1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专题能力提升练(四) (120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正(主)视图、侧(左)视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是()A.B.C.D.【解析】选A.由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，正方体的体积为1，四棱锥的体积为：11=，故组合体的体积V=1-=.2.如图，已知某品牌墨水瓶的
2、外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为(瓶壁厚度忽略不计)()A.8+B.8+4C.16+D.16+4【解析】选C.几何体为圆柱体和长方体的组合体，所以V=+242=16+.3.如图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是()A.4B.5C.3D.3【解析】选D.三视图还原的几何体是直三棱柱与三棱锥的组合体,直三棱柱底面是等腰直角三角形,腰长为3,高为3,三棱锥的底面是等腰直角三角形,腰长为3,高为1,所以该几何体任意两个顶点间距离的最大值是=3.4.(2015枣庄二模)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是()A.35cm3B.cm3C.70cm3D.
3、cm3【解题提示】由已知的三视图可得：该几何体是一个圆台与半球的组合体，分别计算半球与圆台的体积，相加可得答案.【解析】选D.由已知的三视图可得：该几何体是一个圆台与半球的组合体，球的半径与圆台的下底面半径均为4cm，故半球的体积为：43=(cm3)，圆台的上底面半径为2cm，高为3cm，故圆台的体积为：(42+42+22)3=(cm3)，故组合体的体积V=+=(cm3).5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.12B.24C. 30D. 48【解析】选B.由三视图可知其直观图如图所示，其由三棱柱截去一个三棱锥所得，三棱柱的体积V=435=30，三棱锥的体积V1=433=6，故
4、该几何体的体积为24.6.已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线满足m，n，则()A.且B.且C.与相交，且交线垂直于D.与相交，且交线平行于【解析】选D.由m平面，直线满足m，且，所以，又n平面，n，所以.又直线m，n为异面直线，且m平面，n平面，则与相交.否则，若，则推出mn，与m，n异面矛盾.故与相交，且交线平行于.7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.3B.C.D.【解题提示】几何体是直三棱柱截去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和截去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积.【解析】选B.由三视图知：几何体是直三棱柱截去一个三棱锥，如图：直三棱柱的体积
5、为222=4.截去的三棱锥的体积为212=，所以几何体的体积V=4-=.8.(2015青岛二模)某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为()A.+4B.36+2C.32+2D.44+2【解题提示】首先根据三视图把该几何体的直观图整理出来，进一步利用立体图的相关的数据求出结果.【解析】选D.根据三视图得知：该几何体是由下面是一个半径为4的半球，上面是一个底面半径为2，高为3的圆锥构成的组合体.首先求出上面圆锥的侧面展开面的半径r=，圆锥的底面周长为=4，所以圆锥的侧面面积为：S1=4=2，剩余的侧面面积为：S2=216+16-4=44，所以组合体的表面积为：S=S1+S2=44+2.9.(
6、2015烟台二模)某几何体在网格纸上的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为()A.B.C.D.【解析】选A.由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和四分之一球组成的组合体，圆柱底面半径和球的半径R均为1，故四分之一球的体积为：R3=，圆柱的高h=1，故圆柱的体积为：R2h=，故组合体的体积V=+=.10.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，点A，B，C，D在球O上，球O与BA1的另一个交点为E，与CD1的另一个交点为F，AEBA1，则球O的表面积为()A.6B.8C.12D.16【解题提示】连结EF，DF，说明三棱柱ABE-DCF是球O的
7、内接直三棱柱，求出球的半径，即可求解球的表面积.【解析】选B.连结EF，DF，易证得BCFE是矩形，则三棱柱ABE-DCF是球O的内接直三棱柱，因为AB=2，AA1=2，所以tanABA1=，即ABA1=60，又AEBA1，所以AE=，BE=1，所以球O的半径R=，所以球O的表面积为：4R2=4()2=8.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2015日照一模)若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是.【解题提示】画出几何体的直观图，然后利用三视图的数据求解几何体的体积即可.【解析】由三视图知此几何体为边长为2的正方体截去一个三棱锥(如图)
8、，所以此几何体的体积为：222-122=.答案：12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.【解析】由已知的三视图可以判断该几何体是一个底面如正视图所示的六棱柱，由俯视图可得棱柱的高h=2，由割补法，可得棱柱的底面面积S=23=6，故棱柱的体积V=26=12.答案：1213.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是.【解题提示】由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，先确定最大的面，再求其面积.【解析】由三视图可知，该几何体有两个面是直角三角形，如图，底面是正三角形，最大的面是VAB，其边长分别为：2，=2，=2，故其面积为：2=.答案：【方法技巧
9、】与三视图有关问题的解题技巧：(1)注意长宽高的关系：三视图中长对正，高平齐，宽相等.(2)由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图.14.(2015德州一模)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，则该三棱锥的四个表面中，面积最大的值为.【解析】如图所示：该三棱锥是P-ABC，其中PA底面ABC，PA=2，其底面为顶角BAC=120的等腰三角形，BC=2.取BC的中点D，连接AD，可得AD=1.其面积最大的表面是侧面PBC.因为PD=.所以SPBC=BCPD=2=.答案：15.如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体
10、积为的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为.【解析】由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，由于鸡蛋的体积为，故鸡蛋(球)的半径为1，故球心到截面圆的距离为=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为，故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为+1+=+.答案：三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)如图所示是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧(左)视图、俯视图.已知CF=2AD，侧(左)视图是边长为2的等边三角形，俯视图是直角梯形，有关数据如图所示.求该几何体的体
11、积.【解析】取CF中点P，过P作PQCB交BE于Q，连接PD，QD，则ADCP，且AD=CP.所以四边形ACPD为平行四边形，所以ACPD.又BCPQ，易知平面PDQ平面ABC.该几何体可分割成三棱柱PDQ-CAB和四棱锥D-PQEF，所以V=V三棱柱PDQ-CAB+VD-PQEF=22sin602+=3.17.(12分)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，AB=AA1=.(1)证明：平面A1BD平面CD1B1.(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.【解析】(1)因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面
12、中心，A1O平面ABCD，AB=AA1=，由棱柱的性质可得BB1和DD1平行且相等，故四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等.而BD不在平面CB1D1内，而B1D1在平面CB1D1内，所以BD平面CB1D1.同理可证，A1BCD1为平行四边形，A1B平面CB1D1.而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，故有平面A1BD平面CD1B1.(2)由题意可得A1O为三棱柱ABD-A1B1D1的高.三角形A1AO中，由勾股定理可得A1O=1，所以三棱柱ABD-A1B1D1的体积V=SABDA1O=A1O=1=1.【误区警示】解答本题易出现以下三种错误：一是对棱柱的性质不熟悉
13、，造成思路受阻；二是对面面平行的判定的理解不彻底，造成证明不严谨失分；三是对棱柱的体积公式记忆不准或计算错误而失分.18.(12分)(2015济宁一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,ADC=60,侧面PDC是正三角形,平面PDC平面ABCD,CD=2,M为PB的中点.(1)求证:PA平面CDM. (2)求二面角D-MC-B的余弦值.【解题提示】(1)取DC中点O,连结PO,则PO底面ABCD,以O为原点,分别以OA,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,由=0,=0,利用向量法能证明PA平面DMC.(2)求出平面BMC的一个法向量和平面CDM的法向量,由
14、此利用向量法能求出二面角D-MC-B的余弦值.【解析】(1)取DC中点O,连结PO,因为侧面PDC是正三角形,平面PDC平面ABCD,所以PO底面ABCD,因为底面ABCD为菱形,且ADC=60,DC=2,所以DO=1,OADC,以O为原点,分别以OA,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A(,0,0),P(0,0,),B(,2,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),所以M,所以=,=(,0,-),=(0,2,0),所以=0,=0,所以PADM,PADC,又DMDC=D,所以PA平面CDM.(2)=,=(,1,0),设平面BMC的一个法向量n=(x,y,z),则取
15、z=1,得n=(-1,1),由(1)知平面CDM的法向量为=(,0,-),所以由图象得二面角D-MC-B是钝角,所以二面角D-MC-B的余弦值为-.【易错警示】解答本题易出现以下两种错误:(1)建立空间直角坐标系后,将点的坐标写错,造成结果错误.(2)不考虑二面角是锐角还是钝角,造成结论错误.19.(12分)(2015淄博二模)有一个所有棱长均为a的正四棱锥P-ABCD，还有一个所有棱长均为a的正三棱锥，将此三棱锥的一个面与正四棱锥的一个侧面完全重合在一起，得到一个如图所示的多面体.(1)证明：P，E，B，A四点共面.(2)求三棱锥A-PDE的体积.(3)在底面ABCD内找一点M，使EM平面P
16、BC，指出M的位置，并说明理由.【解题提示】(1)取PB的中点F，连接AF，EF，CF，AC，由已知得AFC为二面角A-PB-C的平面角，EFC为二面角E-PB-C的平面角，由余弦定理得cosAFC=-，cosEFC=，从而AFC+EFC=，由此能证明P，E，B，A四点共面.(2)由已知得APBE，BE平面APD，从而VA-PDE=VB-APD=VP-ABD，由此能求出三棱锥A-PDE的体积.(3)ME平面PBC，交平面PBC于点H，又PB=PC=BC，则H为PBC的重心，从而得H为ACE的重心，从而求出M为线段AC的中点.【解析】(1)取PB的中点F，连接AF，EF，CF，AC，所以AFPB
17、，EFPB，CFPB，且AF=CF=a，所以AFC为二面角A-PB-C的平面角，EFC为二面角E-PB-C的平面角，在AFC中，由余弦定理得：cosAFC=-，在EFC中，由余弦定理得：cosEFC=，所以AFC+EFC=，所以P，E，B，A四点共面.(2)因为P，E，B，A四点共面，PAB=60，ABE=120，所以APBE，BE平面APD，所以VA-PDE=VB-APD=VP-ABD=aaa=a3.(3)连接AC，取AC的中点M，M即为所求点.因为ME平面PBC，交平面PBC于点H，易知H是PBC的垂心，又PB=PC=BC，则H为PBC的重心，在ACE中，因为=，所以点H为ACE的重心，所
18、以M为线段AC的中点，即M即为所求点.20.(13分)如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形,ADBC,侧面ABB1A1为菱形,DAB=DAA1.(1)求证:A1BAD.(2)若AD=AB=2BC,A1AB=60,点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点,求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值.【解题提示】(1)通过已知条件易得|=|,DAB=DAA1,利用=0即得A1BAD.(2)通过建立空间直角坐标系,平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值即为平面ABB1A1的法向量与平面DCC1D1的法向量的夹角的余弦值,计算即可.
19、【解析】(1)因为=-,所以=(-)=|cosDAB-|cosDAA1,又因|=|,DAB=DAA1,所以=0,即得A1BAD.(2)设线段A1B的中点为O,连接DO,AB1,由题意知DO平面ABB1A1.因为侧面ABB1A1为菱形,所以AB1A1B,故可分别以射线OB、射线OB1、射线OD为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示.设AD=AB=2BC=2a,由A1AB=60可知|OB|=a,|OA|=|OB1|=a,所以|OD|=a,从而A(0,-a,0),B(a,0,0),B1(0,a,0),D(0,0,a),所以=(-a,a,0).由=,可得C,所以=,设平面DCC1D1的一
20、个法向量为m=(x0,y0,z0),由m=m=0,得取y0=1,则x0=,z0=3,所以m=(,1,3).又平面ABB1A1的一个法向量为=(0,0,a),所以cos=故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为.21.(14分)(2015聊城一模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB侧面BB1C1C,AB=BC=1,BB1=2,BCC1=.(1)求证:C1B平面ABC.(2)设=(01),且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30,试求的值.【解题提示】(1)由已知条件推导出ABBC1,BCBC1,由此能证明C1B平面ABC.(2)以B为原点,BC,BA,BC
21、1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.利用向量法能求出的值.【解析】(1)AB侧面BB1C1C,BC1侧面BB1C1C,所以ABBC1,在BCC1中,BC=1,CC1=BB1=2,BCC1=,由余弦定理得:B=BC2+C-2BCCC1cosBCC1=12+22-212cos=3,所以BC1=,所以BC2+B=C,所以BCBC1,因为BCAB=B,所以C1B平面ABC.(2)由(1)知,BC,BA,BC1两两垂直,以B为原点,BC,BA,BC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.则B(0,0,0),A(0,1,0),B1(-1,0,), C1(0,0,),C(1,0,0).所以=(-1,0,),所以=(-,0,),所以E(1-,0,),则=(1-,-1,),=(-1,-1,).设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z),则所以令z=,则x=,y=,所以n=.因为AB侧面BB1C1C,所以=(0,1,0)是平面BEB1的一个法向量,所以|cos|=,两边平方并化简得22-5+3=0,所以=1或=(舍去).所以的值是1.关闭Word文档返回原板块
