1、专题11 实际问题中的方程(组)与函数题型【例1】(2019郑州外国语测试)俄罗斯世界杯足球赛期间,某商店销售一批足球纪念册,每本进价40元,规定销售单价不低于44元,且获利不高于30%,在试销售期间发现,当销售单价定为44元时,每天可售出300本,销售单价每上涨1元,每天销售量减少10本,现商店决定提价销售,设每天销售量为y本,销售单价为x元.(1)请直接写出y与x直接的函数关系式及x的取值范围;(2)当每本足球纪念册的销售单价是多少元时,商店每天获利2400元?(3)当每本足球纪念册的销售单价是多少元时,商店每天的利润w最大?最大利润是多少元?【答案】见解析.【解析】解:(1)y=3001
2、0(x44),整理得:y=10x+740,(44x52);(2)由题意得:(x40)(10x+740)=2400,解得:x=50,x=64(舍),即当每本足球纪念册的销售单价是50元时,商店每天获利2400元.(3)由题意得:w=(x40)(10x+740)=10(x57)2+2890100,对称轴为x=57,当x57时,w随x增大而增大,44x52,当x=52时,w取最大值,最大为2640元,即当每本足球纪念册的销售单价是52元时,商店每天的利润最大,最大利润是2640元.【例2】(2018河师大附中模拟)某养殖专业户计划购买甲、乙两种牲畜,已知乙种牲畜的单价是甲种牲畜单价的2倍多200元,
3、买3头甲种牲畜和1头乙种牲畜共需5700元.(1)甲、乙两种牲畜的单价各是多少元?(2)相关资料表明:甲、乙两种牲畜的成活率分别为95%和99%,若购买以上两种牲畜共50头,并使这50头的成活率不低于97%,且要使购买的总费用最低,应如何购买?【答案】见解析.【解析】解:(1)设甲种牲畜的单价为x元,由题意得:3x+2x+3000=7500,解得:x=1100,21100+200=2400,即甲种牲畜的单价为1100元,乙种牲畜的单价为2400元.(2)设购买甲种牲畜m头时,总购买费用为w元,则w=1100m+2400(50m)=1300m+120000,由题意知:95%m+99%(50m)9
4、7%50,解得:m25,即0m25,13000,w随m的增大而减小,当m=25时,w取最小值,即费用最低,购买两种牛各25头时,费用最低.【变式2-1】(2019三门峡二模)水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售,经过还价,实际价格每千克比原来少2元,发现原来买这种水果80千克的钱,现在可买88千克(1)现在实际购进这种水果每千克多少元?(2)王阿姨准备购进这种水果销售,若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图所示的一次函数关系求y与x之间的函数关系式;请你帮王阿姨拿个主意,将这种水果的销售单价定为多少时,能获得最大利润?最大利润是多少?(利润销售收入进货金额)【答
5、案】见解析【解析】解:(1)设现在实际购进这种水果价格为每千克a元,则原来价格为每千克(a+2)元,由题意,得:80(a+2)88a,解得:a20即现在实际购进这种水果每千克20元;(2)设y与x之间的函数关系式为:ykx+b,将(25,165),(35,55)代入ykx+b得,解得:,即y与x之间的函数关系式为:y11x+440;设这种水果的销售价格为x元/千克时,利润为w元,则w(x20)y(x20)(11x+440)11(x30)2+1100,110,当x30时,w有最大值,最大值为1100即这种水果的销售单价定为30元时,能获得最大利润,最大利润是1100元【例3】(2018洛阳三模)
6、在江苏卫视最强大脑节目中,搭载百度大脑的机器人小度以3:1的总成绩,斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格,人工智能时代已经扑面而来某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售,很快销售一空,商家又用24000元第二次购进同款机器人,所购进数量是第一次的2倍,但单价贵了10元(1)求该商家第一次购进机器人多少个?(2)若所有机器人都按相同的标价销售,要求全部销售完毕的利润率不低于20%(不考虑其它因素),那么每个机器人的标价至少是多少元?【答案】见解析.【解析】解:(1)设该商家第一次购进机器人x个,由题意得:,解得:x=100经检验,x=100是所列方程的解,且符合题意答:该商家第一
7、次购进机器人100个(2)设每个机器人的标价是a元由题意得:a110002400020%,解得:a140答:每个机器人的标价至少是140元【变式3-1】(2019周口二模)由于技术更新,智能电视的功能越来越强大,价格也逐渐下降,某电器商行经营的A款40英寸智能电视去年销售总额为5万元,今年每台销售价比去年降低400元,若卖出的数量相同,销售总额将比去年减少20%(1)今年A款40英寸智能电视每台售价多少元?(用列方程的方法解答)(2)该电器商行计划新进一批A款40英寸智能电视和新款B款40英寸智能电视共60台,且B款40英寸智能电视的进货数量不超过A款40英寸智能电视数量的两倍,应如何进货才能
8、使这批智能电视获利最多?A,B两款40英寸智能电视的进货和销售价格如下表:A款40英寸智能电视B款40英寸智能电视进货价格(元)1 1001 400销售价格(元)今年的销售价格2 000【答案】见解析.【解析】解:设今年A款40英寸智能电视每台售价为x元,则去年每台售价为(x+400)元,由题意得:,解得:x=1600,经检验,x=1600是原方程的解,符合题意,今年A款40英寸智能电视每台售价为1600元.(2)设购进A款电视a台,则购进B款(60a)台,此时获利y元,y=(1600-1100)a+(2000-1400)(60-a)=-100a+36000,其中:60-a2a,0a60,即2
9、0a60,且a为整数;-1000,w随m的增大而增大,当m=50时,运费最少,最少为450元,当购买A种产品50个,B种产品50个时,总运费最少,最少为450元 .1.(2019济源一模)为支持国家南水北调工程建设,小王家由原来养殖户变为种植户, 经市场调查得知,种植草莓不超过 20 亩时,所得利润 y(元)与种植面积 m(亩)满足关系式 y=1 500 m;超过20亩时,y=1380m+2400而当种植樱桃的面积不超过 15 亩时,每亩可获得利润 1800 元;超过 15 亩时,每亩获得利润 z(元)与种植面积 x(亩)之间的函数关系式为 z=20x+2 100(1)设小王家种植 x 亩樱桃
10、所获得的利润为 P 元,直接写出 P 关于 x 的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(2)如果小王家计划承包40 亩荒山种植草莓和樱桃,当种植樱桃面积(x亩)满足0x20时,求小王家总共获得的利润w(元)的最大值【答案】见解析.【解析】解:(1)由题意得:(2)种植樱桃面积x亩,则种植草莓面积(40x)亩,由题意知,当00,w随x的增大而增大,当x=15时,w最大,最大值为63900,当15x20时,w=20x2+2100x+1380(40x)+2400=20(x18)2+64080,2063900,当x=18时,小王家总共获得的利润w取最大值,最大值为64080元.2.(2019洛阳二模)
11、某游乐园的门票销售分两类:一类个人门票,分为成人票,儿童票;一类为团体门票(一次购买门票 10 张及以上),每张门票在成人票价格基础上打 6 折已知一个成人带两个儿童购门票需 80 元;两个成人带一个儿童购门票需 100 元(1)每张成人票和儿童票的价格分别是多少元?(2)光明小学 4 名老师带领 x 名儿童到该游乐园,设购买门票需 y 元若每人分别购票,求 y 与 x 之间的函数关系式;若购买团体票,求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围;请根据儿童人数变化设计一种比较省钱的购票方案【答案】见解析.【解析】解:设成人票每张a元,儿童票每张b元,由题意得:a+2b=80
12、,2a+b=100,解得:a=40,b=20,即成人票每张40元,儿童票每张20元;(2)y=440+20x=160+20xy=400.6(x+4)=24x+96,由x+410,得x6,且x为整数.(i)当160+20x24x+96,即x16,当6x16且x为整数时,应全部购买团体票较为优惠;(ii)当160+20x=24x+96,即x=16,当x=16时,购买团体票或分别购买均可以;(iii)当160+20x16,当x16且x为整数时,应分别购买较为优惠.3.(2019洛阳三模)近几年,全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量也在逐年增加,某商场从厂家购进了 A,B 两种型号的空气净
13、化器,两种净化器的销售相关信息见下表:A 型销售数量(台)B 型销售数量(台)总利润(元)5395034900(1)每台 A 型空气净化器和 B 型空气净化器的销售利润分别是多少?(2)该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共 80 台,其中 B 型空气净化器的进货量不多于 A 型空气净化器的 2 倍,为使该公司销售完这 80 台空气净化器后的总利润最大,请你设计相应的进货方案;(3)已知 A 型空气净化器的净化能力为 200 m3/小时,B 型空气净化器的净化能力为 300 m3/小时,某长方体室内活动场地的总面积为 200 m2,室内墙高 3 m,该场地负责人计划购买 5 台空气净化器每天
14、花费 30 分钟将室内空气净化一新,若不考虑空气对流等因素,至多要购买 A 型空气净化器多少台?【答案】见解析.【解析】解:(1)设每台 A 型空气净化器和 B 型空气净化器的销售利润分别是x元,y元,由题意得:,解得:x=100,y=150,每台 A 型空气净化器和 B 型空气净化器的销售利润分别是100元,150元.(2)设购买A型m台,则购进B型(80x)台,利此时润为w元,由题意知:80m2m,0m80,m为整数可得:m80,m为整数,W=100m+150(80m)=50m+12000,5035时,购买B品牌的计算器更合算6.(2018信阳一模)某班为参加学校的大课间活动比赛,准备购进
15、一批跳绳,已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元,1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元(1)求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元?(2)学校准备购进这两种型号的跳绳共50根,并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍,请设计书最省钱的购买方案,并说明理由【答案】见解析【解析】解:(1)设一根A型跳绳售价是x元,一根B型跳绳的售价是y元,根据题意,得:2x+y=56,x+2y=82,解得:x=10,y=36,即一根A型跳绳售价是10元,一根B型跳绳的售价是36元;(2)由m3(50m),得:m37.5,0m37,且m为整数,设购进A型跳绳m根,总费用为W元,根据题意,得:W=10m+3
16、6(50m)=26m+1800,260,W随m的增大而减小,当m=37时,W最小=838,即当购买A型跳绳37根,B型跳绳13根时,最省钱7.(2019南阳毕业测试)为响应市政府“创建国家森林城市”的号召,某小区计划购进A、B两种树苗共17棵,已知A种树苗每棵80元,B种树苗每棵60元(1)若购进A、B两种树苗刚好用去1220元,问购进A、B两种树苗各多少棵?(2)若购进A种树苗a棵,所需费用为W,求W与x的函数关系式;(3)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,请你给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用【答案】见解析.【解析】解:(1)设购进A种树苗x棵,则购进B种树苗(17x)棵,
17、由题意得:80x+60(17x )1220,解得:x10,即购进A种树苗10棵,B种树苗7棵;(2)W与a的函数关系式:W80a+60(17a)20a+1020;(3)由题意得:17a8.5,8.5a17,且a为整数,由(2)知,W20a+1020,W随a的增大而增大,a=9时,即购买9棵A种树苗,8棵B种树苗时,费用最少,W809+6081200,即购买9棵A种树苗,8棵B种树苗时,费用最少,需要1200元8.(2019开封二模)孝感市在创建国家级园林城市中,绿化档次不断提升某校计划购进A,B两种树木共100棵进行校园绿化升级,经市场调查:购买A种树木2棵,B种树木5棵,共需600元;购买A
18、种树木3棵,B种树木1棵,共需380元(1)求A种,B种树木每棵各多少元?(2)因布局需要,购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍学校与中标公司签订的合同中规定:在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素),实际付款总金额按市场价九折优惠,请设计一种购买树木的方案,使实际所花费用最省,并求出最省的费用【答案】见解析【解析】解:(1)设A种树每棵x元,B种树每棵y元,依题意得:,解得:,答:A种树每棵100元,B种树每棵80元;(2)设购买A种树木为a棵,则购买B种树木为(100a)棵,有a3(100a),解得:a75设实际花费金额是y元,则:y0.9100a+80(100a)18a+72001
19、80,y随a的增大而增大,当a75时,y取最小值,即当a75时,y最小值1875+72008550(元)答:当购买A种树木75棵,B种树木25棵时,所需费用最少,最少为8550元9.(2019安阳一模)某校计划购进甲、乙两种规格的书架,经市场调查发现有线上和线下两种购买方式,具体情况如下表:规格线下线上单价(元/个)运费(元/个)单价(元/个)运费(元/个)甲240021020乙300025030(1)如果在线下购买甲、乙两种书架共30个,花费8 280元,求甲、乙两种书架各购买了多少个?(2)如果在线上购买甲、乙两种书架共30个,且购买乙种书架的数量不少于甲种书架的3倍,请求出花费最少的购买
20、方案及花费【答案】见解析.【解析】解:(1)设线下购买甲种书架x个,乙种书架y个,由题意得:,解得:,即线下购买甲种书架12个,乙种书架18个.(2)设购买甲种书架a个,则购买乙种书架(30a)个,总花费为w元,30a3a,即a7.5(其中a为正整数),W=(210+20)a+(250+30)(30a)=-50a+8400,-500,w随a的增大而减小,当a=7时,w最小,最小值为8050元,即当购买7个甲种书架,23个乙种书架时,总费用最低,最低为8050元.10.(2019省实验一模)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元,经市场调查,每天的销售量y
21、(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:售价x(元/千克)506070销售量y(千克)1008060(1)求y与x之间的函数表达式;(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润收入成本);(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?【答案】见解析【解析】解:(1)设y与x之间的函数解析式为ykx+b,由题意得:,解得:,y与x之间的函数表达式是:y2x+200;(2)由题意得,W(x40)(2x+200)2(x70)2+1800,(3)W2(x70)2+1800,40x80,20,当40x
22、70时,W随x的增大而增大,当70x80时,W随x的增大而减小,且当x70时,W取得最大值,此时W1800.11.(2019叶县一模)小王是“新星厂”的一名工人,请你阅读下列信息:信息一:工人工作时间:每天上午8:0012:00,下午14:0018:00,每月工作25天;信息二:小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表:生产甲产品数(件)生产乙产品数(件)所用时间(分钟)10103503020850信息三:按件计酬,每生产一件甲种产品得1.50元,每生产一件乙种产品得2.80元信息四:该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成,小王每月的底薪为1900元,请根据以上信息,解答下列问题
23、:(1)小王每生产一件甲种产品,每生产一件乙种产品分别需要多少分钟;(2)2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件,则小王该月收入最多是多少元?此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件?【答案】见解析【解析】解:(1)设生产一件甲种产品需x分钟,生产一件乙种产品需y分钟由题意得:,解得:x=15,y=20,即生产一件甲产品需要15分钟,生产一件乙产品需要20分钟(2)设生产甲种产品共用x分钟,则生产乙种产品用(25860x)=(12000x)分钟,收入为w元,则生产甲种产品件,生产乙种产品件w1.5+2.80.04x+1680,60,即:x900,w0.04x+1680中,0.
24、041500,在试销阶段的第20天时利润最大,最大利润为1800元21.(2019中原名校大联考)某工艺品店购进A,B两种工艺品,已知这两种工艺品的单价之和为200元,购进2个A种工艺品和3个B种工艺品需花费520元(1)求A,B两种工艺品的单价;(2)该店主欲用9600元用于进货,且最多购进A种工艺品36个,B种工艺品的数量不超过A种工艺品的2倍,则共有几种进货方案?(3)已知售出一个A种工艺品可获利10元,售出一个B种工艺品可获利18元,该店主决定每售出一个B种工艺品,为希望工程捐款m元,在(2)的条件下,若A,B两种工艺品全部售出后所有方案获利均相同,则m的值是多少?此时店主可获利多少元?【答案】见解析【解析】解:解:(1)设A种工艺品的单价为x元,B种工艺品的单价为y元,由题意,得:,解得:答:A种工艺品的单价为80元,B种工艺品的单价为120元(2)设购进A种工艺品a个,则购进B种工艺品个,由题意,得:,a36,解得:30a36a为正整数,3630+1=7,共有7种进货方案(3)设总利润为w元,由题意,得:w10a+(18m)(m2)a+144080m,由题意得:m20,m3,w144080m1200答:m的值是3,此时店主可获利1200元