1、第一章检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列语句中,命题的个数为(C)|x+2|;-5Z;R;0N.(A)1(B)2(C)3(D)4解析:可以判断真假的陈述句是命题,不能判断真假不是命题,是命题.2.设a,b为两条不重合的直线,为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是(D)(A)若a,b与所成的角相等,则ab(B)若a,b,则ab(C)若a,b,ab,则(D)若a,b,则ab解析:A中,a,b还可能相交或异面,所以A错误.B.平行于平行平面的两条直线不一定平行,所以B错误.C.根据直线和平面的位置关系和直线平行的性质可知,当a,
2、b,ab,则不成立,所以C错误.D.根据线面垂直的性质和面面垂直的性质可知,若a,则a或a,又因为b,所以ab成立,所以D成立.3.原命题“若x-3,则x0”的逆否命题是(D)(A)若x-3,则x0(C)若x-3解析:原命题“若x-3,则x-3.故选D.4.命题“nN*,f(n)n”的否定形式是(C)(A)nN*,f(n)n(B)nN*,f(n)n(C)nN*,f(n)n(D)nN*,f(n)n解析:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“nN*,f(n)n”的否定形式为nN*,f(n)n.故选C.5.条件p:|x+1|2,条件q:x2,则p是q的(A)(A)充分非必要条件 (B)必要不充分
3、条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:根据题意,|x+1|2x1,则p:-3x1,又由题意,q:x2,则q为x2,所以p是q的充分不必要条件.故选A.6.已知命题p:x2x是x1的充分不必要条件;命题q:若数列an的前n项和Sn=n2,那么数列an是等差数列.则下列命题是真命题的是(B)(A)p(q)(B)pq(C)pq (D)(p)(q)解析:对于命题p:x2x,解得x1或xx是x1的必要不充分条件,因此p是假命题.命题q: 若数列an的前n项和Sn=n2,则n=1时,a1=1;n2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时也成立.所以an=2n-1,因
4、此数列an是等差数列,首项为1,公差为2,因此是真命题.所以只有pq是真命题.故选B.7.“a1或b2”是“a+b3”的(A)(A)必要不充分条件(B)既不充分也不必要条件(C)充要条件 (D)充分不必要条件解析:由题意得,因为命题“若a1或b2,则a+b3”与命题“若a+b=3,则a=1且b=2”互为逆否命题,所以判断命题“若a1或b2,则a+b3”的真假只要判断:命题“若a+b=3,则a=1且b=2”互为逆否命题的真假即可,因为命题“若a+b=3,则a=1且b=2”显然是假命题,所以命题“若a1或b2,则a+b3”是假命题,所以a1或b2推不出a+b3.同理“若a=1且b=2,则a+b=3
5、”是真命题,所以命题“若a+b3,则a1或b2”是真命题.所以a+b3a1或b2.“a1或b2”是“a+b3”的必要不充分条件.故选A.8.下列有关命题的说法正确的是(D)(A)命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x1”(B)“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件(C)命题“xR,使得x2+x+10”的否定是“xR,均有x2+x+10”(D)命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题解析:对于A:命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x1”.因为否命题应为“若x21,则x1”,故错误.对于B:“x=-1”是“x2-5x-6=0”
6、的必要不充分条件.因为x=-1x2-5x-6=0,应为充分条件,故错误.对于C:命题“xR,使得x2+x+10”的否定是“xR,均有x2+x+10(C)命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的否命题是“若a,b都不是偶数,则a+b不是偶数”(D)特称命题“xR,使-2x2+x-4=0”是假命题解析:A中p是真命题,则p是假命题,p或q是真命题,所以q是真命题,故A正确.B中,特称命题的否定是全称命题,B正确.C中,命题的否命题应为“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数”,故C错误.D中,方程-2x2+x-4=0无实根,D正确.10.命题“x1,2,x2-a0”为真命题的一个充分不必要条件是(
7、C)(A)a4(B)a4(C)a5(D)a5解析:若“x1,2,x2-a0”为真命题,则a(x2)max=4.所以a4.结合选项知,命题为真的一个充分不必要条件为a5.故选C.11.以下四个命题中,其中正确的个数为(B)命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x1,则x2-3x+2=0”;“=”是“cos 2=0”的充分不必要条件;若命题p:x0R,+x0+1=0,则p:xR,x2+x+1=0;若pq为假,pq为真,则p,q有且仅有一个是真命题.(A)1(B)2(C)3(D)4解析:对于,命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x1,则x2-3x+20”,故错误;
8、对于,当=时,cos 2=cos =0,充分性成立;cos 2=0时,=+,kZ,必要性不成立,是充分不必要条件,故正确;对于,命题p:x0R,+x0+1=0,则p:xR,x2+x+10,故错误;对于,当pq为假命题,pq为真命题时,p,q中有且仅有一个是真命题,故正确.综上,正确的命题序号是,共2个.故选B.12.命题p:“x1,2,2x2-x-m0”,命题q:“x01,2,log2x0+m0”,若“pq”为真命题,则实数m的取值范围是(C)(A)(-,1)(B)(-1,+)(C)(-1,1)(D)-1,1解析:若p为真,则m2x2-x在x1,2上恒成立,令f(x)=2x
9、2-x,x1,2,因为f(x)=2x2-x=2(x-)2-在1,2上单调递增,所以f(x)min=f(1)=1,所以m0得m-log2x0,若q为真,则m-1,因为pq为真,所以p真且q真,所以所以-1m1.故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若命题“x0R,使得+(a-1)x0+10”为真命题,则实数a的取值范围为.解析:命题“x0R,使得+(a-1)x0+10”为真命题,则(a-1)2-40,解得a-1或a3.答案:a-1或a314.设命题p:0,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.解析:由0,得(2x-
10、1)(x-1)0,解得x1,所以p:x0恒成立,若pq为假命题,则m的取值范围是.解析:若命题p是真命题,则m-1;若命题q是真命题,则m2-40,解得-2m2,所以pq是真命题时,需满足即-2-1.答案:(-,-2(-1,+)三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b0有非空解集,则a2-4b0,写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.解:逆命题:已知a,b为实数,若a2-4b0,则关于x的不等式x2+ax+b0有非空解集.否命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b0没有非空解集,则
11、a2-4b0.逆否命题:已知a,b为实数,若a2-4bm(x2+1),q:x0R,+2x0-m-1=0,且pq为真,求实数m的取值范围.解:2xm(x2+1)可化为mx2-2x+mm(x2+1)为真,则mx2-2x+m0对任意的xR都成立.当m=0时,不等式可化为-2x0,显然不恒成立;当m0时,有所以m-1.若q:x0R,+2x0-m-1=0为真,则方程x2+2x-m-1=0有实根,所以4+4(m+1)0,所以m-2.又pq为真,故p,q均为真命题.所以所以-2m-1.所以实数m的取值范围为m|-2m-1.21.(本小题满分12分)已知命题p:关于x的函数y=loga(x2-2ax+7a-6
12、)的定义域为R;命题q:存在xR,使得关于x的不等式x2-ax+40恒成立,则=4a2-4(7a-6)0,解得a(1,6).命题q:存在xR,使得关于x的不等式x2-ax+40,解得a(-,-4)(4,+).因为p或q为真命题,p且q为假命题;所以命题p与命题q一真一假;当p真q假时,a(1,4,当p假q真时,a(-,-4)6,+)所以实数a的取值范围为(-,-4)(1,46,+).22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2x+5.(1)是否存在实数m0,使不等式m0+f(x)0对于任意xR恒成立,并说明理由;(2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)0成立,求实数m的取值范围.解:(1)不等式m0+f(x)0可化为m0-f(x),即m0-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m0-(x-1)2-4对于任意xR恒成立,只需m0-4即可.故存在实数m0使不等式m0+f(x)0对于任意xR恒成立,此时需m0-4.(2)不等式m-f(x0)0可化为mf(x0),若存在一个实数x0使不等式mf(x0)成立,只需mf(x0)min.又f(x0)=(x0-1)2+4,所以f(x0)min=4,所以m4.所以所求实数m的取值范围是(4,+).
