1、江西省南昌市八一中学 2019-2020 学年高一数学 5 月开学考试试题（含解析）一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.410角的终边落在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据角的定义判断即可【详解】41036050，故为第一象限角，故选 A【点睛】判断角象限，将大角转化为一个周期内的角即可 2.若扇形的面积为 38、半径为 1，则扇形的圆心角为（）A.32 B.34 C.38 D.316 【答案】B【解析】设扇形的圆心角为，则扇形的面积为 38，半径为 1，231
2、3824l 故选 B 3.已知 tan 3，则 cos 3(2)2 A.45 B.35 C.35 D.45【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式化简得 sin 2 ，再利用221sincos，可得 sin 2222sincossin cos，分子分母同时除以2cos x 即可得解.【详解】tan3，cos 322sin 22222263sincos19 15sin costantan，故选 C 【点睛】本题主要考查了诱导公式及同角三角函数的关系的应用，巧用22sincos1 解题，属于基础题.4.设函数 f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是 A.f(x)的一个周期为2 B.y=f(x
3、)的图像关于直线 x=83 对称 C.f(x+)的一个零点为 x=6 D.f(x)在(2,)单调递减【答案】D【解析】f(x)的最小正周期为 2，易知 A 正确；f 83cos 833cos31，为 f(x)的最小值，故 B 正确；f(x)cos3xcos3x，f 6cos 63cos 2 0，故 C 正确；由于 f 23cos 233cos1，为 f(x)的最小值，故 f(x)在,2 上不单调，故 D 错误 故选 D.5.已知 a 是实数，则函数()1sinf xaax 的图象不可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】由题知，若，选项 C 满足；若，其 中，函 数 周 期，选项
4、A 满足；若，其中，函 数 周 期，选 项B满 足；若,则，且周期为而选项 D 不满足以上四种情况，故图象不可能是 D 故本题正确答案为 D 6.在 ABC中，tantan33tantanABAB，则C 等于（）A.6 B.4 C.3 D.23 【答案】C【解析】分析：利用两角和的正切公式，求出 tan()AB的三角函数值，求出 AB的大小，然后求出C 的值即可 详解：由 tantan33tantanABAB，则tantan3(1tantan)tan()31tantan1tantanABABABABAB ，因为,A B C 位三角形的内角，所以23AB，所以3C，故选 C 点睛：本题主要考查了
5、两角和的正切函数的应用，解答中注意公式的灵活运用以及三角形内角定理的应用，着重考查了推理与计算能力 7.要得到函数 ysin（2x3）的图象，只需将函数 ycos2x 的图象（）A.向左平移12 个单位 B.向左平移 6 个单位 C.向右平移12 个单位 D.向右平移 6 个单位【答案】C【解析】【分析】先转化 ysin（2x3）=cos（2x32）=cos2(x12），再根据平移的规律求解.【详解】因为 ysin（2x3）=cos（2x32）=cos2(x12），所以只需将函数 ycos2x 的图象向右平移12 个单位得到.故选：C【点睛】本题主要考查了诱导公式及三角函数的图象变换，还考查了
6、转化问题和理解辨析的能力，属于基础题.8.已知,都是锐角，510cos,cos,510则()A.45 B.135 C.45或135 D.不能确定【答案】B【解析】【分析】根据条件求出cos，然后确定出的范围，进而求得的值【详解】510cos,cos510，,都是锐角，sin2 53 10,sin510，5102 53 102coscos cos5105102sin sin 又,都是锐角，0180，135 故选 B【点睛】解答给值求解问题的一般思路：求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；确定角的范围，此时注意范围越精确越好；根据角的范围写出所求的角 9.设223(si
7、n17cos17),2cos 131,22abc，则（）A.cab B.bca C.abc D.bac【答案】A【解析】由题设，根据两角差余弦公式，得cos45 cos17sin 45 sin17cos28a ，根据二倍角公式，得cos26b ，又3cos302c，因为262830 ，所以cos30cos28cos26 ，故正确答案为 A.10.已知函数()sincos()f xxax aR图象的一条对称轴是6x，则a 的值为（）A.5 B.5 C.3 D.3 【答案】D【解析】【分析】化简函数 f（x）acosx+sinx 为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线6x对 称，就是6x时
8、，函数取得最值，求出 a 即可【详解】函数 f（x）acosx+sinx21asin（x+），其中 tana，2 2 ，其图象关于直线6x对称，所以 62，3，所以 tana3，故答案为 D【点睛】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题 11.函数 f（x）=13sin（x+6）+cos（x-3）的最大值是（）A.43 B.23 C.1 D.13【答案】A【解析】【分析】先利用三角恒等变化公式将函数化成sinyAx的形式，然后直接得出最值.【详解】11sincossin coscos sincossin sin36326633f xxxxxxcosx 整理得 2 32s
9、incos33fxxx，利用辅助角公式得 4 sin36f xx，所以函数 f x 的最大值为 43，故选 A.【点睛】三角函数求最值或者求值域一定要先将函数化成sinyAx的形函数.12.已知函数()sin()(0)6f xx在区间2,43上单调递增，则 的取值范围为（）A.80,3 B.10,2 C.1 8,2 3 D.8,23【答案】B【解析】分析】根据正弦函数的单调性，结合在区间2,43上单调递增，建立不等关系式，即可求解.【详解】函数()sin()(0)6f xx在区间2,43上单调递增，2462,22362kkZk 解得883,132kkZk，0，0k时，可得102.故选：B.【点
10、睛】本题考查了由正弦型函数的单调性求参数范围的问题，考查了计算能力.熟练掌握正弦函数的单调区间是关键.属于中档题.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若1sin3，则cos()=_.【答案】79【解析】试题分析：因为 和 关于 y 轴对称，所以2,kkZ，那么1sinsin3，2 2coscos3（或2 2coscos3），所以2227coscoscossinsincossin2sin19 .【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，
11、以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若 与的终边关于 y 轴对称，则2,kkZ，若 与 的终边关于 x 轴对称，则2,kkZ，若 与 的终边关于原点对称，则2,kkZ.14.已知3sin0652，则cos _.【答案】4 3310【解析】【分析】设6,再换元得coscos()6,再利用和差角公式求解即可.【详解】设6,则3sin563,所以24cos1 sin5,又433 14 33coscos()cos cossinsin666525 210 故答案为 4 3310【点睛】本题主要考查换元法,将已知角设成,再反解求出所求三角函数的角,再利用和差角公式化简计算.15.若1sin1cos2xx
12、，则 cossin1xx_【答案】12 【解析】分析：利用三角函数基本关系式化简 cossin1xx 即可.详解：2cossin1cossin1cossin1sin1sin1sin1xxxxxxxxx 2cossin11 sin1.coscos2xxxxx 故答案为 12.点睛：本题考查利用三角函数基本关系式化简求值，属基础题.16.已知函数 cos2sinf xxx，若对任意实数 x，恒有 12ff xf，则12cos _【答案】14【解析】【分析】由 函 数()f x 取 得 最 值 的 条 件，可 求 得121sin1,sin4，再 由 三 角 恒 等 变 换 求12cos 的值.【详解
13、】对任意实数 x，恒有 12ff xf，则1f 为最小值，2f 为最大值.因为 2219cos2sin12sinsin2 sin48f xxxxxx ，而 1sin1x，所以当sin=1x 时，()f x 取得最小值；当1sin4x 时，()f x 取得最大值.所以121sin1,sin4.所以1cos0.所以1212121coscoscossinsin4.【点睛】本题考查三角函数的最值和三角恒等变换，解题的突破口是由不等式恒成立得出函数的最值.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数2()21f xxax.（1）若函数()f x 的
14、增区间是(2,)，求实数a；（2）若函数()f x 在区间(1,1)和(1,3)上分别各有一个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2a ；（2）51,3【解析】【分析】（1）利用二次函数对称轴与-2 的关系列式即可（2）若函数 f（x）在区间(1,1)和（1，3）上各有一个零点，故有 101030fff，解不等式组求出 a 的取值范围【详解】（1）二次函数2()21f xxax，对称轴 xa，由题意2a （2）(1)01210(1)01 210(3)09610fafafa 所以：51,3a【点睛】本题考查二次函数零点分布，二次函数单调性，熟记二次函数性质是关键，属于中档题 18.已知函数
15、()3 cos 22sincos3f xxxx.（1）求 f x 的最小正周期；（2）求 f x 在0,上单调递增区间.【答案】(1)T；（2）递增区间为 0,12，7,12 【解析】【分析】（1）由三角恒等变换的公式，化简()sin 23f xx，再利用周期的公式，即可求解；（2）令 222232kxk，kZ，求得51212kxk，kZ，又由由0,x，即可求解函数的单调递增区间【详解】（1）由题意，函数33()cos2sin 2sin 222f xxxx 13sin 2cos2sin 2223xxx 所以 f x 的最小正周期为22T（2）令 222232kxk，kZ，得51212kxk，k
16、Z，由0,x，得 f x 在0,上单调递增区间为 0,12，7,12 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 19.如图，在平面直角坐标系 xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为2 2 5,105 （1）求 tan()的值；（2）求2的值【答案】（1）tan()3 （2）324【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得cos 与cos 的值，进而可
17、得出 sin 与 sin 的值，从而可求 tan 与 tan 的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出tan2tan 的值，再根据,的取值范围，可得出2的取值范围，进而可得出2的值.由条件得 cos，cos.，为锐角，sin，sin.因此 tan7，tan.(1)tan()3.(2)tan2，tan(2)1.，为锐角，02，2 20.已知函数 2logaf xaxx（1）若12a，求 f x 的单调区间；（2）若 f x 在区间2,4 上是增函数，求实数a 的取值范围【答案】（1）增区间为,0；减区间为2,；（2）1a 【解析】【详解】试题分析：（1）当12a 时，
18、2121log2f xxx，由2102 xx可得函数的定义域为,02,，结合图象可得函数的减区间为,0，增区间为2,（2）令 2g xaxx，分两种情况考虑当01a 时，若满足题意则 2g xaxx在2,4 上单调递减，且2min()0g xaxx；当1a 时，若满足题意则 2g xaxx在2,4 上单调递增，且2min()0g xaxx由此得到关于 a 的不等式组，分别解不等式组可得所求范围 试题解析：（1）当12a 时，2121log2f xxx，由2102 xx，得220 xx，解得0 x 或2x，所以函数的定义域为,02,，利用复合函数单调性可得函数的增区间为,0，减区间为2,（2）令
19、 2g xaxx，则函数 g x 的图象为开口向上，对称轴为12xa的抛物线，当01a 时，要使函数 f x 在区间2,4 上是增函数，则 2g xaxx在2,4 上单调递减，且2min()0g xaxx，即 1421140164aga，此不等式组无解 当1a 时，要使函数 f x 在区间2,4 上是增函数，则 2g xaxx在2,4 上单调递增，且2min()0g xaxx，即 1222420aga，解得12a，又1a ，1a ，综上可得1a 所以实数 a取值范围为(1,)点睛：求函数的单调区间时容易忽视函数定义域的限制，对数型函数的单调性满足“同增异减”的性质对于本题中的（2），同样容易忽
20、视20axx的限制条件，解题时要考虑全面，不要漏掉条件 21.已知函数 21axbfxx是定义域为1,1上的奇函数，且 112f（1）求 f x 的解析式；（2）若实数 t 满足2110ftf t，求实数 t 的范围.【答案】（1）21xfxx；（2）203t 【解析】【分析】（1）由函数 f x 是定义在1,1上的奇函数，可得 00f，再根据 112f可求出 a 的值.（2）利用函数 f x 是奇函数以及在1,1上是增函数，解不等式可求出实数 t 的范围.【详解】（1）函数 21axbfxx是定义域为1,1上的奇函数，00f，0b，又 112f，1a=，21xfxx.（2）由 21xfxx，
21、设1211xx ，则210 xx，于是 211221212222211211111xxx xxxf xf xxxxx，又因1211xx ，则 1 210 x x、2110 x 、2210 x 210f xf x，即 21f xf x 所以 f x 在1,1上单调递增，又2110ftf t，211ftf t，又由函数在1,1上是奇函数，211ftft，f x 在1,1上单调递增，所以21 1121 11 11tttt ，解不等式组可得203t，综上可得：203t 【点睛】本题考查了函数的奇偶性求参数值，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于基础题.22.如图，在 Rt ABC中，2C，且ABCA
22、EDEAD ，若1CD ，求 BE 的长.【答案】2【解析】【分析】令ABCAEDEAD ，则2BDC.在 Rt BCD 中，根据锐角三角函数可知1cos2BD，tan 2BC，又在 Rt ABC 中，同理可得tan 2tanAC.则可将 BE 表示成1(tan 2tan1)cos2.根据二倍角公式和同角三角函数间的关系，将其化简，即可得到结果.【详解】解析：令ABCAEDEAD ，则2BDC，1cos2BD，tan 2BC，tan2tanAC tan2tan1EDAD 1(tan 2tan1)cos21sin 2 sin1cos2cos2 cosBEBDED 2212sin12sin112cos2cos2cos2 .【点睛】本题考查了直角三角形中的三角函数问题，二倍角公式和同角三角函数间的关系的应用，属于中档题.
