1、考点19 与圆有关的计算一、正多边形的有关概念正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距二、与圆有关的计算公式1弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l=；扇形的面积S=2圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长（2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2r，圆锥的侧面积为S圆锥侧=圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+
2、S圆锥底=rl+r2=r（l+r）在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解考向一 正多边形与圆任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆典例1如图，已知O的周长等于8 cm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为A2 cmB2 cmC4 cmD4 cm【答案】B【解析】如图，连接OC，OD，正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，COD=60，OC=OD，OMCD，COM=30，O的周长等于8 cm，OC=4 cm，OM=4cos30=2（cm），故选B【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；
3、熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键1若一个正多边形的一个外角为60，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是_2如图，正方形ABCD的外接圆为O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）（1）求BPC的度数；（2）若O的半径为8，求正方形ABCD的边长考向二 弧长和扇形面积1弧长公式：；2扇形面积公式：或典例2如图，、是圆上三个不同的点，且，若，则长是ABCD【答案】C【解析】AOBC，ACB=OAC=20，由圆周角定理，得：AOB=2ACB=220=40的长为=，故选C【名师点睛】本题主要考查了弧长的求解，解题的关键是熟知圆周角定理和平行线的性质典例3如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，则的展直长度为A
4、3B6C9D12【答案】B【解析】的展直长度为：=6（m）故选B【名师点睛】此题主要考查了弧长计算，正确掌握弧长公式是解题关键3圆心角为240的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是Acm2B3cm2C9cm2D6cm24如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90的扇形.则此扇形的面积为ABCD 1时钟的分针长5cm，经过15分钟，它的针尖转过的弧长是AcmBcmCcmDcm2如图，正方形ABCD内接于O，AB=2，则的长是ABC2D3圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是A90B120C150D1804已知半径为5的O是ABC的外接圆若ABC=
5、25，则劣弧的长为ABCD5【河北省秦皇岛市海港区20192020学年九年级上学期期末数学试题】如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是A3B2CD6如图，在中，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则的长为ABCD7如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6 cm，圆锥的侧面积为15 cm2，则sinABC的值为ABCD8【山西省20192020学年九年级上学期期末数学试题】如图，为的直径，和分别是半圆上的三等分点，连接，若，则图中阴影部分的面积为ABCD9【广东省广州市南沙区20192020学年九年级上学期期末数学试题】若一个圆锥的底面积为，圆锥的高为，则该
6、圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为ABCD10如图，在的内接四边形中，点在弧上若恰好为的内接正十边形的一边，的度数为_11小明用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为5cm，扇形的弧长是6cm，那么这个圆锥的高是_12【吉林省长春市长春净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学20192020学年九年级第二次月考数学试题】如图，I是ABC的内心，B=60，则AIC=_13如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的O，=90，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为_14如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的
7、面积为_（结果保留根号和）15如图1，作BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以APB，APC，BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案例如，若以BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时BPC=90，而=45是360（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示图2中的图案外轮廓周长是_；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_16如图，AB是O的弦，BC切O于点B，ADBC，垂足为D，OA是O的半径，且OA=3（1）求证：AB平分OAD；（2）若点
8、E是优弧上一点，且AEB=60，求扇形OAB的面积（计算结果保留）17如图，AB为O的直径，C为O上一点，ABC的平分线交O于点D，DEBC于点E（1）试判断DE与O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DFAB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积18如图，在中，于点，于点，以点为圆心，为半径作半圆，交于点（1）求证：是的切线；（2）若点是的中点，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点是边上的动点，当取最小值时，直接写出的长19【山西省吕梁市汾阳市20192020学年九年级上学期期末数学试题】如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点.（1）试判断直线与的位置
9、关系，并说明理由；（2）若的半径为2，求图中阴影部分的周长.20如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DEAB，垂足为E，DE交AC于点F（1）求AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留和根号）21如图，AB是O的直径，AM和BN是O的两条切线，E为O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE（1）求证：DA=DE；（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积 1（2019长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120，则该扇形的面积是A2B4C12D242（2019成都）如图，正五边形ABCDE内接于O，P为上的一点（点P不与点D重合），则
10、CPD的度数为A30B36C60D723（2019金华）如图物体由两个圆锥组成其主视图中，A=90，ABC=105，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为A2BCD4（2019山西）如图，在RtABC中，ABC=90，AB=2，BC=2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为ABC2-D4-5（2019杭州）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12 cm，底面圆半径为3 cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于_cm2（结果精确到个位）6（2019福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的
11、延长与O的交点，则图中阴影部分的面积是_（结果保留）7（2019贵港）如图，在扇形中，半径与的夹角为，点与点的距离为，若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为_8（2019济宁）如图，O为RtABC直角边AC上一点，以OC为半径的O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC=，AC=3则图中阴影部分的面积是_9（2019贺州）已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是_度10（2019十堰）如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点顺时针旋转，点旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为_11（2019河南）如图，在扇形AOB中，AOB=120，半径OC交弦AB于点D，且
12、OCOA若OA=，则阴影部分的面积为_12（2019广西）九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的几何原本并称现代数学的两大源泉在九章算术中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为_寸13（2019河南）如图，在ABC中，BA=BC，ABC=90，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G（1）求证：ADFBDG；（2）填空：若AB=4，且
13、点E是的中点，则DF的长为_；取的中点H，当EAB的度数为_时，四边形OBEH为菱形14（2019滨州）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DFAC，垂足为点F（1）求证：直线DF是O的切线；（2）求证：BC2=4CFAC；（3）若O的半径为4，CDF=15，求阴影部分的面积15（2019辽阳）如图，是的直径，点和点是上的两点，连接，过点作射线交的延长线于点，使（1）求证：是的切线；（2）若，求阴影部分的面积变式拓展1【答案】C【解析】分针经过60分钟，转过360，经过15分钟转过360=90，则分针的针尖转过的弧长是l=故选C2【解析】（1）连
14、接OB，OC，四边形ABCD为正方形，BOC=90，P=BOC=45；（2）过点O作OEBC于点E，OB=OC，BOC=90，OBE=45，OE=BE，OE2+BE2=OB2，BE=，BC=2BE=2【点睛】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧3【答案】D【解析】扇形面积的计算公式为：，故选D4【答案】A【解析】连接AC从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个同心角为90的扇形，即ABC=90，AC为直径，即AC=2m，AB=BCAB2+BC2=22，AB=BC=m，阴影部分的面积是=（m2）故选A【名师点睛】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解答此题的关
15、键考点冲关1【答案】C【解析】，故选C.【名师点睛】本题主要考查了圆周角定理及平行线的性质，熟练运用相关知识点是解决本题的关键.2【答案】A【解析】如图，连接OA、OB，正方形ABCD内接于O，AB=BC=DC=AD，AOB=360=90，在RtAOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2，的长为=，故选A3【答案】D【解析】圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，则圆锥的侧面展开图扇形的半径为4，设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是n，根据题意，得：=4，解得：n=180，故选D4【答案】C【解析】如图，连接AO，CO，ABC=25，AOC
16、=50，劣弧的长=，故选C5【答案】B【解析】如图，连结OA，OB，ABCDEF为正六边形，AOB=360=60，AOB是等边三角形，正六边形的周长是12，AB=12=2，AO=BO=AB=2，故选B【名师点睛】本题考查了正多边形和圆，以及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线求出AOB=60是解答此题的关键.6【答案】C【解析】，的长为，故选C7【答案】C【解析】设圆锥的母线长为R，由题意得15=3R，解得R=5，圆锥的高为4，sinABC=故选C8【答案】B【解析】设相交于点和分别是半圆上的三等分点，为O的直径.，如图，连接，则，故选.【名师点睛】此题主要考查了半圆的面积、圆的相关性
17、质及在直角三角形中，30角所对应的边等于斜边的一半，关键记得加上ABE的面积是解题的关键.9【答案】C【解析】圆锥的底面积为4cm2，圆锥的底面半径为2cm，底面周长为4，圆锥的高为4cm，由勾股定理得圆锥的母线长为6cm，设侧面展开图的圆心角是n，根据题意得：=4，解得：n=120故选C【名师点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长10【答案】【解析】如图，连接，四边形是圆的内接四边形，是正三角形，恰好是的内接正十边形的一边，的度数为84故答案为：8411【答案】4cm【解析】设圆锥
18、的底面半径是r，则2r=6，解得：r=3，则圆锥的高是：（cm）【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的计算用到的知识点：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径是圆锥的母线长12【答案】120【解析】B=60，BAC+BCA=120三角形的内切圆的圆心是三角形三个角的平分线的交点，IAC=BAC，ICA=BCA，IAC+ICA=（BAC+BCA）=60，AIC=18060=120，故答案为120【名师点睛】此题主要考查利用三角形的内切圆的圆心是三角形三个角的平分线的交点性质进行角度求解，熟练掌握，即可解题.13【答案】（32+48）cm2【解析】如图，连接OA、OB，
19、=90，AOB=90，SAOB=88=32（cm2），扇形ACB（阴影部分）=48（cm2），则弓形ACB胶皮面积为（32+48）cm2，故答案为：（32+48）cm214【答案】-【解析】正六边形的中心为点O，如图，连接OD、OE，作OHDE于H，DOE=60，OD=OE=DE=1，OH=，正六边形ABCDEF的面积=16=，A=120，扇形ABF的面积=，图中阴影部分的面积=-，故答案为：-15【答案】14；21【解析】图2中的图案外轮廓周长是：8-2+2+8-2=14；设BPC=2x，以BPC为内角的正多边形的边数为：，以APB为内角的正多边形的边数为：，图案外轮廓周长是=-2+-2+-
20、2=+-6，根据题意可知：2x的值只能为60，90，120，144，当x越小时，周长越大，当x=30时，周长最大，此时图案定为会标，则则会标的外轮廓周长是=-6=21，故答案为：14；2116【解析】（1）连接OB，如图所示：BC切O于点B，OBBC，ADBC，ADOB，DAB=OBA，OA=OB，OAB=OBA，DAB=OAB，AB平分OAD；（2）点E是优弧上一点，且AEB=60，AOB=2AEB=120，扇形OAB的面积=317【解析】（1）DE与O相切，理由：如图，连接DO，DO=BO，ODB=OBD，ABC的平分线交O于点D，EBD=DBO，EBD=BDO，DOBE，DEBC，DEB
21、=EDO=90，DE与O相切（2）ABC的平分线交O于点D，DEBE，DFAB，DE=DF=3，BE=3，BD=6，sinDBF=，DBA=30，DOF=60，sin60=，DO=2，则FO=，故图中阴影部分的面积为：18【解析】（1）如图，过作垂线，垂足为 ，平分，为的半径，为的半径，是的切线（2），且是的中点，即，（3）作关于的对称点，交于，连接交于，此时最小，由（2）知，即，即，19【解析】（1）直线DE与O相切，理由如下：连接OE、OD，如图，AC是O的切线，ABAC，OAC=90，点E是AC的中点，O点为AB的中点，OEBC，1=B，2=3，OB=OD，B=3，1=2，在AOE和DO
22、E中，OA=OD，1=2，OE=OE，AOEDOE（SAS），ODE=OAE=90，DEOD，OD为O的半径，DE为O的切线；（2）DE、AE是O的切线，DE=AE，点E是AC的中点，DE=AE=AC=2.5，AOD=2B=250=100，阴影部分的周长=【名师点睛】本题考查的是切线的判定与性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线、切线长定理、弧长的计算，掌握切线的性质与判定、弧长公式是解题的关键20【解析】（1）如图，连接OD，OC，C、D是半圆O上的三等分点，=，AOD=DOC=COB=60，CAB=30，DEAB，AEF=90，AFE=9030=60；（2）由（1）知，AOD=60，
23、OA=OD，AB=4，AOD是等边三角形，OA=2，DEAO，DE=，S阴影=S扇形AODSAOD=2=21【解析】（1）如图，连接OE、BE，OB=OE，OBE=OEBBC=EC，CBE=CEB，OBC=OECBC为O的切线，OEC=OBC=90OE为半径，CD为O的切线，AD切O于点A，DA=DE（2）如图，连接OC，过点D作DFBC于点F，则四边形ABFD是矩形，AD=BF，DF=AB=6，DC=BC+AD=4，CF=2，BC-AD=2，BC=3，在直角OBC中，tanBOC=，BOC=60在OEC与OBC中，OECOBC（SSS），BOE=2BOC=120，S阴影部分=S四边形BCEO
24、-S扇形OBE=2BCOB-=9-3直通中考1【答案】C【解析】S=12，故选C2【答案】B【解析】如图，连接OC，ODABCDE是正五边形，COD=72，CPD=COD=36，故选B3【答案】D【解析】A=90，AB=AD，ABD为等腰直角三角形，ABD=45，BD=AB，ABC=105，CBD=60，而CB=CD，CBD为等边三角形，BC=BD=AB，上面圆锥与下面圆锥的底面相同，上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于ABCB，下面圆锥的侧面积=1=故选D4【答案】A【解析】在RtABC中，ABC=90，AB=2，BC=2，tanA=，A=30，DOB=60，OD=AB=，DE=，阴影
25、部分的面积是：，故选A5【答案】113【解析】这个冰淇淋外壳的侧面积=2312=36113（cm2）故答案为：1136【答案】-1【解析】如图，延长DC，CB交O于M，N，则图中阴影部分的面积=（S圆O-S正方形ABCD）=（4-4）=-1，故答案为：-17【答案】【解析】如图，连接，过作于，故答案为：【名师点睛】本题运用了弧长公式和圆的周长公式，建立准确的等量关系是解题的关键8【答案】【解析】在中，是圆的切线，与斜边相切于点，在中，与斜边相切于点，故答案为：【名师点睛】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理、解直角三角形的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键9【答案】90【
26、解析】设圆锥的母线为a，根据勾股定理得，a=4，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，根据题意得，解得，即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为故答案为：90【名师点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长10【答案】【解析】由图可得，图中阴影部分的面积为：，故答案为：【名师点睛】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答11【答案】【解析】如图，作OEAB于点F，在扇形AOB中，AOB=120，半径OC交弦AB于点D，且OCOAOA=，AOD=90，BOC=90，OA=OB，OAB=OBA=
27、30，OD=OAtan30=2，AD=4，AB=2AF=22=6，OF=，BD=2，阴影部分的面积是：SAOD+S扇形OBC-SBDO=，故答案为：12【答案】26【解析】设O的半径为r在RtADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，O的直径为26寸，故答案为：2613【解析】（1）BA=BC，ABC=90，BAC=45，AB是O的直径，ADB=AEB=90，DAF+BGD=DBG+BGD=90，DAF=DBG，ABD+BAC=90，ABD=BAC=45，AD=BD，ADFBDG（2）如图2，过F作FHAB于H，点E是的中点，BAE=DAE，FDA
28、D，FHAB，FH=FD，=sinABD=sin45=，即BF=FD，AB=4，BD=4cos45=2，即BF+FD=2，（ +1）FD=2，FD=4-2，故答案为：4-2连接OH，EH，点H是的中点，OHAE，AEB=90，BEAE，BEOH，四边形OBEH为菱形，BE=OH=OB=AB，sinEAB=，EAB=30故答案为：3014【解析】（1）如图所示，连接OD，AB=AC，ABC=C，而OB=OD，ODB=ABC=C，DFAC，CDF+C=90，CDF+ODB=90，ODF=90，直线DF是O的切线（2）连接AD，则ADBC，则AB=AC，则DB=DC=，CDF+C=90，C+DAC=90，CDF=DCA，而DFC=ADC=90，CFDCDA，CD2=CFAC，即BC2=4CFAC（3）连接OE，CDF=15，C=75，OAE=30=OEA，AOE=120，SOAE=AEOEsinOEA=2OEcosOEAOEsinOEA=，S阴影部分=S扇形OAE-SOAE=42-=-15【解析】（1）如图，连接，过作于，是的切线（2），是等边三角形，在中，阴影部分的面积【名师点睛】此题主要考查圆的切线与扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆的性质及判定定理
