1、3.3.2均匀随机数的产生课时过关能力提升一、基础巩固1.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m,其实际概率的大小为n,则()A.mnB.mnC.m=nD.m是n的近似值答案:D2.设x是0,1内的一个均匀随机数,经过变换y=2x+3,则xA.0B.2C.4D.5解析:当x,y=2答案:C3.用计算器或计算机产生20个01之间的随机数x,但是基本事件都在区间-1,3上,则需要经过的变换是()A.y=3x-1B.y=3x+1C.y=4x+1D.y=4x-1答案:D4.如图,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率AC解析:由几何概型的公式可又
2、S正方形=4,S阴影=4答案:B5.设一直角三角形两直角边的长均是区间0,1上的随机数,则斜边的长小于1的概率为()A解析:设两直角边分别为x,y,则x,y满足x0,1,y0,1,则P(x2+y21)答案:C6.某人从甲地去乙地共走了500 m,途中要过一条宽为 x m 的河流,他不小心把一件物品丢在了途中,若物品掉在河里就找不到了,若物品不掉在河里,则能找到,已知该物品能被找到的概率解析:已知河宽为x m,由题意得1x=100.答案:1007.b1是0,1上的均匀随机数,b=3(b1-2),则b是区间上的均匀随机数.解析:0b11,则函数b=3(b1-2)的值域是-6b-3,即b是区间-6,
3、-3上的均匀随机数.答案:-6,-38.利用随机模拟方法计算如图所示的阴影部分(y=x3和x=2以及x轴所围成的部分)的面积.步骤是:(1)利用计算器或计算机产生两组0到1之间的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND;(2)进行伸缩变换a=2a1,b=8b1;(3)数出落在阴影内的样本点数N1(满足ba3的点(a,b)的个数),用几何概型公式计算阴影部分的面积.例如,做1 000次试验,即N=1 000,模拟得到N1=250.解析:S阴影S答案:49.如图,在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形,向大正方形内随机投点,用随机模拟的方法求所投的点落入小正方形内的概率.解
4、:设事件A=所投点落入小正方形内.用计算机产生两组0,1上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.经过平移和伸缩变换,a=3a1-1.5,b=3b1-1.5,得-1.5,1.5上的均匀随机数.统计落入大正方形内的点数N(即上述所有随机数构成的点(a,b)的个数)及落入小正方形内的点数N1(即满足-1a1,且-1b1的点(a,b)的个数).计P(A)的近似值.二、能力提升1.用均匀随机数进行随机模拟,下列说法中正确的是()A.只能求几何概型的概率,不能解决其他问题B.能求几何概型的概率,还能计算图形的面积C.能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积D.最适合估计古典概型的概率解析:很明显用
5、均匀随机数进行随机模拟,不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积,但得到的是近似值,不是精确值,用均匀随机数进行随机模拟,不适合估计古典概型的概率.答案:C2.将0,1内的均匀随机数转化为-2,6内的均匀随机数,需实施的变换为()A.a=8a1B.a=8a1+2C.a=8a1-2D.a=6a1解析:当a10,1时,a=8a1的值域为0,8,则A项不符合题意;a=8a1+2的值域为2,10,则B项不符合题意;a=8a1-2的值域为-2,6,则C项符合题意;a=6a1的值域是0,6,则D项不符合题意.答案:C3.如图,在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半
6、径分别为2 cm,4 cm,6 cm,某人站在3 m之外向此板投镖,设镖击中线上或没有投中木板时不算,可重投.记事件A=投中大圆内,事件B=投中小圆与中圆形成的圆环内,事件C=投中大圆之外.(1)用计算机产生两组0,1内的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.(2)经过伸缩和平移变换,a=16a1-8,b=16b1-8,得到两组-8,8内的均匀随机数.(3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2+b236的点(a,b)的个数),投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4a2+b216的点(a,b)的个数),投中木板的总次数N(即满足上述-8a8,-8b8的点(a,b)的个数).则概率P(A
7、),P(B),P(C)的近似值分别是()AC解析:P(A)的近似值答案:A4.利用随机模拟方法计算y=x2与y=4围成的面积时,利用计算器产生两组01之间的均匀随机数a1=RAND,b1=RAND,然后进行平移与伸缩变换a=a14-2,b=b14,试验进行100次,前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65,已知最后两次试验的随机数a1=0.3,b1=0.8及a1=0.4,b1=0.3,则本次模拟得出的面积为.解析:由a1=0.3,b1=0.8得,a=-0.8,b=3.2,(-0.8,3.2)落在y=x2与y=4围成的区域内,由a1=0.4,b1=0.3得,a=-0.4,b=1.2,(-0.
8、4,1.2)落在y=x2与y=4围成的区域内,所以本次模拟得出的面积为16答案:10.725.设函数y=f(x)在区间0,1上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0f(x)1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)01区间上的均匀随机数x1,x2,xN和y1,y2,yN,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,N).再数出其中满足yif(xi)(i=1,2,N)的点数N1,则由随机模拟方法可得S的近似值为.解析:由0f(x)1可知曲线y=f(x)与直线x=0,x=1,y=0围成了一个曲边图形.又产生的随机数对在如图所示
9、的正方形内,正方形的面积为1,共有N对数,即有N个点,且满足yif(xi)(i=1,2,N)的有N1个点,即在函数f(x)图象上及下方有N1个点,所以由几何概型的求概率公式得,曲线y=f(x)与x=0,x=1,y=0围成的面积答案:6.设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的边长都等于6 cm,现用直径等于2 cm的硬币投掷到网格上,用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率.解:记事件A=硬币与格线有公共点,设硬币中心为B(x,y).步骤:(1)利用计算机或计算器产生两组01之间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.(2)经过平移和伸缩变换,则x=6(x1-0.5),y=6(y1
10、-0.5),得到两组-3,3内的均匀随机数.(3)统计试验总次数N及硬币与格线有公共点的次数N1 (满足条件|x|2或|y|2的点(x,y)的个数).(4)计算频.7.用随机模拟方法求函数y分析:将问题转化为求在由直线x=1,y=1和x轴,y轴围成的正方形中任取一点,该点落在已知图形内的概率.用随机模拟方法来估计概率即可.解:如图,阴影部分是函数yx轴和直线x=1围成的图形.设阴影部分的面积为S.随机模拟的步骤:(1)利用计算机产生两组0,1内的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND;(2)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y(x,y)的个数);(3)计算频;(4)直线x=1,y=1和x轴,y轴围成的正方形面积是1,由几何概型公式得点落在阴影部分的概率S
