1、2012-2013学年广东省揭阳市普宁二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）（2008陕西）sin330等于（）ABCD考点：运用诱导公式化简求值分析：根据330=36030，由诱导公式一可得答案解答：解：故选B点评：本题主要考查根据三角函数的诱导公式进行化简求值的问题属基础题对于三角函数的诱导公式一定要强化记忆2（5分）（2005浙江）已知向量，且，则由x的值构成的集合是（）A2，3B1，6C2D6考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系专题：计算题分析：根据题意，易得=0，将两个向量坐标代入可得关系式（x5）2+3x=0，解
2、可得x的值，进而可得答案解答：解：根据题意，则有=0，将两个向量坐标代入可得，（x5）2+3x=0，解可得，x=2，故选C点评：本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法3（5分）（2012广东）下列函数为偶函数的是（）Ay=sinxBy=x3Cy=exD考点：函数奇偶性的判断专题：计算题分析：结合选项，逐项检验是否满足f（x）=f（x），即可判断解答：解：A：y=sinx，则有f（x）=sin（x）=sinx为奇函数B：y=x3，则有f（x）=（x）3=x3=f（x）为奇函数，C：y=ex，则有f（x）=，为非奇非偶函数D：y=ln，则有F（x）=ln=f（x）
3、为偶函数故选D点评：本题主要考查了函数的奇偶行的判断，解题的关键是熟练掌握基本定义4（5分）下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（）Af（x）=Bf（x）=lgxCf（x）=|x|Df（x）=ex考点：函数的定义域及其求法专题：函数的性质及应用分析：求出给出函数的定义域，然后依次求出选项中四个函数的定义域，比对后即可得到答案解答：解：要使函数y=有意义，则x0，所以函数y=的定义域为（0，+）选项中给出的函数的定义域为x|x0；f（x）=lgx的定义域为（0，+）；f（x）=|x|的定义域为R；f（x）=ex的定义域为R所以与函数y=有相同定义域的是函数f（x）=lgx故选B点评：本题考查了
4、函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的取值集合，是基础题5（5分）（2012广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A72B48C30D24考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：由题意，结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体，根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项解答：解：由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4，则它的体积故选C点评：本题考查由三视图求体积，解题的关键是由三视图得出几何体的几何特征及相关的数据，熟练掌握相关几何体的体积公式也是解题的关键
5、6（5分）已知，则的值等于（）ABCD考点：运用诱导公式化简求值专题：计算题分析：所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入即可求出值解答：解：sin（+）=，cos（）=cos（+）=sin（+）=故选D点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键7（5分）（2012淄博二模）函数（0a1）的图象的大致形状是（）ABCD考点：指数函数的图像与性质专题：图表型；数形结合分析：先根据x与零的关系对解析式进行化简，并用分段函数表示，根据a的范围和指数函数的图形选出答案解答：解：因，且0a1，故选D点评：本题考查函数的图象，函数是高中数学的主干知识，是高考的重点和
6、热点，在高考中占整个试卷的左右复习时，要立足课本，务实基础（特别是函数的图象与性质等）8（5分）（2006四川）下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）ABCD考点：函数y=Asin（x+）的图象变换专题：压轴题分析：先根据图象求出函数的最小正周期，从而可得w的值，再根据正弦函数的平移变化确定函数的解析式为，最后根据诱导公式可确定答案解答：解：从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为，函数应为y=sin2x向左平移了个单位，即=，故选D点评：本题考查正弦函数平移变换和最小正周期的求法、根据图象求函数解析式考查学生的看图能力9（5分）（2012信阳模拟）设f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，
7、f（x）=2x（1x），则=（）ABCD考点：奇函数；函数的周期性专题：计算题分析：由题意得 =f（ ）=f（），代入已知条件进行运算解答：解：f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x（1x），=f（ ）=f（）=2 （1 ）=，故选 A点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值10（5分）已知AD，BE分别为ABC的边BC，AC上的中线，且，则为（）ABCD考点：平面向量的基本定理及其意义专题：计算题分析：设，将作为基向量则求出后 利用 =表示出即可解答：解：如图，设，则=，=故选B点评：本题考查平面向量基本定理及其应用，此类题目若选择合适的基向量，则能较好的表示
8、出其他有关向量，简化运算量二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11（5分）已知=（1，1），=（2，1），则=（4，3）考点：平面向量的坐标运算专题：计算题；平面向量及应用分析：利用两个向量坐标形式的减法和数乘法则，把条件代入直接计算解答：解：由题意得，=2（1，1）（2，1）=（4，3），故答案为：（4，3）点评：本题考查向量坐标形式的数乘、及减法运算，属于基础题12（5分）函数y=x24x，x0，1的最小值是3考点：二次函数在闭区间上的最值专题：函数的性质及应用分析：根据二次函数的图象及性质可得答案解答：解：y=x24x=（x2）24，其图象开口向上，对称轴为x=2，则函数y
9、=x24x在0，1上单调递减，所以当x=1时，y=x24x取得最小值，ymin=14=3故答案为：3点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查数形结合思想13（5分）在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为60度考点：异面直线及其所成的角专题：计算题；数形结合；转化思想分析：根据异面直线所成角的定义，把直线MN平移和直线AC相交，找到异面直线MN与AC所成的角，解三角形即可求得结果在平移直线时经常用到遇到中点找中点的方法解答：解：连接AD1，则MNAD1，连接CD1，CAD1就是异面直线AC和MN所成的角，而CAD1是正三角形，CAD1=60故
10、答案为60点评：此题是个基础题考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法14（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足，则实数a的2考点：直线和圆的方程的应用专题：计算题分析：先根据条件可知与垂直，然后联立方程组，利用根与系数的关系建立方程，解之即可解答：解：向量、满足与垂直，设A（m，n），B（p，q）=mp+nq=02x22ax+a24=0m+p=a，pm=mp+nq=2mpa（m+p）+a2=a24=0a=2；故答案为2点评：本题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及向量的运用，属于基
11、础题三、解答题（本大题共6小题，共80分）15（12分）已知|=4，|=3，与的夹角为60求：（1）；（2）（）（）；（3）|考点：平面向量数量积的运算专题：计算题；平面向量及应用分析：（1）根据数量积的定义把条件代入求值即可；（2）利用数量积的运算律把式子展开，再把条件代入求值；（3）利用向量的平方就是向量模的平方，先由数量积的运算求的值，再开方解答：解：由题意得，（1）=|cos60=43=6；（2）=169=7；（3）=16+12+9=37，则|=点评：本题考查了利用数量积的定义和运算律求式子、向量的模等，属于基础题16（12分）已知，其中，（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）
12、的单调递增区间；（3）f（x）的图象可由正弦函数的图象经过怎样的变换得到？考点：复合三角函数的单调性；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数的周期性及其求法专题：综合题分析：（1）由向量的坐标运算可求得f（x）=2sin（2x），从而可求得其周期；（2）由正弦函数的单调性可由2k2x2k+，kZ求得f（x）的单调递增区间；（3）利用三角函数的图象变换规律，可先进行相位变换，再进行周期变换，最后进行振幅变换即可解答：解：（1）=（sin2x，），=（1，cos2x），f（x）=sin2xcos2x=2sin（2x），f（x）的最小正周期T=；（2）由2k2x2k+，kZ得：kxk+，kZf
13、（x）的单调递增区间为k，k+，kZ（3）y=sinxy=sin（x）y=sin（2x）y=2sin（2x）点评：本题考查平面向量数量积的坐标表示，考查三角函数的周期性及其求法，考查正弦函数的单调性及三角函数的图象变换，属于中档题17（14分）（2011广东）已知函数f（x）=2sin（x），xR（1）求f（）的值；（2）设，0，f（3+）=，f（3+2）=，求cos（+）的值考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数专题：计算题；压轴题分析：（1）把x=代入函数f（x）的解析式中，化简后利用特殊角的三角函数值即可求出对应的函数值；（2）分别把x=3+和x=3+2代入f（x）的解析式中，
14、化简后利用诱导公式即可求出sin和cos的值，然后根据和的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos和sin的值，然后把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值解答：解：（1）把x=代入函数解析式得：f（）=2sin（）=2sin=；（2）由f（3+）=，f（3+2）=，代入得：2sin（3+）=2sin=，2sin（3+2）=2sin（+）=2cos=sin=，cos=，又，0，所以cos=，sin=，则cos（+）=coscossinsin=点评：此题考查学生掌握函数值的求法，灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题18（14分）（201
15、2宁国市模拟）如图：PA平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动（）求三棱锥EPAD的体积；（）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（）证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质分析：本题考查了空间几何体的体积、线面位置关系的判定、线面垂直等知识点，（）利用换底法求VPADE即可；（）利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决；（）通过证明AF平面PBE即可解决解答：解：（）三棱锥EPAD的体积（4分）（）当点E为BC的中点时，EF与平面PA
16、C平行（5分）在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，EFPC，又EF平面PAC，而PC平面PAC，EF平面PAC（8分）（）证明：PA平面ABCD，BE平面ABCD，EBPA，又EBAB，ABAP=A，AB，AP平面PAB，EB平面PAB，又AF平面PAB，AFBE（10分）又PA=AB=1，点F是PB的中点，AFPB，又PBBE=B，PB，BE平面PBE，AF平面PBEPE平面PBE，AFPE（12分）点评：无论是线面平行（垂直）还是面面平行（垂直），都源自于线与线的平行（垂直），这种“高维”向“低维”转化的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已
17、有的平行（垂直）关系，再从结论入手分析所要证明的平行（垂直）关系，从而架起已知与未知之间的桥梁19（14分）（1）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y1=0对称，圆心在第二象限，半径为求圆C的方程；（2）已知圆C：x2+y2=4直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程考点：直线与圆相交的性质；直线和圆的方程的应用专题：综合题；直线与圆分析：（1）确定圆心坐标与半径，利用圆C关于直线x+y1=0对称，圆心在第二象限，半径为，求出D，E，即可求圆C的方程；（2）分类讨论，利用圆的弦长公式，即可求得直线l的方程解答：解：（1）由题意圆心坐标为（，），
18、半径为圆C关于直线x+y1=0对称，半径为，D=2，E=4或D=4，E=2圆心在第二象限，圆心坐标为（1，2）圆C的方程为x2+y2+2x4y+3=0；（2）当直线的斜率不存在时，方程为x=1，A（1，），B（1，），满足题意；当直线的斜率存在时，设方程为y2=k（x1），即kxyk+2=0圆心到直线的距离为d=，k=，即3x4y+5=0点评：本题考查圆的方程，考查待定系数法，考查圆中弦长的计算，考查学生的计算能力，属于中档题20（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a0）对于任意xR都有f（1+x）=f（1x），且函数y=f（x）+2x为偶函数；函数g（x）=12x（I） 求函数f（
19、x）的表达式；（II） 求证：方程f（x）+g（x）=0在区间0，1上有唯一实数根；（III） 若有f（m）=g（n），求实数n的取值范围考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用分析：（I）根据对于任意xR都有f（1+x）=f（1x）可知对称轴为x=1，由此得a，b的方程，再由y=f（x）+2x为偶函数可求得b值，从而求得a值；（II）设h（x）=f（x）+g（x），方程f（x）+g（x）=0在区间0，1上有唯一实数根转化为证明函数h（x）在0，1上有唯一零点，根据零点存在定理判定其存在性，利用单调性判定其唯一性；（III）求出f（x），g（x）的值域及其交集，据
20、f（m）=g（n）知g（n）属于该交集；解答：（I）解：对于任意xR都有f（1+x）=f（1x），函数f（x）的对称轴为x=1，得b=2a又函数y=f（x）+2x=ax2+（b+2）x+1为偶函数，b=2，从而可得a=1f（x）=x22x+1=（x1）2（II）证明：设h（x）=f（x）+g（x）=（x1）2+12x，h（0）=220=10，h（1）=10，h（0）h（1）0所以函数h（x）在区间0，1内必有零点，又（x1）2，2x在区间0，1上均单调递减，所以h（x）在区间0，1上单调递减，h（x）在区间0，1上存在唯一零点故方程f（x）+g（x）=0在区间0，1上有唯一实数根（III）解：由题可知f（x）=（x1）20g（x）=12x1，若有f（m）=g（n），则g（n）0，1），则12n0，解得 n0故n的取值范围是n0点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，考查函数奇偶性的性质，考查学生对问题的理解能力及转化能力，零点存在定理及二次函数的有关性质是解决问题的基础
