1、专题能力训练5基本初等函数、函数的图象和性质专题能力训练第16页一、能力突破训练1.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是()A.f(x)=-x|x|B.f(x)=xsin xC.f(x)=1xD.f(x)=x12答案:A解析:函数f(x)=-x|x|=-x2,x0,x2,x0在其定义域上既是奇函数又是减函数,故选A.2.(2019全国,理3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bca答案:B解析:因为a=log20.220=1,又0c=0.20.30.201,所以ac0,排除选项D.f(6)=26326+2-67,排除选项A.
2、故选B.4.若定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件:对于任意的xR,都有f(x+1)=f(x-1);函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称;对于任意的x1,x20,1,都有f(x1)-f(x2)(x1-x2)0.则f32,f(2),f(3)从大到小的关系是()A.f32f(2)f(3)B.f(3)f(2)f32C.f32f(3)f(2)D.f(3)f32f(2)答案:D解析:对于任意的xR,都有f(x+1)=f(x-1),所以函数f(x)的周期为T=2;函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称;对于任意的x1,x20,1,都有f(x1)-f(x2
3、)(x1-x2)0,所以函数f(x)在区间(0,1)内单调递增.因为f(3)=f(1),f32=f12,f(2)=f(0),1120,所以f(3)f32f(2).5.(2020全国,理12)若2a+log2a=4b+2log4b,则()A.a2bB.ab2D.ab2答案:B解析:由指数与对数运算可得,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.因为22b+log2b22b+log22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a22b+log22b.令f(x)=2x+log2x,由指数函数与对数函数单调性可得f(x)在区间(0,+)上单调递增.由f(a)f(2b)可得a0时,两
4、函数图象有5个交点.又函数y=f(x)与y=lg|x|均为偶函数,所以函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是10.8.若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a=.答案:1解析:f(x)是偶函数,f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+a+1)=lna+1+1a,f(1)=ln(1+a+1),因此ln(a+1+1)-lna=ln(a+1+1),于是lna=0,a=1.9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)内单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(log12a)2f(1),则a的取值范围是.答案:12,2解析:由题意知a0,又log12a=log2a
5、-1=-log2a.f(x)是R上的偶函数,f(log2a)=f(-log2a)=f(log12a).f(log2a)+f(log12a)2f(1),2f(log2a)2f(1),即f(log2a)f(1).又f(x)在区间0,+)内单调递增,|log2a|1,-1log2a1,a12,2.10.设奇函数y=f(x)(xR),满足对任意tR都有f(t)=f(1-t),且当x0,12时,f(x)=-x2,则f(3)+f-32的值等于.答案:-14解析:根据对任意tR都有f(t)=f(1-t)可得f(-t)=f(1+t),即f(t+1)=-f(t),进而得到f(t+2)=-f(t+1)=-f(t)
6、=f(t),得函数y=f(x)的一个周期为2,则f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f-32=f12=-14,所以f(3)+f-32=0+-14=-14.11.(2020全国,理16)关于函数f(x)=sin x+1sinx有如下四个命题:f(x)的图象关于y轴对称.f(x)的图象关于原点对称.f(x)的图象关于直线x=2对称.f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是.答案:解析:对于,由sinx0可得函数的定义域为x|xk,kZ,故定义域关于原点对称,且由f(-x)=sin(-x)+1sin(-x)=-sinx-1sinx=-f(x),所以该函数为奇函数,关于原点对称,故错
7、误,正确;对于,因为f(-x)=sin(-x)+1sin(-x)=sinx+1sinx=f(x),所以函数f(x)的图像关于直线x=2对称,正确;对于,令t=sinx,则t-1,0)(0,1,由函数g(t)=t+1t(t-1,0)(0,1)的性质,可知g(t)(-,-22,+),所以f(x)无最小值,错误.12.若不等式3x2-logax0在x0,13内恒成立,求实数a的取值范围.解:由题意知3x21,函数y=logax的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以不成立;当0a1时,由图可知,y=logax的图象必须过点13,13或在这个点的上方,则loga1313,所以a127,所以127a1
8、.综上,实数a的取值范围为127a1.二、思维提升训练13.(2020全国,理11)若2x-2y0B.ln(y-x+1)0D.ln|x-y|0答案:A解析:2x-2y3-x-3-y,2x-3-x2y-3-y.f(t)=2t-3-t在R上为增函数,且f(x)f(y),x0,y-x+11,ln(y-x+1)ln1=0.故选A.14.定义在R上的函数f(x)同时满足:对任意的xR,都有f(x+1)=f(x);当x(1,2时,f(x)=2-x.若函数g(x)=f(x)-logax(a0,且a1)恰有3个零点,则a的取值范围是()A.0,14B.(1,2C.(2,3D.(3,4答案:C解析:由题意,得方
9、程f(x)=logax(a0,且a1)有3个解,所以函数y=f(x)和y=logax的图象有3个交点.因为对任意的xR,都有f(x+1)=f(x),所以函数y=f(x)是周期为1的函数.又当x(1,2时,f(x)=2-x,可画出函数y=f(x)的图象,如图所示.若函数y=logax的图象与函数y=f(x)的图象有交点,则需满足a1.结合图象可得,要使两函数的图象有3个交点,则需loga21,loga31,解得2f(-2),则a的取值范围是.答案:12,32解析:由题意知函数f(x)在区间(0,+)内单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)f(-2)可化为f(2|a-1|)f(2
10、),则2|a-1|2,|a-1|12,解得12a32.17.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1上,f(x)=ax+1,-1x0,bx+2x+1,0x1,其中a,bR.若f12=f32,则a+3b的值为.答案:-10解析:f32=f12,f12=f-12,12b+232=-12a+1,易求得3a+2b=-2.又f(1)=f(-1),-a+1=b+22,即2a+b=0,a=2,b=-4,a+3b=-10.18.对于函数y=f(x),y=g(x),若存在x0,使f(x0)=g(-x0),则称M(x0,f(x0),N(-x0,g(-x0)是函数f(x)与g(x)图象的一对“雷点”.
11、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,恒有f(x+1)=f(x),且当0x1时,f(x)=x.若g(x)=(x+1)2-a(-2x0),函数f(x)与g(x)的图象恰好存在一对“雷点”,则实数a的取值范围为.答案:-1,-14(0,1)解析:函数f(x)与g(x)的图象恰好存在一对“雷点”,即函数y=f(x)的图象与函数y=h(x)=(x-1)2-a在区间(0,2)内恰有一个交点,函数y=h(x)=(x-1)2-a的图象是将函数y=(x-1)2的图象向上或向下平移|-a|个单位长度.当曲线y=h(x)=(x-1)2-a的图象与直线y=x-1相切时,(x-1)2-a=x-1,即x2-3
12、x+2-a=0,则=9-4(2-a)=0,解得a=-14.由图可知-1-a0或14-a1,即实数a的取值范围为-1a-14或0a1.19.已知函数f(x)=ex-e-x(xR,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.解:(1)f(x)=ex-1ex,且y=ex是增函数,y=-1ex是增函数,f(x)是增函数.f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数.f(x-t)+f(x2-t2)0对xR恒成立,f(x-t)f(t2-x2),t2-x2x-t,x2+xt2+t对xR恒成立.又t+122x+12min2对一切xR恒成立,t+1220,t=-12.即存在实数t=-12,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)0对一切x都成立.8
