐标系中，A(1,1，2)，B(1,2，3)，C(1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，zR)，若 A，B，C，D 四点共面，则 2xyz_.1 A(1,1，2)，B(1,2，3)，C(1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，zR)，AB(0,1，1)，AC(2,2,2)，AD(x1，y1，z2)A，B，C，D 四点共面，存在实数，使得AD ABAC，即(x1，y1，z2)(0,1，1)(2,2,2)，x12，y12，z22，解得 2xyz1.8在正方体 ABCD-
5、A1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点，则 sinCM，D1N 的值为_4 59 如图建立空间直角坐标系 D-xyz，设正方体棱长为 2，则易得CM(2，2,1)，D1N(2,2，1)，cosCM，D1N CM D1N|CM|D1N|19，sinCM，D1N 11924 59.9已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果AB(2，1，4)，AD(4,2,0)，AP(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；AP是平面 ABCD 的法向量；APBD.其中正确的是_ ABAP0，AD AP0，ABAP，ADAP，则正确又AB与AD 不平行，AP是平面 A
6、BCD 的法向量，则正确BD AD AB(2,3,4)，AP(1,2，1)，BD 与AP不平行，故错误三、解答题10.如图所示，已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABC 为等腰直角三角形，BAC90，且 ABAA1，D，E，F 分别为 B1A，C1C，BC的中点求证：(1)DE平面 ABC；(2)B1F平面 AEF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，令 ABAA14，则 A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)取 AB 的中点 N，连接 CN，则 N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，所以DE(2,4,0)，NC(2
7、,4,0)，所以DE NC，所以 DENC.又因为 NC平面 ABC，DE平面 ABC，故 DE平面 ABC.(2)由(1)知B1F(2,2，4)，EF(2，2，2)，AF(2,2,0)B1F EF(2)22(2)(4)(2)0，B1F AF(2)222(4)00.所以B1F EF，B1F AF，即 B1FEF，B1FAF，又因为 AFFEF，所以 B1F平面AEF.11.如图所示，已知四棱锥 P-ABCD 的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面 PBC底面 ABCD.证明：(1)PABD；(2)平面 PAD平面 PAB.证明(1)取 BC 的中点 O，连接 PO，因
8、为平面 PBC底面 ABCD，PBC 为等边三角形，平面 PBC底面 ABCDBC，PO平面 PBC，所以 PO底面 ABCD.以 BC 的中点 O 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，过点 O 与AB 平行的直线为 y 轴，OP 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示不妨设 CD1，则 ABBC2，PO 3，所以 A(1，2,0)，B(1,0,0)，D(1，1,0)，P(0,0，3)，所以BD(2，1,0)，PA(1，2，3)因为BD PA(2)1(1)(2)0(3)0，所以PABD，所以 PABD.(2)取 PA 的中点 M，连接 DM，则 M12，1，32.因为DM 32
9、，0，32，PB(1,0，3)，所以DM PB32100 32(3)0，所以DM PB，即 DMPB.因为DM PA3210(2)32(3)0，所以DM PA，即 DMPA.又因为 PAPBP，PA，PB平面 PAB，所以 DM平面 PAB.因为 DM平面 PAD，所以平面 PAD平面 PAB.1(2020潍坊期末)如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中，已知 ABAA1AD，BADDAA160，BAA130，N 为 A1D1 上一点，且 A1NA1D1.(1)若 BDAN，则 的值为_；(2)若 M 为棱 DD1 的中点，BM平面 AB1N，则 的值为_(1)31(2)23(1)
10、取空间中一组基底：ABa，AD b，AA1 c，因为 BDAN，所以BD AN0.因为BD AD ABba，ANAA1 A1N cb，所以(ba)(cb)0，所以12 32 20，所以 31.(2)在 AD 上取一点 M1 使得 A1NAM1，连接 M1N，M1M，M1B，因为 A1NAM1 且 A1NAM1，所以四边形 AA1NM1 为平行四边形，又 AA1 綊 BB1，所以 M1N綊 B1B，所以四边形 NM1BB1 为平行四边形，所以 NB1M1B，NB1M1B，又因为 M1B平面 AB1N，NB1平面 AB1N，所以 M1B平面 AB1N，又因为 BM平面 AB1N，且 BMM1BB，
11、所以平面 M1MB平面 AB1N，所以 MM1平面 AB1N.又因为 平面 AA1D1D平面 AB1NAN，且 MM1平面 AA1D1D，所以 M1MAN，所以AA1NMDM1，所以A1NDM1AA1MDA1D11A1D12，所以 23.2如图所示，在平行四边形 ABCD 中，ABACCD1，ACD90，把ADC 沿对角线 AC 折起，使 AB 与 CD 成 60角，则 BD 的长为_2 或 2 AB 与 CD 成 60角，BA，CD 60或 120.又ABACCD1，ACCD，ACAB，|BD|BD 2BAACCD 2BA2AC2CD 22BAAC2ACCD 2BACD11100211cos
12、BA，CD 32cosBA，CD，|BD|2 或 2.BD 的长为 2 或 2.3.如图所示，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，点 P 为侧棱 SD 上的点(1)求证：ACSD；(2)若 SD平面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE平面 PAC，若存在，求 SEEC 的值；若不存在，试说明理由解(1)证明：连接 BD，设 AC 交 BD 于点 O，则 ACBD.连接 SO，由题意知 SO平面 ABCD.以 O 为坐标原点，OB，OC，OS所在直线分别为 x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图设底面边长为 a，则高 SO 62 a，于是 S0，0，62 a，D 22 a，0，0，B22 a，0，0，C0，22 a，0，OC 0，22 a，0，SD 22 a，0，62 a，则OC SD0.故 OCSD.从而 ACSD.(2)棱 SC 上存在一点 E，使 BE平面 PAC.理由如下：由已知条件知DS是平面 PAC 的一个法向量，且DS22 a，0，62 a，CS0，22 a，62 a，BC 22 a，22 a，0.设CEtCS，则BEBCCEBCtCS 22 a，22 a1t，62 at，而BEDS0t13.即当 SEEC21 时，BEDS.而 BE平面 PAC，故 BE平面 PAC.
