1、第二讲参数方程1(2017江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值解析直线l的普通方程为x2y80.因为点P在曲线C上，设点P(2s2,2s)，从而点P到直线l的距离d.当s时，dmin.因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.2(2020宁夏模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos.(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；(2)设M为曲线C上的动点，
2、求点M到直线l的距离的最大值解析(1)曲线C的普通方程为(x1)2(y2)25.因为cos.所以(cossin)，所以直线l的直角坐标方程为xy30.(2)设M(cos1，sin2)，则点M到直线l的距离d.所以dmax3.另解：圆心C(1,2)到直线l的距离为d13，点M到直线l的距离的最大值为d1r3.3(2021江西赣州十五县市期中联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos .(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)已知点P(2,1)，曲线C1与C2的交点为A，B，求|PA|
3、PB|的值解析(1)将曲线C1的参数方程(t为参数)，消参得曲线C的普通方程为xy20.由4cos 得24cos ，将2x2y2，cos x代入得C2：(x2)2y24.(2)将曲线C1的参数方程(t为参数)，代入(x2)2y24整理得：t2t30设A，B对应的参数分别为t1t2，则t1t21，t1t23由(1)知C2是以(2,0)圆心，半径为2的圆，且P(2,1)在圆内，所以t1，t2异号，所以|PA|PB|t1t2|1.4(2021湖南邵阳联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos1.(1)求
4、曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l交于P，Q两点，求|OP|OQ|的值解析(1)由(为参数)，消去参数得(x1)2(y1)22.曲线C的普通方程为(x1)2(y1)22.由cos1，得cos sin 1，而cos x，sin y.直线l的直角坐标方程为xy10.(2)化曲线C的方程为极坐标方程：2cos 2sin .联立直线l的极坐标方程cos sin 1.消去得：48240.设P，Q两点所对应的极径分别为1，2，则(12)24.|OP|OQ|12|2.5(2021福建永安一中期中)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：
5、(t为参数，0，)，曲线C的极坐标方程为：4cos .(1)写出曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于P，Q两点，若|PQ|，求直线l的斜率解析(1)4cos ，24cos ，由2x2y2，cos x，得x2y24x.所以曲线C的直角坐标方程为(x2)2y24.(2)把代入x2y24x，整理得t26tcos 50设其两根分别为t1，t2，则t1t26cos ，t1t25，|PQ|t1t2|得cos ，或，所以直线l的斜率为.6(2020安徽省合肥市质检)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数，0，)在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为2(
6、13sin2 )4.(1)求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；(2)若直线l：xt分别交曲线C、曲线E于点A，B，求AOB的面积的最大值解析(1)由消去参数，可得曲线C的普通方程为x2y24(y0)由2(13sin2)4.可得23(sin )24.则x2y23y24，则曲线E的直角坐标方程为y21.(2)设A(2cos ，2sin )，0，其中t2cos ，则B(2cos ，sin )要使得AOB面积的最大，则B(2cos ，sin )SAOB|AB|xB|3sin |2cos |sin 2|.20,2，sin 21,1当或，即t时，AOB的面积取最大值.7(2021四川成都诊断)在平面
7、直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程解析(1)O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tan k，则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当1，解得k1，即或，综上，的取值范围是.(2)l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tp，且tA、tB满足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.8(2019河北唐山一模)在极坐标系中，曲线C的方程为22sin40，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系xOy，直线l：(t为参数，0)(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|OB|的取值范围解析(1)由22sin40得，22cos 2sin 40.所以x2y22x2y40.曲线C的直角坐标方程为(x1)2(y1)26.(2)将直线l的参数方程代入x2y22x2y40并整理得，t22(sin cos )t40，t1t22(sin cos )，t1t240.|OA|OB|t1|t2|t1t2|2(sin cos )|因为0，所以，从而有22sin2.所以|OA|OB|的取值范围是0,2
