1、中档解答题(四) 时间:35分钟 分值:70分1.设数列an的前n项和为Sn,满足S3=9,Sn=nan+1-n(n+1),nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=an(,求数列bn的前n项和Tn.2.已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,m=(a,b+c),n=(cos +sin ,-1),f()=mn.(1)求f()的单调递增区间;(2)若f(C)=0,ABC的面积为,求a+b+c的最小值.3.某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中,统计解答题失分的茎叶图如下:(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小,并判断哪位同学做解答题相对稳定些;(
2、2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率,假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响,预测在接下来的2次周练中,甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值.4.如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,BE平面ABCD,DFBE,且DF=2BE=2,EF=3.(1)证明:平面ACF平面BEFD;(2)若二面角A-EF-C是直二面角,求直线AE与平面ABCD所成角的正切值.5.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方程为(t为参数,aR).以O为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为cos2+4cos -=
3、0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知曲线C1与曲线C2交于A,B两点,且|PA|=2|PB|,求实数a的值.6.已知函数f(x)=|x-3|+|x+m|(xR).(1)当m=1时,求不等式f(x)6的解集;(2)若不等式f(x)5的解集不是空集,求参数m的取值范围.答案精解精析1.解析(1)由题意得解得a1=1,a2=3,a3=5,已知Sn=nan+1-n(n+1),当n2时,Sn-1=(n-1)an-(n-1)n,两式相减得an=nan+1-n(n+1)-(n-1)an+(n-1)n(n2),即an+1-an=2.又a2-a1=2,因而数列an是首项为1,公差为
4、2的等差数列,从而an=2n-1.(2)由(1)知bn=an(=(2n-1)2n,则Tn=121+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,2Tn=122+323+524+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1.两式相减得:-Tn=121+222+223+22n-(2n-1)2n+1=-2+2(21+22+23+2n)-(2n-1)2n+1=-2+2-(2n-1)2n+1=-2+2n+2-4-(2n-1)2n+1=-6-(2n-3)2n+1.所以Tn=6+(2n-3)2n+1.2.解析(1)f()=mn=acos +asin -b-c=2acos-b-c,因为a0,令-+2k-2
5、k,kZ,解得-+2k+2k,kZ,所以f()的单调递增区间为,kZ.(2)由f(C)=0,得acos C+asin C-b-c=0,由正弦定理可得sin Acos C+sin Asin C-sin B-sin C=0,所以sin Acos C+sin Asin C-sin(A+C)-sin C=0,即sin Asin C-cos Asin C-sin C=0,因为sin C0,所以sin A-cos A-1=0,所以2sin-1=0,即sin=,因为0A,所以-A-0),则A(a,0,0),C(-a,0,0),E(0,1),F(0,-,2),=(0,-2,1),= (-a,1),=(a,1)
6、.设m=(x1,y1,z1)是平面AEF的法向量,则即令z1=2,则m=是平面AEF的一个法向量,设n=(x2,y2,z2)是平面CEF的法向量,则即令z2=2,则n=是平面CEF的一个法向量,二面角A-EF-C是直二面角,mn=-+9=0,a=.BE平面ABCD,BAE是直线AE与平面ABCD所成的角,AB=2,tanBAE=.故直线AE与平面ABCD所成角的正切值为.5.解析(1)曲线C1的参数方程为其普通方程为x-y-a+1=0.曲线C2的极坐标方程为cos2+4cos -=0,2cos2+4cos -2=0,x2+4x-x2-y2=0,即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x.(2)设A,
7、B两点所对应的参数分别为t1,t2,由得2t2-2t+1-4a=0.=(-2)2-42(1-4a)0,即a0,由根与系数的关系得根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|,|PB|=2|t2|,又|PA|=2|PB|,2|t1|=22|t2|,即t1=2t2或t1=-2t2.当t1=2t2时,有解得a=0,符合题意.当t1=-2t2时,有解得a=0,符合题意.综上所述,实数a的值为或.6.解析(1)当m=1时,f(x)6等价于或或解得x-2或x4,所以不等式f(x)6的解集为x|x-2或x4.(2)解法一:化简f(x)得,当-m3时,f(x)=当-m3时,f(x)=根据题意得即-3m2,或即-8m-3,参数m的取值范围为m|-8m2.解法二:|x-3|+|x+m|(x-3)-(x+m)|=|m+3|,f(x)min=|3+m|,|m+3|5,-8m2,参数m的取值范围为m|-8m2.
