1、2012-2013学年浙江省嘉兴一中高一（下）期初数学试卷参考答案与试题解析一选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）1（3分）（2010深圳二模）若U=1，2，3，4，M=1，2，N=2，3，则U（MN）=（）A1，2，3B2C1，2，3D4考点：交、并、补集的混合运算专题：计算题分析：利用两个集合的并集的定义求出 MN，再利用集合的补集的定义求出CU（MN）解答：解：MN=1，22，3=1，2，3，CU（MN）=4，故选D点评：本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的并集的定义和求法，求出 MN是解
2、题的关键2（3分）某种动物繁殖量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog3（x+1），设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到（）A200只B300只C400只D500只考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异专题：计算题分析：根据这种动物第2年有100只，先确定函数解析式，再计算第8年的繁殖数量即可解答：解：由题意，繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog3（x+1），这种动物第2年有100只100=alog3（2+1），a=100，y=100log3（x+1），当x=8时，y=100 log3（8+1）=1002=200故选A点评：本题主要考查了学生对函数解析式的理解
3、，以及考查运算能力，属于基础题3（3分）已知角的正弦线和余弦线长度相等，且的终边在第二象限，则 tan=（）A0B1C1D考点：三角函数线专题：计算题；三角函数的求值分析：根据题意，角的正弦的绝对值和余弦线的绝对值相等，因此可得|tan|=1，结合的终边在第二象限，可得tan的值解答：解：角的正弦线和余弦线长度相等，|sin|=|cos|，两边都除以|cos|得：|tan|=1因此，tan=1又的终边在第二象限，tan0，可得tan=1故选：C点评：本题给出角的正、余弦的绝对值相等，求角的正切值，着重考查了三角函数线的概念和同角三角函数基本关系等知识，属于基础题4（3分）下列格式正确的是（）A
4、=Bloga（b+c）=logablogac（a0，a1）Ca2a4a8=a248D（ab）n=anbn（nN*）考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值专题：计算题分析：；loga（b+c）logablogac（a0，a1）；a2a4a8=a2+4+8；（ab）n=anbn（nN*）解答：解：，故A不正确；loga（b+c）logablogac（a0，a1），故B不正确；a2a4a8=a2+4+8，故C不正确；（ab）n=anbn（nN*），故D正确故选D点评：本题考查对数和指数的性质和运算法则，是基础题解题时要认真审题，仔细解答5（3分）方程log3x=3x的解所在区间是（）A（0，2
5、）B（2，3）C（1，2）D（3，4）考点：函数的零点与方程根的关系专题：计算题；数形结合；转化思想分析：方程的解所在的区间，则对应的函数的零点在这个范围，把原函数写出两个初等函数，即两个初等函数的交点在这个区间，结合两个函数的草图得到函数的交点的位置在（1，3），再进行进一步检验解答：解：方程log3x=x+3的解，根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1，3），因m（x）=log3x+x3在（1，2）上不满足m（1）m（2）0，方程 log3x+x3=0 的解所在的区间是（2，3），故选B点评：本题考查函数零点的检验，考查函数与对应的方程之间的关系，是一个比较典型的函数的零点的问
6、题，注意解题过程中数形结合思想的应用属基础题6（3分）已知f（cosx）=sin2x，则f（sin30）的值为（）ABCD考点：函数的值；诱导公式的作用专题：计算题；函数的性质及应用分析：由诱导公式可知sin30=cos60，然后代入已知函数解析式即可求解解答：解：f（cosx）=sin2x，则f（sin30）=f（cos60）=sin120=故选D点评：本题主要考查了函数的 函数值的求解，解题的关键是诱导公式的应用把sin30化为cos607（3分）已知向量=（1，2），=（0，1），设=+，=2，若，则实数k的值为（）A1B1CD考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算专题：平面向量及
7、应用分析：根据向量坐标运算求出、 的坐标表示，再根据共线向量定理求解解答：解：=2=（20，41）=（2，3）；=+k=（1+k0，2+k）=（1，k+2），=2k=故选D点评：本题考查向量坐标运算及共线向量定理8（3分）已知，则的值是（）ABC2D2考点：三角函数的化简求值专题：计算题分析：利用化简得结果为1，进而根据的值，求得，则答案取倒数即可解答：解：=（）=1=2=故选A点评：本题主要考查了三角函数的化简求值解题过程灵活利用了同角三角函数的基本关系，通过=1巧妙的解决了问题9（3分）如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若D=B+kC，则+k=（）ABC2D考点：向量在
8、几何中的应用专题：计算题；平面向量及应用分析：如图，以A为原点，AB、AC所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，可得A、B、C、D各点的坐标，从而得到向量、坐标，结合题意可算出和k的值，进而得到+k的值解答：解：以A为原点，AB、AC所在直线分别为x、y轴建立如图直角坐标系，可得A（0，0），B（1，0），C（0，1）ABC、CDE是直角边长为1的等腰直角三角形=（，）因此，向量=+=（0，1）+（，）=（，1+）=（1，0）+k（0，1）=（，k）=，k=1+，可得+k=1+故选：A点评：本题给出两个全等的等腰直角三角形，在已知向量等式的情况下求+k的值着重考查了平面向量的线性运算、坐标运算
9、和向量在几何中的应用等知识，属于基础题10（3分）已知sin=，cos=，其中，则下列结论正确的是（）Am3，9Bm（，5）3，+）Cm=0或m=8Dm=8考点：同角三角函数间的基本关系专题：三角函数的求值分析：由的范围判断出sin与cos的正负，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可得到m的范围，再利用同角三角函数间的基本关系列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值解答：解：，sin=0，cos=0，且（）2+（）2=1，整理得：=1，即5m222m+25=m2+10m+25，即m（m8）=0，解得：m=0或m=8，将m=0代入检验不合题意，舍去，则m=8故选D点评：此题考查了同角
10、三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键11（3分）设函数f（x）=lg（x2+axa1），给出下述命题：函数f（x）的值域为R；函数f（x）有最小值；当a=0时，函数f（x）为偶函数；若f（x）在区间2，+）上单调递增，则实数a的取值范围a4正确的命题是（）ABCD考点：对数函数的单调性与特殊点专题：阅读型分析：由已知中函数f（x）=lg（x2+axa1），我们易判断出其真数部分的范围，结合对数函数的性质可判断与的真假，由偶函数的定义，可判断的正误，再由复合函数单调性的判断方法及函数的定义域，可判断的对错进而得到结论解答：解：u=x2+axa1的最小值为（a2+4a+4）0函数f
11、（x）的值域为R为真命题；但函数f（x）无最小值，故错误；当a=0时，易得f（x）=f（x），即函数f（x）为偶函数正确；若f（x）在区间2，+）上单调递增，则解得a3，故错误；故选A点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点、对数函数的定义和值域、偶函数及复合函数的单调性，是一道函数的综合应用题，其中中易忽略真数部分必须大于0，而错判为真命题12（3分）（2013浙江二模）已知函数，若关于x的方程f（x2+2x）=a（aR）有六个不同的实根，则a的取值范围是（）A（2，8B（2，9C（8，9D（8，9）考点：函数的零点与方程根的关系专题：压轴题；函数的性质及应用分析：令t=x2+2x，
12、则t1，f（t）=由题意可得，函数f（t）的图象与直线y=a 有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，数形结合可得a的取值范围解答：解：令t=x2+2x，则t1，函数f（t）=由题意可得，函数f（t）的图象与直线y=a 有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，如图所示：由于当t=1时，f（t）=8，此时，t=1对应的x值只有一个x=1，不满足条件，故a的取值范围是 （8，9，故选C点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想及等价转化的数学思想，属于中档题二填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填在答卷中相应横线上）13（3分）已知角的终
13、边经过点P（x，6），且，则x的值为10考点：任意角的三角函数的定义分析：由于，可以得到关于x的方程，求解即可解答：解：由三角函数的定义可知，=，所以x=10故答案为：10点评：本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题14（3分）已知幂函数f（x）=xm的图象过点（2，），则=考点：函数的值；幂函数的概念、解析式、定义域、值域专题：计算题；函数的性质及应用分析：由幂函数f（x）=xm的图象过点（2，），解得m=，故f（x）=，由此能求出f（）解答：解：幂函数f（x）=xm的图象过点（2，），解得m=，f（x）=，f（）=（）=故答案为：点评：本题考查幂函数的性质及其应用，是基础题解题时要认真审
14、题，仔细解答15（3分）已知（，），则=考点：诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系专题：计算题分析：利用条件及诱导公式求得sin=，再利用诱导公式化简要求的式子为cos，再利用同角三角函数的基本关系求出结果解答：解：已知（，），sin（+）=，sin=cos=，故答案为 点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的应用，属于基础题16（3分）若tan=2，则=考点：任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系专题：计算题分析：把的分子分母同除以cos，cos2化为它的分子分母同除以cos2，然后代入tan=2求出结果解答：解：=故答案为：点评：本题考查任意角的三角函数的定
15、义，同角三角函数间的基本关系，考查计算能力，是基础题17（3分）（2009天津）在四边形ABCD中，=（1，1），则四边形ABCD的面积是考点：向量的线性运算性质及几何意义专题：压轴题分析：根据题意知四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，再由向量数量积运算的反应用可得和，最终可得四边形ABCD的面积解答：解：由题，可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分ABC，四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，所以，故，故答案为：点评：本小题考查向量的几何运算，基础题18（3分）对函数y=f（x）（x1xx2），设点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上的两端点
16、，O为坐标原点，且点N满足=+（1），0，点M（x，y）在函数y=f（x）的图象上，且x=x1+（1）x2，则称|MN|的最大值为函数的“高度”，则函数f（x）=x22x1在区间1，3上的“高度”为4考点：二次函数的性质；平面向量的基本定理及其意义专题：新定义；函数的性质及应用分析：利用向量共线即可得出点N的坐标及的取值范围、利用两点间的距离公式即可得出|MN|、再二次函数的单调性即可得出解答：解：由函数f（x）=x22x1及区间1，3可得区间端点A（1，2），B（3，2）=（34，2），N（34，2）；点N满足=+（1），0，01xM=34，yM=（34）22（34）1=16216+2，|M
17、N|=|16216|=，0，1，|MN|4函数f（x）=x22x1在区间1，3上的“高度”为4故答案为4点评：正确理解新定义、向量共线、二次函数的单调性是解题的关键三解答题（本大题共6小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（7分）集合A=x|x2px+15=0和B=x|x2axb=0，若AB=2，3，5，AB=3，分别求实数p、a、b的值考点：交集及其运算；并集及其运算专题：计算题分析：因为AB=3，所以3A，从而可得p=8，又由于3A，且AB=2，3，5，方程x2axb=0的二根为2和3由韦达定理可得a，b，从而解决问题解答：解：因为AB=3，所以3A，从而可得p=8，
18、所以A=3，5（4分）又由于3A，且AB=2，3，5，所以B=2，3（6分）所以方程x2axb=0的二根为2和3由韦达定理可得a=5，b=6综上可知p=8，a=5，b=6.（10分）点评：本题考查学生的等价转化能力，将所求的取值化为相应的方程通过求解方程解出答案，正确进行转化是解决该题的关键20（7分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x5，5，（1）当a=1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间5，5上是单调减函数考点：二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质专题：计算题；综合题；函数的性质及应用分析：（1）当a=1时f（x）=x22x+2，可得区间（5
19、，1）上函数为减函数，在区间（1，5）上函数为增函数由此可得f（x）max=37，f（x） min=1；（2）由题意，得函数y=f（x）的单调减区间是a，+），由5，5a，+）解出a5，即为实数a的取值范围解答：解：（1）当a=1时，函数表达式是f（x）=x22x+2，函数图象的对称轴为x=1，在区间（5，1）上函数为减函数，在区间（1，5）上函数为增函数函数的最小值为f（x）min=f（1）=1，函数的最大值为f（5）和f（5）中较大的值，比较得f（x）max=f（5）=37综上所述，得f（x）max=37，f（x） min=1（6分）（2）二次函数f（x）图象关于直线x=a对称，开口向上函
20、数y=f（x）的单调增区间是（，a，单调减区间是a，+），由此可得当5，5a，+）时，即a5时，f（x）在5，5上单调减，解之得a5即当a5时y=f（x）在区间5，5上是单调减函数（6分）点评：本题给出含有参数的二次函数，讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最值，着重考查了二次函数的图象与性质和函数的单调性等知识，属于基础题21（8分）（2009襄阳模拟）已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cos，sin），（1）若，求角的值；（2）若，求的值考点：三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用专题：计算题分析：（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得
21、tan的值，根据的范围求得（2）根据向量的基本运算根据求得sin和cos的关系式，然后同角和与差的关系可得到，再由可确定答案解答：解：（1），化简得tan=1（2），（cos3，sin）（cos，sin3）=1，点评：本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题三角函数与向量的综合题是高考的重点，每年必考的，一定多复习22（8分）已知向量=（cos（），sin（），=（1）求证：（2）若存在不等于0的实数k和t，使=+（t2+3），=（k+t），满足，试求此时的最小值考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数中的恒等变换应用专题：计算题；证明题分析：（1）利用向量的数量积公式求出
22、，利用三角函数的诱导公式化简得数量积为0，利用向量垂直的充要条件得证（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律化简方程，将方程中的k用t表示，代入，利用二次函数最值的求法求出最小值解答：解：（1）证明=cos（）cos（）+sin（）sin=sincossincos=0（2）解由得=0，即+（t2+3）（k+t）=0，k+（t3+3t）+t2k（t+3）=0，k+（t3+3t）=0又=1，=1，k+t3+3t=0，k=t3+3t=t2+t+3=2+故当t=时，有最小值点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算律、二次函数最值的求法23（8分）已知偶函数f（x）=log4（4x+1
23、）+kx（kR），（）求k的值；（）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围考点：对数函数图象与性质的综合应用专题：计算题；压轴题分析：（）根据偶函数可知f（x）=f（x），取x=1代入即可求出k的值；（）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，则方程f（x）=g（x）有且只有一个实根，化简可得有且只有一个实根，令t=2x0，则转化成方程有且只有一个正根，讨论a=1，以及=0与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数a的取值范围解答：解：（）由f（x）=f（x）得到：f（1）=f（1）log4（41+1）k=log4（4+1）+k，（）函数f（x）与g
24、（x）的图象有且只有一个公共点即方程有且只有一个实根化简得：方程有且只有一个实根令t=2x0，则方程有且只有一个正根，不合题意；或3若，不合题意；若若一个正根和一个负根，则，即a1时，满足题意所以实数a的取值范围为a|a1或a=3点评：本题主要考查了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题24（8分）已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（ax）=2b，则函数y=g（x）的图象关于点（a，b）中心对称”设函数，定义域为A（1）试证明y=f（x）的图象关于点（a，1）成中心对称；（2）当xa2，a1时，求证：；（3）对于给定的x1A，
25、设计构造过程：x2=f（x1），x3=f（x2），xn+1=f（xn）如果xiA（i=2，3，4），构造过程将继续下去；如果xiA，构造过程将停止若对任意x1A，构造过程都可以无限进行下去，求a的值考点：函数的值域；函数单调性的判断与证明专题：计算题分析：本题的要求较高，需要理解新的定理，第（1）小问是对函数对称性的考查，第（2）小问是对函数值域求法的考查，相对比较容易，对于第（3）问要求理解构造的一个新数列的各项不会出现函数定义域A之外的元素，构造过程才可以继续，这就转化为恒成立的问题，进而分类讨论求出a解答：（1），由已知定理，得y=f（x）的图象关于点（a，1）成中心对称（3分）（2）先证明f（x）在a2，a1上是增函数，只要证明f（x）在（，a）上是增函数设x1x2a，则，f（x）在（，a）上是增函数再由f（x）在a2，a1上是增函数，得当xa2，a1时，f（x）f（a2），f（a1），即（7分）（3）构造过程可以无限进行下去，对任意xA恒成立方程无解，即方程（a+1）x=a2+a1无解或有唯一解x=a或由此得到a=1（13分）点评：本例考查的数学知识点有，函数的对称性，函数的定义域和值域的求法；数学思想有极限思想，方程思想；是一道函数综合题
