1、六空间中点、直线和平面的向量表示空间中直线、平面的平行(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为棱长为1的正方体,下列结论中,正确的是()A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)【解析】选ABC.DD1AA1,=(0,0,1);BC1AD1,=(0,1,1);直线AD平面ABB1A1,=(0,1,0);C1点坐标为(1,1,
2、1),与平面B1CD不垂直,所以D错误.2.已知平面内有一个点A(2,-1,2),它的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面内的是()A.(1,-1,1)B.C.D.【解析】选B.要判断点P是否在平面内,只需判断向量与平面的法向量n是否垂直,即n是否为0,因此,要对各个选项进行检验.对于选项A,=(1,0,1),则n=(1,0,1)(3,1,2)=50,故排除A;对于选项B,=,则n=(3,1,2)=0,故B正确;同理可排除C,D.3.设平面的法向量的坐标为(1,2,-2),平面的法向量的坐标为(-2,-4,k).若,则k等于()A.2B.-4C.4D.-2【解析】选C.因为,所
3、以=,所以k=4.4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.MN在平面BB1C1C内【解析】选B.以点C1为坐标原点,分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,由于A1M=AN=,则M,N,=.又C1D1平面BB1C1C,所以=(0,a,0)为平面BB1C1C的一个法向量.因为=0,所以,又MN平面BB1C1C,所以MN平面BB1C1C.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知O为坐标原点,四面体OABC的顶点
4、A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0),直线BDCA,并且与坐标平面xOz相交于点D,点D的坐标为.【解析】由题意可设点D的坐标为(x,0,z),则=(x-2,-2,z),=(0,-2,5).因为BDCA,所以所以所以点D的坐标为(2,0,5).答案:(2,0,5)6.已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则与的值是.【解析】因为a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),ab,令a=tb(tR),则(+1,0,2)=t(6,2-1,2)=(6t,(2-1)t,2t),即解得或答案:2,或-3,三、解答题(每小题10分,共20分)7.如图,已知ABCD是直角
5、梯形,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系.(1)求平面SAB的一个法向量;(2)求平面SCD的一个法向量.【解析】以点A为原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D,S(0,0,1).(1)因为ADAB,ADSA,AB与SA相交于A,所以AD平面SAB,所以=是平面SAB的一个法向量.(2)在平面SCD中,=,=(1,1,-1).设平面SCD的法向量是n=(x,y,z),则n,n,所以得方程组所以令y=-1,得x=2,z=1,所以平面SCD的一个法
6、向量是n=(2,-1,1).8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1和BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形.【证明】以D为坐标原点,分别以,为正交基底建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),E,C1(0,1,1),F,所以=,=,=,=,所以=,=,所以,又因为FAE,FEC1,所以AEFC1,EC1AF,所以四边形AEC1F是平行四边形.(15分钟30分)1.(5分)若=+(,R),则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内【解析】选D.因为=+(,R),所以与,共面.所以AB平面CD
7、E或AB平面CDE.2.(5分)(2020 武汉高二检测)如果直线l的方向向量是a=(-2,0,1),且直线l上有一点P不在平面内,平面的法向量是b=(2,0,4),那么()A.直线l与平面垂直B.直线l与平面平行C.直线l在平面内D.直线l与平面相交但不垂直【解析】选B.因为直线l的方向向量是a=(-2,0,1),平面的法向量是b=(2,0,4),又ab=-4+0+4=0,所以直线l在平面内或与平面平行,又直线l上有一点P不在平面内,所以直线l与平面平行.3.(5分)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,ABCD,BAAD,CD=2AB,PA底面ABCD,E为 PC的中点,则BE与平
8、面PAD的位置关系为.【解析】以点A为原点,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AB=a,AP=c,AD=b,则A(0,0,0),P(0,0,c),B(a,0,0),C(2a,b,0),故E,则=.又=(a,0,0)为平面PAD的一个法向量,且=0,BE平面PAD,故BE平面PAD. 答案:平行4.(5分)若平面的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面的一个法向量为u2=(6,-2,z),且,则y+z=.【解析】因为,所以u1u2.所以=.所以y=1,z=-4.所以y+z=-3.答案:-35.(10分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形AB
9、CD中,B=BCD=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD 成30角,求证:CM平面PAD.【证明】由题意得CB,CD,CP两两垂直,以点C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为PC平面ABCD,所以PBC为PB与平面ABCD 所成的角,所以PBC=30.因为PC=2,所以BC=2,PB=4.所以C(0,0,0),D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M.所以=(0,-1,2),=(2,3,0),=.令n=(x,y,z)为平面PAD的法向量,则即所以令y=2,得
10、n=(-,2,1).因为n=-+20+1=0,所以n,又CM 平面PAD,所以CM平面PAD.1.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM平面BDE,则M点的坐标为()A.(1,1,1)B.C.D.【解析】选C.设AC与BD相交于O点,连接OE,因为AM平面BDE,且AM平面ACEF,平面ACEF平面BDE=OE,所以AMEO,又O是正方形ABCD对角线的交点,所以M为线段EF的中点.在空间直角坐标系中,E(0,0,1),F(,1).由中点坐标公式,知点M的坐标为.2.如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点
11、.(1)求证:B1EAD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.【解析】(1)以A为原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示.设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1).故=-0+11+(-1)1=0,所以B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0).使得DP平面B1AE,此时=(0,-1,z0).又设平面B1AE的法向量n=(x,y,z).因为n平面B1AE,所以n,n,得取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=要使DP平面B1AE,只要n,有-az0=0,解得z0=.又DP平面B1AE,所以存在点P,满足DP平面B1AE,此时AP=.关闭Word文档返回原板块
