1、板块一.随机抽样知识内容一随机抽样1随机抽样：满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样，共有三种经常采用的随机抽样方法：简单随机抽样：从元素个数为的总体中不放回地抽取容量为的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样抽出办法：抽签法：用纸片或小球分别标号后抽签的方法随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张数表表中每一位置出现各个数字的可能性相同随机数表法是对样本进行编号后，按照一定的规律从随机数表中读数，并取出相应的样本的方法简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的
2、规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法抽出办法：从元素个数为的总体中抽取容量为的样本，如果总体容量能被样本容量整除，设，先对总体进行编号，号码从到，再从数字到中随机抽取一个数作为起始数，然后顺次抽取第个数，这样就得到容量为的样本如果总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样方法进行抽样系统抽样适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样分层抽样：当总体有明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法
3、叫做分层抽样分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层抽样时，可灵活选用不同的抽样方法，应用广泛2简单随机抽样必须具备下列特点：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的简单随机样本数小于等于样本总体的个数简单随机样本是从总体中逐个抽取的简单随机抽样是一种不放回的抽样简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为3系统抽样时，当总体个数恰好是样本容量的整数倍时，取；若不是整数时，先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除因为每个个体被剔除的机会相等，因而整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍然相等，为二频率直方图列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：计算极差：找出数
4、据的最大值与最小值，计算它们的差；决定组距与组数：取组距，用决定组数；决定分点：决定起点，进行分组；列频率分布直方图：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图，知小长方形的面积组距频率频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线总体密度曲线精确地反映了一个总
5、体在各个区域内取值的规律三茎叶图制作茎叶图的步骤：将数据分为“茎”、“叶”两部分；将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线；将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出 四统计数据的数字特征用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差数据的离散程序可以用极差、方差或标准差来描述极差又叫全距，是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；样本方差描述了一组数据平均数波动的大小，样本的标准差是方差的算术平方根一般地，设样本的元素为样本的平均数为，定义样本方差为，样本标准差简化公式：五独立性检验1两个变量之间的关系；常见的有两类：一类是确定性的函数关
6、系；另一类是变量间存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有一定随机性的当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系2散点图：将样本中的个数据点描在平面直角坐标系中，就得到了散点图散点图形象地反映了各个数据的密切程度，根据散点图的分布趋势可以直观地判断分析两个变量的关系3如果当一个变量的值变大时，另一个变量的值也在变大，则这种相关称为正相关；此时，散点图中的点在从左下角到右上角的区域反之，一个变量的值变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关此时，散点图中的点在从左上角到右下角的区域散点图可以判断两个变量之间有没有相关关系4统计
7、假设：如果事件与独立，这时应该有，用字母表示此式，即，称之为统计假设5（读作“卡方”）统计量：统计学中有一个非常有用的统计量，它的表达式为，用它的大小可以用来决定是否拒绝原来的统计假设如果的值较大，就拒绝，即认为与是有关的统计量的两个临界值：、；当时，有的把握说事件与有关；当时，有的把握说事件与有关；当时，认为事件与是无关的独立性检验的基本思想与反证法类似，由结论不成立时推出有利于结论成立的小概率事件发生，而小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以认为结论在很大程度上是成立的1独立性检验的步骤：统计假设：；列出联表；计算统计量；查对临界值表，作出判断2几个临界值：联表的独立性检验：如果对于
8、某个群体有两种状态，对于每种状态又有两个情况，这样排成一张的表，如下：状态状态合计状态状态如果有调查得来的四个数据，并希望根据这样的个数据来检验上述的两种状态与是否有关，就称之为联表的独立性检验六回归分析1回归分析：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归分析就是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性回归直线：如果散点图中的各点都大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线2最小二乘法：记回归直线方程为：，称为变量对变量的回归直线方程，其中叫做回归系数是为了区分的实际值，当取值时，变量的相应观察值为，而直线上对应于的纵坐标是设的一组
9、观察值为，且回归直线方程为，当取值时，的相应观察值为，差刻画了实际观察值与回归直线上相应点的纵坐标之间的偏离程度，称这些值为离差我们希望这个离差构成的总离差越小越好，这样才能使所找的直线很贴近已知点记，回归直线就是所有直线中取最小值的那条这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法用最小二乘法求回归系数有如下的公式：，其中上方加“”，表示是由观察值按最小二乘法求得的回归系数3线性回归模型：将用于估计值的线性函数作为确定性函数；的实际值与估计值之间的误差记为，称之为随机误差；将称为线性回归模型产生随机误差的主要原因有：所用的确定性函数不恰当即模型近似引起的误差；忽略了某些因素的影响，通常这些
10、影响都比较小；由于测量工具等原因，存在观测误差4线性回归系数的最佳估计值：利用最小二乘法可以得到的计算公式为，其中，由此得到的直线就称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程其中，分别为，的估计值，称为回归截距，称为回归系数，称为回归值5相关系数： 6相关系数的性质：；越接近于1，的线性相关程度越强；越接近于0，的线性相关程度越弱可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关7转化思想：根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数8一些备案回归（regression）一词的来历：“回归”这个词英国统计学家Fra
11、ncils Galton提出来的1889年，他在研究祖先与后代的身高之间的关系时发现，身材较高的父母，他们的孩子也较高，但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高；身材较矮的父母，他们的孩子也较矮，但这些孩子的平均身高却比他们父母的平均身高高Galton把这种后代的身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”后来，人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归分析回归系数的推导过程：，把上式看成的二次函数，的系数，因此当时取最小值同理，把的展开式按的降幂排列，看成的二次函数，当时取最小值解得：，其中，是样本平均数9 对相关系数进行相关性检验的步骤：提出统计假设：变量不具有线性相关关系
12、；如果以的把握作出推断，那么可以根据与（是样本容量）在相关性检验的临界值表中查出一个的临界值（其中称为检验水平）；计算样本相关系数；作出统计推断：若，则否定，表明有的把握认为变量与之间具有线性相关关系；若，则没有理由拒绝，即就目前数据而言，没有充分理由认为变量与之间具有线性相关关系说明：对相关系数进行显著性检验，一般取检验水平，即可靠程度为这里的指的是线性相关系数，的绝对值很小，只是说明线性相关程度低，不一定不相关，可能是非线性相关的某种关系这里的是对抽样数据而言的有时即使，两者也不一定是线性相关的故在统计分析时，不能就数据论数据，要结合实际情况进行合理解释典例分析题型一 系统抽样【例1】 已
13、知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为 【例2】 某校高三年级195名学生已编号为1，2，3，195，为了解高三学生的饮食情况，要按的比例抽取一个样本，若采用系统抽样方法进行抽取，其中抽取3名学生的编号可能是（ ）A3，24，33B31，47，147C133，153，193D102，132，159【例3】 从编号为的枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取枚导弹的编号可能是（ ）A B C D【例4】 有件产品，编号从至
14、，现在从中抽取件检验，用系统抽样法所抽的编号可能为（）ABCD【例5】 采用系统抽样法，从人中抽取一个容量为人的样本，写出抽样的步骤，并求每人被抽取的机率【例6】 用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1160编号，按编号顺序平均分成20组（号，号，号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是_【例7】 某单位有工程师人，技术员人，技工人，要从这些人中抽取一个容量为的样本；如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除个个体，则样本容量为_【例8】 一个总体中有个个体，随
15、机编号，依编号顺序平均分成个小组，组号依次为，现用系统抽样方法抽取一个容量为的样本，规定如果在第组随机抽取的号码为，那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同，若，则在第组中抽取的号码是 题型二 分层抽样【例9】 （2010朝阳二模）某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是，现用分层抽样的方法在全校学生中抽取64人，则应在三年级抽取的学生人数为 （）一年级二年级三年级女生385男生375360A24 B18 C16 D12【例10】 （2010湖北高考）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002， ，600采用系统抽样疗
16、法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003这600名学生分住在三个营区，从001 到300在第1营区，从301到495在第营区，从496到600在第营区三个营区被抽中的人数依次为 A26，16，8 B25，17，8 C25，16，9 D24，17， 9【例11】 某城市有学校所，其中大学所，中学所现在取所学校作为一个样本进行一项调查，用分层抽样进行抽样，应该选取大学所【例12】 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有种、种、种、种，现从中抽取一个容量为的样本进行食品安全检测若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）A B C
17、 D【例13】 (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试)某单位有名老年人，名中年人，名青年人. 为了调查他们的身体情况，用分层抽样的方法从他们中抽取了个人进行体检，其中有名老年人，那么 .【例14】 某中学高中部有三个年级，其中高一有学生人，采用分层抽样抽取一个容量为的样本，高二年级抽取人，高三年级抽取人，问高中部共有多少学生？【例15】 某学校共有师生人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从学生中抽取的人数为，那么该学校的教师人数是 【例16】 （2009天津文）为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从三个区中抽取个工厂进行调查已知区中分别
18、有个工厂求从区中应分别抽取的工厂个数；【例17】 某校高三年级一共有个学生，其中女生人为了解该年级学生的健康情况，使用分层抽样法进行抽样调查已知从男生中任意抽取了人，则需要从女生中任意抽取_人进行调查【例18】 某工厂生产、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为.现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有件.那么此样本的容量 .【例19】 某校有名学生，型血的有人，型血的有人，型血的有人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个人的样本，按分层抽样，型血应抽取的人数为_ _人【例20】 某校名学生中，型血有人，型血有人，B型血有人，型血有人，为了研究血型与性格的关系，按照分层抽样
19、的方法从中抽取样本 如果从型血中抽取了人，则从型血中应当抽取的人数为 【例21】 某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中业务人员人数为，则此样本的容量为（ ）A B C D【例22】 某工厂生产、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有16件那么此样本的容量 【例23】 （2009湖南）一个总体分为两层，其个体数之比为，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本，已知层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为 【例24】 （05年湖南）某工厂生产了某
20、种产品件，它们来自甲、乙、丙三条生产线为检查产品的质量，决定采用分层抽样法进行抽样已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个数成等差数列，则乙生产了_件产品【例25】 某单位有工程师人，技术员人，技工人，要从这些人中抽取一个容量为的样本；如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除个个体，则样本容量为_【例26】 （2009广东12）某单位名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按编号，并按编号顺序平均分为组（号，号，号）若第组抽出的号码为，则第组抽出的号码应是 若用分层抽样方法，则岁以下年龄段应抽取
21、_人【例27】 （北京市朝阳区2009年4月高三一模理）从名女生，名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为 A B CD【例28】 （2008广东19）某初级中学共有学生名，各年级男、女生人数如下表：初一年级初二年级初三年级女生男生已知在全校学生中随机抽取名，抽到初二年级女生的概率是求的值；现用分层抽样的方法在全校抽取名学生，问应在初三年级抽取多少名？已知，求初三年级中女生比男生多的概率【例29】 （2009山东文）一汽车厂生产三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：轿车轿车轿车舒适型标准型按类型分层抽样的方法在这个月
22、生产的轿车中抽取辆，其中有类轿车辆求的值用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为的样本将该样本看成一个总体，从中任取辆，求至少有辆舒适型轿车的概率；用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取辆，经检测它们的得分如下：，把这辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过的概率题型三 抽样方法选择及其他【例30】 （04湖南）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有个、个、个、个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这个销售点中抽取一个容量为的样本，记这项调查为；在丙地区中有个特大型销售点，要从中抽取个调查其销售收入和销后服务等情况，记这项调查为则完成、这两项调查采用的抽样
23、方法依次是_【例31】 某社区有户家庭，其中高收入家庭户，中收入家庭户，低收入家庭户，为了了解社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为的样本； 从名职工中抽取名参加座谈会； 一个年级有个班，每个班有名同学，随机编为至号，为了了解他们的学习情况，要求每个班的号同学留下来进行问卷调查以上问题各对应哪种随机抽样方法？【例32】 下列抽样问题中最适合用系统抽样方法抽样的是（ ）A从全班名学生中随机抽取人参加一项活动B一个城市有家百货商店，其中大型商店家，中型商店家，小型商店家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为的样本C从参加模拟考试的名考生中随机抽取人分析试题作答情况D从参加模拟考试的名
24、考生中随机抽取人了解某些情况【例33】 某学校有职工人，其中教师人，教辅行政人员人，总务后勤人员人为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为的样本以下的抽样方法中，依简单随机抽样、系统抽样、分层抽样顺序的是方法：将人从编号，然后制作出有编号的个形状、大小相同的号签，并将号签放入同一箱子里进行均匀搅拌，然后从中抽取个号签，编号与签号相同的个人被选出方法：将人分成组，每组人，并将每组人按编号，在第一组采用抽签法抽出号，则其余各组号也被抽到，个人被选出方法：按的比例，从教师中抽取人，从教辅行政人员中抽取人，从总务后勤人员中抽取人，从各类人员中抽取所需人员时，均采用随机数表法，可抽到个人A方法，方法，
25、方法 B方法，方法，方法C方法，方法，方法 D方法，方法，方法【例34】 某工厂有工人人，其中高级工程师人，现抽取普通工人人，高级工程师人组成代表队参加某项活动，怎样抽取较好？【例35】 现有以下两项调查：某装订厂平均每小时大约装订图书册，要求检验员每小时抽取册图书，检查其装订质量状况；某市有大型、中型与小型的商店共家，三者数量之比为为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中家进行调查完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）A简单随机抽样法，分层抽样法 B分层抽样法，简单随机抽样法C分层抽样法，系统抽样法 D系统抽样法，分层抽样法【例36】 某校有个班，每班有人，每班选派人参加“学代会”，在这个问题中样本容量是（ ）A B C D【例37】 为了了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽取名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有（ ）个名运动员是总体；每个运动员是个体；所抽取的名运动员是一个样本；样本容量为；这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样；每个运动员被抽到的概率相等A B C D【例38】 （2008湖南12）从某地区位老人中随机抽取人，其生活能否自理的情况如下表所示：性别人数生活能否自理男女能不能则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_人【例39】 一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 .
