1、考试卷6 直线、平面、简单几何体综合测试卷总分150分 时间120分钟 成绩评定_第卷（选择题，共60分）一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l”的（ ）A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件2将正方体的纸盒展开（如图），直线AB，CD在原正方体中的位置是（ ）A平行B垂直C相交成60角D异面且成60角3如图所示，正三棱锥V-ABC中，D，E，F分别是VC，VA，AC的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成角的大小是（ ）ABCD随P点的变化而变化4如图，空间四边形
2、的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么（ ）ABCD不能比较大小5PQ是异面直线a，b的公垂线，ab，Aa，Bb，c在线段PQ上（异于P，Q），则ABC的形状是（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定6长方体的高等于h，底面积等于Q，垂直于底的对角面的面积是M，则此长方体的侧面积等于（ ）ABCD7若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）A三棱锥B四棱锥C五棱锥D六棱锥8如图所示，从放置的球体容器顶部一个孔向球内以相同的速度注水，容器中水面的高度h与注水时间t之间的关系用图象表示应为（ ）9已知正方体的棱长为1，P是的中点，E是上一点，则PE+EC的最小值是（ ）
3、A2BCD10如果，AB和CD是夹在平面与之间的两条线段，ABCD，且AB=2，直线AB与平面所成的角为30，那么线段CD的取值范围是（ ）AB（1，+）CD11已知铜的单晶体的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶体有24个顶点，每个顶点处都有三条棱，则单晶铜的两种晶面三角形和八边形的数目各为（ ）A6，8B8，6C6，6D8，812如图，在水平横梁上A，B两点各挂长为50cm的细线AM、BN，AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm的木条，MN平行于横梁，木条中点为O，木条绕O的铅垂旋转60角，则木条比原来升高了（ ）A10cmB5cmCcmD第卷（非选择题，共
4、90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）13P是二面角-AB-棱AB上的一点，分别在，上引射线PM，PN，如果BPM=BPN=45，MPN=60，那么二面角-AB-的大小是_14正三棱锥的三条侧棱两两垂直，它的底面面积为Q，则它的侧面积为_15湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则此球的半径为_16，是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：mn n m以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_三、解答题（本大题共6小题，前5小题每小题12分，最
5、后1小题14分，共74分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17已知平面，相交于直线c，而异面直线a，b分别在平面，内，求证：（1）直线a，b至少有一条与c相交；（2）若a与c相交，而bc，则直线b与平面的距离等于异面直线a，b间的距离18三棱锥V-ABC中，AH侧面VBC，且H是VBC的垂心（1）求证：VCAB；（2）若二面角H-AB-C的大小为30，求VC与平面ABC所成角的大小19如图，在四面体ABCD体，截面EFGH平行于对棱AB和CD试问：截面在什么位置时，其截面EFGH的面积最大？20如图，以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立直角坐标系O-xyz，其中OxBC
6、，OyAB，E为VC的中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h（1）求；（2）设角BCV为，DCV为，且BED是二面角-VC-的平面角，求BED21四边形ABCD是边长为a的正方形，M、N分别是DA，BC上的点，MNAB，MN交AC于O，沿MN折成二面角AB-MN-CD（1）求证：不论MN怎样平行移动，AOC的大小不变；（2）MN在什么位置时，AC与MN的距离最大，求出最大值22如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=a，PA平面ABCD，且PA=1（1）在BC边上是否存在点Q，使PQQD，说明理由；（2）若BC边上有且仅有一个点Q，使PQQD，求AD与平面PDQ所成角的大小；（3）在（2）的条件
7、下，求平面PQD与平面PAB所成角的大小参 考 答 案一、选择题1B （点拨：由线面垂直的定义可知：若l，则l垂直于平面内的任一条直线；但直线垂直于平面内的无数条直线，可以是垂直于平面内无数条平行线，并不可以得到l）2D （点拨：将展开图还原（如图），从圆中可观察到AB，CD异面，并可求得所成角为60）3B （点拨：F为AC中点，VFAC，BFACAC面VFB，ACPF，即DEPE）4C （点拨：，而是钝角，）5C （点拔：如图，过Q作直线aa，过A作AAa于A，过C作CCa交AA于C设AQ=x，BQ=y，AB=z，AA=h，CQ=h在RtBQA中有，在ABC中， ABC为钝角三角形）6C （
8、点拨：设底面两边长分别为x，y，则则，侧面积为）7D （点拨：由已知此棱锥的侧面为正三角形，则每个角均为60，若为正六棱锥，则由锥顶出发的六个角均为60，它们的和为360，所以它们在同一平面上，显然此种棱锥不存在）8C （点拨：前半时间内，高度增加得越来越慢；后半时间内，高度增加得越来越快，整个过程中，高度随时间的增加不是匀速的）9C （点拨：把侧面沿展开与侧面在同一平面内，连PC，此时PC最小，最小值为）10D （点拨：如图，设AO于O，联结BO并延长至，使CD，则AB，则，不妨设C点与A点重合（夹在两个平行平面间的平行线段相等，则）设AE是任意垂直于AB且与交于E，连BE，则，而此时，AE
9、=CD显然满足条件的直线都在过A点与AB垂直的平面内，而过A点的射影长可任意的）11B （点拨：设单晶铜三角形晶面有x个，八边形晶面有y个，则有解之得）12A （点拨：MOG=60，MO=GO=30cm，在RtAGM中，GM=50-40=10（cm）二、填空题1390 （点拨：如图，取PM=PN，令PM=PN=1，过点M在平面内作CMAB，垂足为C，联结CN，可得PCMPCN，NCP=90，则MCN为二面角-AB-的平面角，可求得，MN=1，故，所以MCN=90）14Q （点拨：在正三棱锥P-ABC中，设PA=PB=PC=a，AB=AC=BC=x，则，设E为BC中点，连AE，PE，易证APPE
10、，而，又，即，可解得，）1513cm （点拨：如图，AB为空穴面直径，即AB=24cm，CD是球的直径2R，CM=8cm，则由得解得R=13cm）16m，n，mn或者mn，m，n（二者任选一个）三、解答题17证明：（1）若a、b都不与c相交，而，则ac，同理bcab，这与a、b异面矛盾，故a、b至少有一条与c相交；（2）设线段PQ为a、b的公垂线段，PQb，bc，PQc，又PQa，又a、c相交，PQPQ是b到的距离18（1）证明：连BH交VC于E，H为VBC的垂心，VCBE，又AH平面VBC，则BE为斜线AB在平面VBC上的射影，ABVC；（2）解：由（1）知VCAB，VCBE，VC平面ABE
11、，在平面ABE上，作DEAB，又ABVC，AB平面DEC，ABCD，EDC为二面角E-AB-C的平面角，EDC=30，AB平面VCD，VC在底面ABC上射影为CD，VCD为VC与底面ABC所成角，又VCDE，CED=90，故ECD=60VC与面ABC所成角为6019解：AB平面EFGH，平面ABC平面EFGH=GFABGF同理可证EHAB，GFEH，同理可证EFGH故四边形EFGH为平行四边形设AFAC=n，则FCAC=1-n，又设AB与CD所成角为，则有FGH=（或-）=（1-n）ABnCDsinFGH=n（1-n）ABCDsinFGH而ABCDsinFGH为定值，故n（1-n）取最大值时，
12、最大，当且仅当n=1-n，即时，取得最大值故当E、F、G、H分别为各边中点时四边形EFGH的面积最大20解：（1）由题意知，B（a，a，0），C（-a，a，0），由此得，；（2）若BED是二面角-VC-的平面角，则，即有易得=（a，-a，h）而，即故21（1）证：设AM=BN=x，则MD=NC=a-xAM、CN的公垂线为MN=a，又，在AOC中，AOC=120，因此不论MN怎样平移，AOC=120为定值；（2）MNCD，MN平面ACD，于是异面直线AC和MN间的距离等于平行线MN到平面ACD的距离，作MPAD于DMNMA，MNMD，而MPMN，又CDMN，MPCD而CDDA=DMP平面ADC，
13、即MP的长等于MN，AC间距离设DM=x，则AM=a-x两次取等号的条件均为x=a-x即，即M为正方形ABCD边AD中点时，AC与MN距离最大，最大值为22（1）若使PQDQ，又PQ在平面ABCD的射影为AQ，即使DQAQ故当以AD为直径的圆与BC相交，即a2时，在BC边存在两点Q，使PQQD当以AD为直径的圆与BC相切，即a=2时，在BC边存在一点Q，使PQQD当以AD为直径的圆与BC相离，即0a2时，在BC边不存在点Q，使PQQD；（2）由（1）知此时a=2，易得DQ平面PAQ平面PAQ平面PDQ过A作AFPQ于F，连DF则AF平面PDQ，ADF为AD与平面PDQ所成角，在RtPAQ中，PA=1，在RtAFD中，AD与平面PDQ所成角为；（3）易知PDQ在平面PAB内的射影为PAB，设平面PDQ与平面PAB所成的二面角为Q，则所求二面角为
