1、第六节立体几何中的向量方法A组基础题组1.如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,BAD=90,ACBD,BC=1,AD=AA1=3.(1)证明:ACB1D;(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,ADBC,ADC=90,平面PAD底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的动点(不包括端点),PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(1)求证:平面PBQ平面PAD;(2)若M为棱PC的中点,求异面直线AP与BM所成角的余弦值.3.(2016课标全国,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,A
2、B=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置,OD=.(1)证明:DH平面ABCD;(2)求二面角B-DA-C的正弦值.B组提升题组4.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAC平面ABCD,且PAAC,PA=AD=2.四边形ABCD满足BCAD,ABAD,AB=BC=1.点E,F分别为侧棱PB,PC上的点,且=(0).(1)求证:EF平面PAD;(2)当=时,求异面直线BF与CD所成角的余弦值;(3)是否存在实数,使得平面AFD平面PCD?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.5.(2016天津,17,13分)如图,正方形ABC
3、D的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.(1)求证:EG平面ADF;(2)求二面角O-EF-C的正弦值;(3)设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.答案全解全析A组基础题组1.解析(1)易知,AB,AD,AA1两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AB=t,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).从而=(-t,3,-3),=(t,1
4、,0),=(-t,3,0).因为ACBD,所以=-t2+3+0=0,解得t=或t=-(舍去).于是=(-,3,-3),=(,1,0).因为=-3+3+0=0,所以,即ACB1D.(2)由(1)知,=(0,3,3),=(,1,0),=(0,1,0).设n=(x,y,z)是平面ACD1的法向量,则即令x=1,则n=(1,-,).设直线B1C1与平面ACD1所成角为,则sin=|cos|=.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.2.解析(1)证明:因为ADBC,BC=AD,Q为AD的中点,所以BCDQ,所以四边形BCDQ为平行四边形.所以CDBQ.因为ADC=90,所以A
5、QB=90,即BQAD.又因为平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD,BQ平面ABCD,所以BQ平面PAD.因为BQ平面PBQ,所以平面PBQ平面PAD.(2)因为PA=PD,Q为AD的中点,所以PQAD.因为平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD,所以PQ平面ABCD.如图,以Q为原点,QA,QB,QP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Q-xyz,则Q(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,),B(0,0),C(-1,0).因为M是PC的中点,所以M,所以=(-1,0,),=.设异面直线AP与BM所成角为,则cos=|cos|=,所以异面直线A
6、P与BM所成角的余弦值为.3.解析(1)由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得=,故ACEF.因此EFHD,从而EFDH.(2分)由AB=5,AC=6得DO=BO=4.由EFAC得=.所以OH=1,DH=DH=3.于是DH2+OH2=32+12=10=DO2,故DHOH.(4分)又DHEF,而OHEF=H,所以DH平面ABCD.(5分)(2)如图,以H为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz.则H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D(0,0,3),=(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).(6分)设m=(x1
7、,y1,z1)是平面ABD的法向量,则即所以可取m=(4,3,-5).(8分)设n=(x2,y2,z2)是平面ACD的法向量,则即所以可取n=(0,-3,1).(10分)于是cos=-.sin=.因此二面角B-DA-C的正弦值是.(12分)B组提升题组4.解析(1)证明:因为=(0),所以EFBC.因为BCAD,所以EFAD.而EF平面PAD,AD平面PAD,所以EF平面PAD.(2)因为平面ABCD平面PAC,平面ABCD平面PAC=AC,且PAAC,所以PA平面ABCD.则PAAB,PAAD.又ABAD,故PA,AB,AD两两垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,
8、0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).当=时,F为PC的中点,故F,=,又=(-1,1,0),设异面直线BF与CD所成的角为,则cos=|cos|=,故异面直线BF与CD所成角的余弦值为.(3)存在.设F(x0,y0,z0),则=(x0,y0,z0-2),又=(1,1,-2),则由=,得(x0,y0,z0-2)=(1,1,-2),所以则=(,2-2).设平面AFD的法向量为n1=(x1,y1,z1),因为=(,2-2),=(0,2,0),所以令z1=,得n1=(2-2,0,).设平面PCD的法向量为n2=(x2,y2,z2),因为=(0,2,-2),=(-1,1,0)
9、,所以令x2=1,得n2=(1,1,1).若平面AFD平面PCD,则n1n2=0,所以(2-2)+=0,解得=.所以当=时,平面AFD平面PCD.5.解析依题意,OF平面ABCD,如图,以O为原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).(1)证明:依题意,=(2,0,0),=(1,-1,2).设n1=(x,y,z)为平面ADF的法向量,则即不妨设z=1,可得n1=(0,2,1),又=(0,1,-2),可得n1=0,又因为直线EG平面ADF,所以EG平面ADF.(2)易证=(-1,1,0)为平面OEF的一个法向量.依题意,=(1,1,0),=(-1,1,2).设n2=(x,y,z)为平面CEF的法向量,则即不妨设x=1,可得n2=(1,-1,1).因此有cos=-,于是sin=.所以,二面角O-EF-C的正弦值为.(3)由AH=HF,得AH=AF.因为=(1,-1,2),所以=,进而有H,从而=,因此cos=-.所以,直线BH和平面CEF所成角的正弦值为.
