1、课时规范训练1“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 解析:选C.把椭圆方程化成1.若mn0,则0.所以椭圆的焦点在y轴上反之,若椭圆的焦点在y轴上,则0,即有mn0.故为充要条件2已知两圆C1:(x4)2y2169,C2:(x4)2y29,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1B1C.1D1解析:选D.设圆M的半径为r,则|MC1|MC2|(13r)(3r)16,M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆,且2a16,2c8,故所求的轨迹方程为1.3(2017昆明
2、名校联考)设F1,F2是椭圆1的两个焦点,P是椭圆上的一点,且|PF1|PF2|21,则PF1F2的面积为()A4B6C2D4解析:选A.易得|PF1|4,|PF2|2,|F1F2|2,显然,|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,故PF1F2的面积为4.4若直线x2y20经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为()A.y21B1C.y21或1D以上答案都不对解析:选C.直线与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),由题意知当焦点在x轴上时,c2,b1,a25,所求椭圆的标准方程为y21.当焦点在y轴上时,b2,c1,a25,所求椭圆标准方程为1.故选C.5(2017成都一诊)已知F是
3、椭圆1(ab0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上一点,PFx轴若|PF|AF|,则该椭圆的离心率是()A.BC.D解析:选B.RtPFA中,|FA|ac,|PF|,由|PF|AF|,即(ac),得4c2ac3a20,e,故选B.6若方程1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是 解析:因为方程1表示焦点在x轴上的椭圆,所以|a|1a30,解得3a2.答案:(3,2)7(2017苏锡常镇调研)已知A为椭圆1上的动点,MN为圆(x1)2y21的一条直径,则的最大值为 解析:记圆(x1)2y21的圆心为C(1,0),设A(x,y),x,则|AC|2(x1)2y2(x1)25x2x22x6,当x3
4、时,(|AC|2)max46616.()()()()()()|2|2|2115,故的最大值为15.答案:158设F1,F2分别是椭圆E:x21(0b1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,若|AF1|3|F1B|,AF2x轴,则椭圆E的方程为 解析:不妨设点A在第一象限,AF2x轴,A(c,b2)(其中c21b2,0b1,c0)又|AF1|3|F1B|,由3得B,代入x21得1,又c21b2,b2.故椭圆E的方程为x2y21.答案:x2y219已知椭圆1(ab0)的一个顶点为B(0,4),离心率e,直线l交椭圆于M,N两点(1)若直线l的方程为yx4,求弦MN的长;(2)如果BM
5、N的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线l方程的一般式解:(1)由已知得b4,且,即,解得a220,椭圆方程为1.则4x25y280与yx4联立,消去y得9x240x0,x10,x2,所求弦长|MN|x2x1|.(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0),设线段MN的中点为Q(x0,y0),由三角形重心的性质知2,又B(0,4),(2,4)2(x02,y0),故得x03,y02,即得Q的坐标为(3,2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x26,y1y24,且1,1,以上两式相减得0,kMN,故直线MN的方程为y2(x3),即6x5y280.10.如图,椭圆E:1(ab0)经过点A(0,1),且
6、离心率为.(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.解:(1)由题设知,b1,结合a2b2c2,解得a.所以椭圆的方程为y21.(2)证明:由题设知,直线PQ的方程为yk(x1)1(k2),代入y21,得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0.由已知0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,则x1x2,x1x2.从而直线AP,AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.1(2017贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为()A1B.C2D2解析:选D.设a,b,c分别为椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距,依题意知,当三角形的高为b时面积最大,所以2cb1,bc1,而2a222(当且仅当bc1时取等号),故选D.2已知椭圆1(0b0,可得4k21t2.设M(x1,y1),N(x2,y2),G(x0,y0),则x1x2,四边形OMGN是平行四边形,x0x1x2,y0y1y2k(x1x2)2tkx02t,可得G.点G在椭圆C上,1,整理得4t2(4k21)(4k21)2,4t24k21,|OG|2xy4,|t|1,t21,4,|OG|的取值范围是.