1、A组学业达标1设直线l1的方向向量为a(2,1，2)，直线l2的方向向量为b(2,2，m)，若l1l2，则m等于()A1B2C3 D3解析：l1l2ab2212(2)m0.m3.答案：D2已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a(4，1,0)，b(1,4,5)，c(3,12，9)，则()Al1l2，但l1与l3不垂直Bl1l3，但l1与l2不垂直Cl2l3，但l2与l1不垂直Dl1，l2，l3两两互相垂直解析：ab(4，1,0)(1,4,5)4400，ac(4，1,0)(3,12，9)1212240.bc(1,4,5)(3,12，9)348450，ab，a与c不垂直，bc.l1l2，
2、l2l3，但l1不垂直于l3.答案：A3已知直线l1的方向向量a(2,4，x)，直线l2的方向向量b(2，y,2)，若|a|6，且ab，则xy()A3或1 B3或1C3 D1解析：|a|6，x4，又ab，ab224y2x0，y1x，当x4时，y3，当x4时，y1，xy1或3.答案：A4已知平面上的两个向量a(2,3,1)，b(5,6,4)，则平面的一个法向量为()A(1，1,1) B(2，1,1)C(2,1,1) D(1,1，1)解析：显然a与b不平行，设平面的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得x2，y1，n(2,1,1)答案：C5平面，的法向量分别为m(1,2，2)，n(2，4，k)，若
3、，则k()A3 B3C5 D5解析：由知，mn0.282k0，解得k5.答案：C6下列命题中：若u，v分别是两个不同的平面，的法向量，则uv；若u，v分别是平面，的法向量，则uv；若u是平面的法向量且向量a与共面，则ua0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直其中正确的命题序号是_解析：正确；正确；，u，a所在直线与平面平行或在平面内，ua.ua0，正确；正确答案：7已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_(填序号)解析：由于12(1)2(4)(1)0，4(
4、1)220(1)0，所以正确答案：8在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x1,2cos 2x2,0)和点Q(cos x，1,3)，其中x0，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为_解析：由OPOQ，得0.即( 2cos x1)cos x(2cos 2x2)(1)0.cos x0或cos x.x0，x或x.答案：或9.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，垂足为A，ABAD于A，ACCD于C，ABC60，PAABBC，E是PC的中点求证AECD.证明：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，设PAABBC1，则A(0,0,0)，P(0,0,1)ABC60，ABC为正三角形C，E
5、.设D(0，y,0)，则，.由ACCD得0，即y，则D，.又，0，即AECD.10.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，E，F分别为A1C1和BC的中点求证：(1)平面ABE平面B1BCC1；(2)C1F平面ABE.证明：如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线的x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系设BCa，ABb，BB1c，则B(0,0,0)，A(0，b,0)，C1(a,0，c)，F，E.(1)(0，b,0)，.设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则即令x2，则y0，z，即n.又平面B1BCC1的一个法向量为n1(0,1,0)n1n20
6、0100，平面ABE平面B1BCC1.(2)，且n0，平面ABE.又C1F平面ABE，C1F平面ABE.B组能力提升11.在三棱锥PABC中，CP，CA，CB两两垂直，ACCB1，PC2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是()A. B(1，1)C(1,1,1) D(2，2,1)解析：ACCB1，PC2，A(1,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,2)，(1,0,2)，(0，1,2)又(1,0,2)110120，(0，1,2)01(1)120，向量是平面PAB的法向量答案：A12.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD，则平面PQC
7、与平面DCQ的位置关系为()A平行 B垂直C相交但不垂直 D位置关系不确定解析：以D为坐标原点，线段DA1，射线DA为x轴正半轴，DP为y轴正半轴，DC为z轴正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz(图略)则Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)0，0，PQDQ，PQDC，故PQ平面DCQ，又PQ平面PQC，平面PQC平面DCQ，故选B.答案：B13.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.解析：以B为坐标
8、原点，BA、BC、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)则B(0,0,0)，B1(0,0,3a)，D，C(0，a,0)，设F(a,0，m)，则(a，a，m)，(a,0，m3a)CF平面B1DF，CFB1F，CFB1D，即，解得m2a或a.答案：a或2a14.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABADAA1，点P为线段A1C上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的是_当3时，D1P平面BDC1；当5时，A1C平面D1AP；APD1的最大值为90；APPD1的最小值为.解析：以D为坐标原点建立空间直角坐标系(图略)，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，C(0，0)，D
9、1(0,0,1)，C1(0，1)，B(1，0)，(1，1)设P(x，y，z)，则(x1，y，z1)对于，当3，即(1，1)3(x1，y，z1)时，解得P，则.设平面BDC1的法向量为n1(x1，y1，z1)，由解得n1(，1，)由于n10，所以D1P平面BDC1成立对于，当5，即(1，1)5(x1，y，z1)时，解得P.由，可知A1C平面D1AP成立对于，设，即(1，1)(x1，y，z1)，解得P.cos，其分子化简得，当时，cos，0，故APD1的最大值可以为钝角，错误对于，根据计算的数据，|22，在对称轴，即5时取得最小值为2，故错误答案：15.如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且AB
10、BCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点求证：EFBC.证明：由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直于BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0,0,0)，A(0，1，)，D(，1,0)，C(0,2,0)，因而E，F，所以，(0,2,0)，因此0.从而，所以EFBC.16.如图，在三棱锥PABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PAPBPC3，G是PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BEECPFFB12.(1)求证：平面GEF平面PBC；(2)求证：EG与直线PG和BC都垂直证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Pxyz，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)于是(0，1，1)，(1，1，1)设平面GEF的法向量为n(x，y，z)，则即可取n(0,1，1)显然(3,0,0)是平面PBC的一个法向量又n0，n，即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量垂直，平面GEF平面PBC.(2)由(1)，知(1，1，1)，(1,1,0)，(0，3,3)，0，0，EGPG，EGBC，EG与直线PG和BC都垂直
