1、2012-2013学年天津市河西区高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）复数（i为虚数单位）的虚部是（）ABCD考点：复数的基本概念专题：计算题分析：利用复数除法的运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数；利用复数实部、虚部的定义写出复数的虚部解答：解：=的虚部为故选D点评：本题考查复数的运算法则、考查复数的有关概念对于复数z=a+bi（a，bR），则a是复数的实部，b是复数的虚部2（3分）用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0有有理根，那
2、么a，b，c存在偶数”时，否定结论应为（）Aa，b，c都是偶数Ba，b，c都不是偶数Ca，b，c中至多一个是偶数Da，b，c中至多有两个是偶数考点：反证法与放缩法专题：不等式的解法及应用分析：对结论否定，存在的否定是都不是，即可得出结论解答：解：对结论否定，“存在”的否定是“都不是”，即否定结论应为a，b，c都不是偶数，故选B点评：本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题3（3分）设函数f（x）=x21，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是（）A2.1B0.21C1.21D12.1考点：变化的快慢与变化率专题：计算题分析：求出自变量x的改变量，求出函数值的改变量，由函数
3、值的改变量除以自变量的改变量即可得到答案解答：解：x=1.11=0.1，y=1.121（121）=0.21所以函数的平均变化率为故选A点评：本题考查了变化的快慢与变化率，是基础的概念题4（3分）“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”此推理方法是（）A完全归纳推理B类比推理C归纳推理D演绎推理考点：类比推理专题：阅读型分析：根据金导电、银导电、铜导电、铁导电，考虑得到所有金属应导电解答：解：因为金导电、银导电、铜导电、铁导电，而金、银、铜、铁等金属原子的核外价电子，在常温下都被激发到导带上，成为可自由移动的载流子，金属就是靠这些可自由移动的载流子导电的，由此类比得到一切金属都导电
4、则“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”属于类比推理方法故选B点评：本题考查了类比推理，由两类对象具有的某些特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有的这些特征的推理称为类比推理，是基础题5（3分）（2006天津）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A1B2C3D4考点：利用导数研究函数的单调性专题：压轴题分析：根据当f（x）0时函数f（x）单调递增，f（x）0时f（x）单调递减，可从f（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增减增减，然后得到
5、答案解答：解：从f（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增减增减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点故选A点评：本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系属基础题6（3分）函数f（x）=sinx+x在0，2上的最大值为（）A0B2CD2考点：利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题；导数的综合应用分析：对f（x）求导数，得f（x）=cosx+1结合cosx在区间0，2上的取值，得f（x）x+10，可得在0，2上是增函数，所以f（x）在0，2上的最大值为f（2）=2解答：解：f（x）=sinx+x，求导数，得f（x）=cosx+1x0，2时，cosx1，1f（
6、x）=cosx+10，可得f（x）在0，2上是增函数因此，f（x）=sinx+x在0，2上的最大值为f（2）=2故选：D点评：本题给出含有三角函数的函数，求函数在区间0，2上的最大值着重考查了基本初等函数的导数和用导数研究函数的单调性等知识，属于基础题7（3分）如图，由曲线y=x21，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积为（）AB1C2D3考点：定积分专题：计算题；导数的概念及应用分析：y=x21，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积，然后利用定积分的定义进行求解即可解答：解：由曲线y=x21，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积为S=01（1x2
7、）dx+12（x21）dx=（xx3）|01+（ x3x）|12=+2+1=2故选C点评：本题主要考查了利用定积分求面积，同时考查了定积分的等价转化，属于中档题8（3分）（2011辽宁）函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+）C（，l）D（，+）考点：其他不等式的解法专题：压轴题；函数思想分析：把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把x=1代入F（x）中，由f（1）=2出F（1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据f（x）2，得到导函数大于0即得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减
8、性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集解答：解：设F（x）=f（x）（2x+4），则F（1）=f（1）（2+4）=22=0，又对任意xR，f（x）2，所以F（x）=f（x）20，即F（x）在R上单调递增，则F（x）0的解集为（1，+），即f（x）2x+4的解集为（1，+）故选B点评：此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集，是一道中档题二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分请将答案填在题中横线上9（4分）=考点：导数的运算专题：导数的概念及应用分析：利用复合函数的导数公式求函数的导数解答：解：根据复合函数的导数公式可得函数的导数为：，故答案为：点评：本题主要
9、考查复合函数的导数公式，要求熟练掌握相应的导数公式10（4分）比较大小：（用“”或“”符号填空）考点：不等关系与不等式专题：计算题分析：平方作差，可得（）2（）2=2（）0，进而可得其平方的大小，可得原式的大小解答：解：（）2（）2=13+2（13+4）=24=22=2（）0，故（）2（）2，故，故答案为：点评：本题考查平方作差法比较大小，属基础题11（4分）计算=考点：定积分专题：计算题；导数的概念及应用分析：本题考查的定积分的简单应用，解决本题的关键是熟练掌握定积分的运算公式及运算律，结合公式和运算律，认真运算求解，解答：解：=cosx|01+|01=故答案为：点评：本题考查定积分的简单计
10、算，属于基础题12（4分）若f（x）=x2+bln（x+2）在（1，+）上是减函数，则b的取值范围是b1考点：函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性专题：计算题分析：根据函数在（1，+）上是减函数，对函数f（x）进行求导，判断出f（x）0进而根据导函数的解析式求得b的范围解答：解：由题意可知f（x）=x+0，在x（1，+）上恒成立，即bx（x+2）在x（1，+）上恒成立，f（x）=x（x+2）=x2+2x且x（1，+）f（x）1要使bx（x+2），需b1故答案为b1点评：本题主要考查了函数单调性的应用利用导函数来判断函数的单调性，是常用的方法13（4分）已知等差数列an中，有=成立类似地，
11、在等比数列bn中，有 成立考点：类比推理专题：演绎法分析：从商类比到开方，从和类比到积解答：解：从商类比到开方，从和类比到积，可到如下结论：故答案为：点评：本题主要考查学生的知识量和知识的迁移类比等基本能力14（4分）（2007上海）对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：；（a+b）2=a2+2ab+b2；若|a|=|b|，则a=b；若a2=ab，则a=b那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是考点：复数的基本概念；四种命题的真假关系专题：常规题型；压轴题分析：要熟悉复数的概念和性质及其基本运算解答：解：对于：解方程得ai，所以非零复数ai使得，不成立；：显然成立；：在复数集C中
12、，|1|=|i|，则|a|=|b| a=b，所以不成立；：显然成立则对于任意非零复数a，b，上述命题仍然成立的所有序号是所以应填上点评：对于要善于举反例三、解答题：（本大题共6小题，共52分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（8分）设复数z满足|z|=1，且（3+4i）z是纯虚数，且复数z对应的点在第一象限（I）求复数z；（II）求的值考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：（）设复数z=a+bi，由复数z满足|z|=1，且（3+4i）z是纯虚数联立方程组求解a，b的值，则复数z可求；（）把（）中求得的z代入，然后利用复数代数形式的除法运算化简即可得到答案解答：解：（）设复数z
13、=a+bi，因为|z|=1，所以a2+b2=1 （3+4i）z=（3a4b）+（4a+3b）i，因为（3+4i）z是纯虚数，所以3a4b=0且4a+3b0 由解得或（舍）所以；（）点评：本题考查了复数的模及复数代数形式的乘除运算，训练了二元二次方程组的解法，是基础的运算题16（8分）设ab0，求证：3a3+2b33a2b+2ab2考点：综合法与分析法(选修）专题：不等式的解法及应用分析：作差，因式分解，即可得到结论解答：证明：（3a3+2b3）（3a2b+2ab2）=3a2（ab）+2b2（ba）=（ab）（3a22b2）a0，b0，ab0，3a22b20（3a3+2b3）（3a2b+2ab2
14、）03a3+2b33a2b+2ab2点评：本题考查不等式的证明，考查作差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17（8分）已知曲线f（x）=2x2+a（x0）与曲线相切于点P，且在点P处有相同的切线l，求切线l的方程考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：利用在点P处有相同的切线l，确定切线的斜率，切点的坐标，从而可得切线方程解答：解：设切点P（x0，y0），则在点P处有相同的切线l，P的坐标为（），斜率k=1切线l的方程为，即点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题18（8分）已知数列an的前n项和为Sn满足，且（I）试求出S1，S2，S3
15、的值；（）根据S1，S2，S3的值猜想出Sn关于n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论考点：数学归纳法；数列的求和；归纳推理专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法分析：（I）由题设可得求得S1，S2，S3 的值，猜测（）利用数学归纳法加验证n=1时猜想成立，然后假设n=k时猜想成立，证明n=k+1时猜想也成立解答：解：S1=a1=，S2=S1+=，S3=S2+=（）由（I）猜想当n=1时，左边=S1=a1=，右边=，等式成立假设n=k时等式成立，即则当n=k+1时，左边=即当n=k+1时，等式成立由可知，当时对任意正整数n都成立点评：本题的考点是数学归纳法，主要考查已知数列的递推
16、关系式，求出数列的前几项，猜想通项公式，利用数学归纳法证明猜想成立，注意数学归纳法证明时，必须用上假设证明当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键19（10分）已知函数f（x）满足（）求f（x）的解析式：（）求f（x）的单调区间考点：利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；导数的运算专题：导数的综合应用分析：（I）利用导数的运算法则可得f（x）=f（1）ex1f（0）+x，令x=1得f（1）=f（1）f（0）+1，解得f（0）令x=0，得f（1）=e，即可得到f（x）（II）设g（x）=f（x）=ex1+x，则g（x）=ex+10，可得f（x）在R上单调递增进而得到f（x）
17、的单调性解答：解：（I）f（x）=f（1）ex1f（0）+x，令x=1得f（1）=f（1）f（0）+1，解得f（0）=1令x=0，得f（1）=e，（II）设g（x）=f（x）=ex1+x，则g（x）=ex+10，f（x）在R上单调递增而f（0）=0，当x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0因此f（x）在区间（，0）上单调递减；在区间（0，+）单调递增点评：熟练掌握利用导数研究函数得到单调性是解题的关键20（10分）已知函数f（x）=x2ax+a（aR）的图象与x轴相切，且在定义域内存在0x1x2，使得不等式f（x1）f（x2）成立（I）求函数f（x）的表达式；（II）设函数g（x）=xf（x
18、），求g（x）的极值；（III）设函数h（x）=g（x）+xk，当h（x）存在3个零点时，求实数k的取值范围考点：函数在某点取得极值的条件；函数解析式的求解及常用方法；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值专题：导数的综合应用分析：（I）由题意，令=a24a=0，解得a=0或4再分别验证是否符合条件即可；（II）g（x）=xf（x）=x34x2+4x，g（x）=3x28x+4，令g（x）=0，解得或2列表如下：即可得出极值（III）h（x）=g（x）+xk=x34x2+5xk，h（x）=3x28x+5，令h（x）=0，解得或1可知h（x）极大值=h（1），由题意h（x）存在3个零点，
19、则，解出即可解答：解：（I）由题意，令=a24a=0，解得a=0或4当a=0时，f（x）=x2，在（0，+）单调递增，不符合题意；当a=4时，f（x）=（x2）2，在区间（0，2）上单调递减，符合题意f（x）=x24x+4（II）g（x）=xf（x）=x34x2+4x，g（x）=3x28x+4，令g（x）=0，解得或2列表如下：=，g（x）极小值=g（2）=0（III）h（x）=g（x）+xk=x34x2+5xk，h（x）=3x28x+5，令h（x）=0，解得或1可知h（x）极大值=h（1），由题意h（x）存在3个零点，则，解得所以实数k的取值范围是点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、函数的零点等是解题的关键2013年9月1日
