1、第9讲 离散型随机变量及其分布列课标要求考情分析1.在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性.2.通过实例(如彩票抽奖)，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.3.在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题对于离散型随机变量的分布列，要注意利用它的两条性质检验所列分布列是否正确，如果求出的离散型随机变量的分布列不满足这两条性质，这说明计算过程中一定存在错误，即离散型随机变量的这两条性质是判断计算过程中是否存在错误的主要方法，在实际应用中，要结合具
2、体实例体会随机变量的意义，找准概率模型，确定随机变量各个值的概率，从而列出其分布列1.随机变量(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母 X，Y，表示.(2)所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.(3)随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.2.事件的相互独立性(1)设 A，B 为两个事件，若 P(AB)_，则称事件A 与事件 B 相互独立.P(A)P(B)Xx1x2xixnPp1p2pipn3.离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则
3、表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列.有时为了表达简单，也用等式P(Xxi)pi，i1，2，n表示 X 的分布列.X01P1pp4.离散型随机变量分布列的性质5.常见的离散型随机变量的分布列(1)两点分布如果随机变量 X 的分布列为其中 0p1，称 X 服从两点分布，并称 pP(X1)为成功概率.题组一走出误区1.(多选题)下列结论中正确的是()A.抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量B.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的C.从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 人，其中女演员的人数 X 服从超几何分布D.某人射击时命中的概率为 0.5，此人射
4、击三次命中的次数X 服从两点分布答案：ABC题组二走进教材2.(选修23P77A组第1题改编)设随机变量X的分布列如下：答案：C3.(选修23P49A组第1题改编)有一批产品共12件，其中次品 3 件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数 X 的所有可能取值是_.解析：因为次品共有 3 件，所以在取到合格品之前取出的次品数 X 的可能取值为 0,1,2,3.答案：0,1,2,3X123P？！？题组三真题展现4.马老师从课本上抄录的一个随机变量的概率分布列如下表：请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，据此，小牛给出
5、了正确答案 E()_.解析：令“？”为 a，“！”为 b，则 2ab1.则 E()a2b3a2(2ab)2.答案：2X012Pp125.设 p 为非负实数，随机变量的概率分布为则 E(X)的最大值为_.考点 1 离散型随机变量的分布列师生互动例 12018 年 2 月 22 日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500 米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造了中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子 500 米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要经过 4 个直道与弯道的交接口 Ak(k1,2,3,
6、4)，如图 9-9-1.已知某男性速滑运动员顺利通过每个交接口的概率才停止滑行，现在用 X 表示该运动员在滑行最后一圈时在这一图 9-9-1(1)求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过 3 个交接口的概率；(2)求 X 的分布列.圈内已经顺利通过的交接口数.【考法全练】已知某共享单车的收费标准是每车使用不超过 1 小时(包含1 小时)是免费的，超过 1 小时的部分每小时收费 1 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算，例如：骑行 2.5 小时收费为 2 元).现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次.设甲、乙不超过 1 小时(1)求甲、乙两人所付的车费相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的车费之和为
7、随机变量，求的分布列.考点 2 相互独立事件与独立重复试验的概率师生互动例 2(2020 年6 月大数据精选模拟卷)某“芝麻开门”娱乐活动中，共有 5 扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖励.已知开每扇门相互独立，且规则相同，开每扇门的规则是从给定的 6 把钥匙(其中有且只有 1 把钥匙能打开门)中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回.若门被打开，则转为开下一扇门；若连续 4 次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至 5 扇门都进行了试开，活动结束.(1)设随机变量 X 为试开第一扇门所用的钥匙数，求 X 的分布列及数学期望 E(X)；(2)求恰好成功打开 4
8、 扇门的概率.解：(1)由题意可知，随机变量 X 的可能取值为 1,2,3,4，【题后反思】1.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解.2.(1)注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同.刻理解其含义.【考法全练】(2018 年河南洛阳模拟)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有 1,2,3 三个问题，每位参赛者按问题 1,2,3 的顺序作答，竞赛规则如下：每位参赛者计分器的初始分均为 10 分，答对问题 1,
9、2,3分别加 1 分，2 分，3 分，答错任一题减 2 分；每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于 8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 12 分时，答题结束.进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足 12 分时，答题结束，淘汰出局.且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用 X 表示甲同学本轮答题结束时的累计分数，求 X 的分布列.解：(1)设事件 A 表示“甲同学问题 1 回答正确”，事件 B表示“甲同学问题 2 回答正确”，事件 C 表示“甲同学问题 3考点 3 离散型随机变量分布列中的停止型问题 多维探究例 3(2020 年甘肃天水
10、一中阶段测试)甲、乙两队进行一场场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响且无平局.求：(1)前三局比赛甲队领先的概率；(2)设本场比赛的局数为，求的概率分布和数学期望.(用分数表示)【题后反思】解决这类终止型问题，一定要弄清终止的条件，根据终止的条件确定各种可能结果，再计算相应概率.【考法全练】设某人有 5 发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中击，否则将子弹打完.(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；(2)求他所耗用的子弹数 X 的分布列.分类讨论思想与离散型随机变量的结合例 4(2020 年押题导航卷)某工厂计划建设至少 3 个，至多5 个相同的生产线
11、车间，以解决本地区公民对特供商品 A 的未来需求.经过对先期样本的科学性调查显示，本地区每个月对商品 A 的需求量均在 50 万件及以上，其中需求量在 50100 万件的频率为 0.5，需求量在 100200 万件的频率为 0.3，不低于200 万件的频率为 0.2.用调查样本来估计总体，频率作为相应段的概率，并假设本地区在各个月对本特供商品 A 的需求相互独立.商品 A 的月需求量 x/万件50 x100100 x200 x200车间最多正常运行个数345(1)求在未来某连续 4 个月中，本地区至少有 2 个月对商品A 的月需求量低于 100 万件的概率.(2)该工厂希望尽可能在生产线车间建
12、成后，车间能正常生产运行，但每月最多可正常生产的车间数受商品 A 的需求量 x的限制，并有如下关系：商品 A 的月需求量 x/万件50 x100100 x200未正常生产的一个车间的月维护费/万元500600若一个车间正常运行，则该车间月净利润为 1500 万元，而一个车间未正常生产，则该车间生产线的月维护费(单位：万元)与月需求量有如下关系：试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个？使得商品A 的月利润为最大.Y4500P1解：(1)由题意每月需求量在 50100 万件的概率为 0.5，(2)当建设 3 个车间时，由于需求量在 50 万件以上，此时的净利润 Y 的分布列为则 E(Y)4500
13、14500；Y40006000P0.50.5当建设 4 个车间且需求量 50 x100 时，则有 3 个车间正常运行，会有 1 个车间闲置，此时的净利润 Y150035004000；需求量 x100 时，则 4 个车间正常运行，此时的净利润Y150046000；则 Y 的分布列为则 E(Y)40000.560000.55000；当建设 5 个车间且需求量 50 x100 时，则有 3 个车间正常运行，会有 2 个车间闲置，此时的净利润 Y1500350023500；需求量 100 x200 时，则 4 个车间正常运行，会有 1 个车间闲置，此时 Y1500460015400；需求量 x200
14、时，则 5 个车间正常运行，此时的净利润Y150057500；Y350054007500P0.50.30.2则 Y 的分布列为则 E(Y)35000.554000.375000.24870.综上所述，要使该工厂商品 A 的月利润为最大，应建设 4个生产线车间.【策略指导】本题主要考查相互独立事件及互斥事件概率的计算，考查分类讨论思想以及运用数学知识解决问题的能力.尤其是运用分类讨论思想解决离散型随机变量分布列问题的时候，可通过检查最后求出的分布列是否符合分布列的两个性质来检查分类讨论是否有所遗漏或重复.【高分训练】(2014 年湖北)计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50
15、 年的水文资料显示，水的年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在 40以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求在未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率；年入流量 X/亿立方米40X120发电机最多可运行台数/台123(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发
16、电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？(2)记水电站年总利润为 Y 万元.安装 1 台发电机的情形：由于水库年入流量总大于 40，故 1 台发电机运行的概率为 1，对应的年利润Y5000，E(Y)500015000；安装 2 台发电机的情形：依题意，当40X80时，1台发电机运行，此时Y50008004200，因此P(Y4200)P(40X80)p10.2；当X80时，2台发电机运行，此时Y5000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.Y420010 000P0.20.8由此得 Y 的分布列如下E(Y)420
17、00.210 0000.88840；安装 3 台发电机的情形：依题意，当40X80时，1台发电机运行，此时Y50001600 3400，因 此 P(Y 3400)P(40X120时，3台发电机运行，此时Y5000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.Y3400920015 000P0.20.70.1由此得 Y 的分布列如下E(Y)34000.292000.715 0000.18620.综上所述，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台.1.对于随机变量 X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布列指出了随机变量 X 的取值范围以及取这些值的概率.2.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出 X 取各个值的概率.要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.3.对于常用的两点分布、超几何分布、二项分布要弄清楚基本模型.
