1、高考资源网（） 您身边的高考专家二十四双曲线的简单几何性质(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是()A.2B.2C.4D.4【解析】选C.将双曲线化成标准形式为-=1,得2a=4.2.已知双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y+2x=0,则双曲线C的离心率为()A.3B.C.2D.9【解析】选A.由双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y+2x=0,得=2,所以 b2=8a2.所以c2-a2=8a2.所以e=3.3.双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,且C经过点A(2,),则双曲线C的方程为()A.x2
2、-y2=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选A.由双曲线C的一条渐近线方程为y=x,则双曲线为等轴双曲线,即a=b,双曲线C:x2-y2=a2,将A(2,)代入双曲线方程,解得a=1,所以双曲线的标准方程为x2-y2=1.4.设F1,F2是双曲线C:-=1(a0,b0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最小内角为30,则C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选C.不妨设|PF1|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a,则PF1F2是PF1F2的最小内角,为30,所以|PF2|
3、2=|PF1|2+|F2F1|2-2|PF1|F2F1|cos 30,所以(2a)2=(4a)2+(2c)2-24a2c,化为e2-2e+3=0,解得e=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.与双曲线x2-=1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是.【解析】依题意设双曲线的方程为x2-=(0),将点(2,2)代入求得=3,所以所求双曲线的标准方程为-=1.答案:-=16.已知双曲线-=1的离心率是,则n=.【解析】由题意知双曲线-=1的离心率是.若双曲线的焦点坐标在y轴上,可得:=,解得n=12,若双曲线的焦点坐标在x轴上,可得:=,n=-6.答案:-6或12三、解答题(每小题
4、10分,共20分)7.焦点在x轴上的等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是,求此双曲线的标准方程.【解析】设双曲线方程为x2-y2=a2(a0),则它的渐近线方程为y=x,焦点坐标为(a,0),(-a,0).所以=,a=.所以双曲线的标准方程为-=1.8.设双曲线-=1(ba0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直线l的距离为c,求双曲线的离心率.【解析】直线l的方程为+=1,即bx+ay-ab=0,于是有=c,即4ab=c2,两边平方得,16a2b2=3c4,所以16a2(c2-a2)=3c4,3c4-16a2c2+16a4=0,即3e4-16e2+16=0,解得e2=4
5、或e2=,因为ba0,所以1,e2=1+2,故e2=4,所以e=2.(15分钟30分)1.(5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x【解析】选C.已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,故有=,所以=,解得=.故双曲线C的渐近线方程为y=x.2.(5分)双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.+1【解析】选B.由已知得=2,所以e=.3.(5分)若椭圆+=1(ab0)的离心率为,则双曲线-=1的渐近线方程为.【解析】因为e=,不妨设a=4,c=1
6、,则b=,所以对应双曲线的渐近线方程为y=x=x.答案:y=x4.(5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的离心率是,左右焦点分别是F1,F2,过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,则其渐近线方程是,AF1F2=.【解析】由题意知,=,得=3,即=.则双曲线的渐近线方程为y=x;如图,不妨设A在第一象限,则|F2A|=,|F1F2|=2c,所以tanAF1F2=2=.所以AF1F2=.答案:y=x5.(10分)已知F1,F2分别是双曲线E:-=1(a0,b0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.(1)求双曲线的渐近线方程;(2)当F1PF2=60时
7、,PF1F2的面积为48,求此双曲线的方程.【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为bxay=0,则点F2到渐近线距离为=b(其中c是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.又因为a2+b2=c2,解得b=a,故所求双曲线的渐近线方程是4x3y=0.(2)因为F1PF2=60,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=4c2.又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4a2,相减得|PF1|PF2|=4c2-4a2=4b2.根据三角形
8、的面积公式得S=|PF1|PF2|sin 60=4b2=b2=48,得b2=48.再由(1)得a2=b2=27,故所求双曲线方程是-=1.1.设双曲线C:-=1(a0,b0)的两条渐近线互相垂直,顶点到一条渐近线的距离为1,则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为()A.2B.C.2D.4【解析】选B.因为双曲线C:-=1(a0,b0)的两条渐近线互相垂直,所以渐近线方程为y=x,所以a=b.因为顶点到一条渐近线的距离为1,所以a=1,所以a=b=,所以双曲线C的方程为-=1,焦点坐标为(-2,0),(2,0),所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为d=.2.已知F1,F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,当取最小值时,求双曲线的离心率e的取值范围.【解析】因为双曲线-=1(a0,b0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点,所以|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2a+|PF2|,所以=+4a+|PF2|8a,当且仅当=|PF2|,即|PF2|=2a时取等号,所以|PF1|=2a+|PF2|=4a,因为|PF1|-|PF2|=2a2ce=3,所以e(1,3).关闭Word文档返回原板块- 8 - 版权所有高考资源网
