1、二排列(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张,记下其上面的数字作为个位,放回后再随机抽取1张,记下数字作为十位,则能组成多少个不同的两位数()A.4B.16C.8D.12【解析】选B.从写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,共能构成44=16个不同的两位数.2.用1,2,3,4四个数字可组成必须含有重复数字的四位数有()A.265个B.232个C.128个D.4个【解析】选B.用1,2,3,4四个数字组成的四位数个数为44=256(即每个数位上的数字有4种选择),无重复数字的四位数个数为4321=24
2、,因此,用1,2,3,4四个数字可组成必须含有重复数字的四位数的个数为256-24=232.3.已知集合M=1,2,3,N=1,2,3,5,从两个集合中各取一个元素作为点的坐标标记在直角坐标系中,能确定不同点的个数是()A.12B.9C.15D.21【解析】选C.方法一:从M中选出一个数有3种方法,从N中选出一个数有4种方法,交换位置有234=24种方法,除去重复数的共有24-9=15种.方法二:假设在M中选取的元素为横坐标,有3种方法,在N中选取元素为纵坐标有4种方法,此时共有34=12种方法;当在N中选取的元素为横坐标时,需满足与前面所取方法不重复,只能选取5,在M中选取元素为纵坐标,有3
3、种方法,故有13=3种方法.综上:确定的不同点的个数为12+3=15.方法三:满足条件的坐标如下:(1,1),(1,2),(1,3),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),共15种.4.由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1,且恰有三个相同数字的四位数有()A.9个B.12个C.15个D.18个【解析】选B.用树状图表示为:本题要求首位数字是1,且恰有三个相同的数字,由此可知共有12个.5.若直线Ax+By=0的系数A,B可以从0,2,3,4,5,6中取不同的值,这些方程表示不同直线
4、的条数为()A.15B.18C.32D.36【解析】选B.从不含0的5个数中任取两个数,共有54种,其中如果选中2,3与4,6则有重复的两条,2,4和3,6也有重复的两条,所以有不同的直线20-4=16条,当选中0时,只能表示两条不同的直线x=0和y=0,由分类加法计数原理共有16+2=18条不同直线.6.三人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传球后,球仍回到甲手中,则不同的传球方式共有()A.6种B.10种C.8种D.16种【解析】选B.记另外两人为乙、丙,若甲第一次把球传给乙,则不同的传球方式有其中经过5次传球后,球仍回到甲手中的有5种,同理若甲第一次把球传给丙也有5种不同
5、的传球方式,共有10种传球方式.二、填空题(每小题5分,共10分)7.从5名教师中选派两人到两个中学去支教,共有种不同的选派方法.【解析】记5名教师为a,b,c,d,e,从中取2个,不同的排法代表不同的选派方法,故排法共有:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,ba,ca,da,ea,cb,db,eb,dc,ec,ed,共20种.答案:208.已知集合A=2,4,6,8,10,B=1,3,5,7,9,在A中任取一元素m和在B中任取一元素n,组成数对(m,n),问:有个不同的数对; 其中mn的数对有个.【解析】因为集合A=2,4,6,8,10,B=1,3,5,7,9,在A中
6、任取一元素m和在B中任取一元素n,组成数对(m,n),先选出m有5种结果,再选出n有5种结果,根据分步乘法计数原理知共有55=25个不同的数对.在第一个问题中的25个数对中mn的数对可以分类来解.当m=2时,n=1,有1个数对;当m=4时,n=1,3,有2个数对;当m=6时,n=1,3,5,有3个数对;当m=8时,n=1,3,5,7,有4个数对;当m=10时,n=1,3,5,7,9,有5个数对.综上所述共有1+2+3+4+5=15个数对.答案:2515三、解答题(每小题10分,共20分)9.判断下列问题是否为排列问题:(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价
7、相同);(2)选10人组成一个学习小组;(3)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员.【解析】(1)中票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题.(2)不存在顺序问题,不属于排列问题.(3)中每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.所以在上述各题中(3)属于排列问题,(1)(2)不是排列问题.10.某地从8名全国优秀教师中选派4名教师去4个边远地区支教(每地1人),有多少种不同的安排方法?【解析】完成的这件事是“从8名全国优秀教师中选派4名教师去4个边远地区支教(每地1人)”,分成4个步骤:第一步,从8名教师中选一
8、人到第一个边远地区,有8种方法,第二步,从余下的7名教师中选一人到第二个边远地区,有7种方法,第三步,从余下的6名教师中选一人到第三个边远地区,有6种方法,第四步,从余下的5名教师中选一人到第四个边远地区,有5种方法,所以由分步乘法计数原理得共有8765=1 680种不同的安排方法.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.甲、乙两人要在一排8个空座上就座,若要求甲、乙两人每人的两旁都空座,则坐法种数为()A.10B.16C.20D.24【解析】选C.甲在前,乙在后:若甲在第2位,则有4种方法,若甲在第3位,则有3种方法,若甲在第4位,则有2种方法,若甲在第5位,则有1种方法,共
9、10种方法.同理,乙在前,甲在后,也有10种方法.故一共有20种方法.2.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A.8B.24C.48D.120【解析】选C.由题意知本题需要分步计数,2和4排在末位时,共有2种排法,其余三位数从余下的四个数中任取三个有432=24种排法,根据分步乘法计数原理得到符合题意的偶数共有224=48(个).3.从甲、乙等5人中选3人排成一列,则甲不在排头的排法种数是()A.12B.24C.36D.48【解析】选D.记另外3人为丙、丁、戊,则甲不在排头的排法有:(1)不选甲:(2)选甲:所以共有48种不同的排法.4.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数
10、之源,被世界公认为组合数学的鼻祖,它是中华民族对人类的伟大贡献之一.洛书上记载,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有图1:“以五居中,五方白圈皆为阳数,四隅黑点为阴数”,这就是有记载的最早的三阶幻方.按照这样的说法,将1到9这九个数字,填在如图2的九宫格中,九宫格的中间填5,四个角填偶数,其余位置填奇数,则每一横行,每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于15的结果数为()A.16B.32C.8D.128【解析】选C.5九宫格的中间填5,位置填偶数2,4,6,8,位置填奇数1,3,7,9,因为每一横行,每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于15,所以、位置填2,8或4,6;先从2,4,
11、6,8中选出一个数填入位置,则有4个结果;若填2,则填8,填6,填4,填7,填1,填3,填9;或填8,填4,填6,填9,填3,填1,填7;共包含2个结果;因此,总的结果个数为42=8.二、填空题(每小题5分,共20分)5.小张家计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物),若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒,则不同的种植方案共有种.【解析】当第一块地种茄子时,有432=24种不同的种法;当第一块地种辣椒时,有432=24种不同的种法,故共有48种不同的种植方案.答案:486.5个不同的球,放入2只不同的箱子中,每箱不
12、空,共有种不同的放法.【解析】第1个球有2种放法,第2个球有2种放法,第5个球有2种放法,总共有25=32种放法,但要每箱不空,故有2种情况不合要求,因此,符合要求的放法有25-2=30种.答案:307.六个停车位置,有3辆汽车需要停放,若要使三个空位连在一起,则停放的方法数为.【解析】把3个空位看作一个元素,与3辆汽车共有4个元素排列,根据分步乘法计数原理共有4321=24种.答案:248.有3名大学毕业生,到5家公司应聘,若每家公司至多招聘1名新员工,且3名大学毕业生全部被聘用,若不允许兼职,则共有种不同的招聘方案.(用数字作答)【解析】将5家公司看成5个不同的位置,从中任选3个位置给3名
13、大学毕业生,则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题,所以不同的招聘方案共有=543=60(种).答案:60三、解答题(每小题10分,共30分)9.某药品研究所研制了5种消炎药a1,a2,a3,a4,a5,4种退热药b1,b2,b3,b4,现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验,但a1,a2两种药同时用或同时不用,a3,b4两种药不能同时使用,试写出所有不同试验方法.【解析】如图,由树状图可写出所有不同试验方法如下:a1a2b1,a1a2b2,a1a2b3,a1a2b4,a3a4b1,a3a4b2,a3a4b3,a3a5b1,a3a5b2,a3a5b3,a4a5b1,a4a5b
14、2,a4a5b3,a4a5b4,共14种.10.编号为A,B,C,D,E的5个小球放在如图所示的5个盒子里,要求每个盒子只能放1个小球,且A球不能放在1,2号盒子里,B球必须放在与A球相邻的盒子中,求不同的放法有多少种?31245【解析】根据A球所在位置分三类:(1)若A球放在3号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,则根据分步乘法计数原理得,此时有321=6种不同的放法.(2)若A球放在5号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,则根据分步乘法计数原理得,此时有321=6种不同的放法.(3)若A球放在4号盒子内,则B球可以放在2号、3号、5号
15、盒子中的任何一个,有3种方法,余下的三个盒子放球C,D,E,有321=6种不同的放法,根据分步乘法计数原理得,此时有36=18种不同的放法.综上所述,由分类加法计数原理得不同的放法共有6+6+18=30(种).11.用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的四位偶数?【解析】完成这件事有三类方法:第一类是用0当末位数字的比2 000大的4位偶数,它可以分三步去完成:第一步,选取千位上的数字,只有2,3,4,5可以选择,有4种选法;第二步,选取百位上的数字,除0和千位上已选定的数字以外,还有4个数字可供选择,有4种选法;第三步,选取十位上的数字,还有3种选法.依据分步乘法计数原理,这类数的个数有443=48(个);第二类是用2当末位数字的比2 000大的4位偶数,它可以分三步去完成:第一步,选取千位上的数字,除去2,1,0,只有3个数字可以选择,有3种选法;第二步,选取百位上的数字,在去掉已经确定的首尾两数字之后,还有4个数字可供选择,有4种选法;第三步,选取十位上的数字,还有3种选法.依据分步乘法计数原理,这类数的个数有343=36(个);第三类是用4当末位数字的比2 000大的4位偶数,其步骤同第二类.对以上三类结论用分类加法计数原理,可得所求无重复数字且比2 000大的四位偶数有48+36+36=120(个).
