1、专题11 实际问题中的方程（组）与函数题型【例1】（2019郑州外国语测试）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%，在试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售，设每天销售量为y本，销售单价为x元.（1）请直接写出y与x直接的函数关系式及x的取值范围；（2）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时，商店每天的利润w最大？最大利润是多少元？【答案】见解析.【解析】解：（1）y=3001
2、0(x44)，整理得：y=10x+740，（44x52）；（2）由题意得：（x40）（10x+740）=2400，解得：x=50，x=64（舍），即当每本足球纪念册的销售单价是50元时，商店每天获利2400元.（3）由题意得：w=（x40）（10x+740）=10（x57）2+2890100，对称轴为x=57，当x57时，w随x增大而增大，44x52，当x=52时，w取最大值，最大为2640元，即当每本足球纪念册的销售单价是52元时，商店每天的利润最大，最大利润是2640元.【例2】（2018河师大附中模拟）某养殖专业户计划购买甲、乙两种牲畜，已知乙种牲畜的单价是甲种牲畜单价的2倍多200元，
3、买3头甲种牲畜和1头乙种牲畜共需5700元.（1）甲、乙两种牲畜的单价各是多少元？（2）相关资料表明：甲、乙两种牲畜的成活率分别为95%和99%，若购买以上两种牲畜共50头，并使这50头的成活率不低于97%，且要使购买的总费用最低，应如何购买？【答案】见解析.【解析】解：（1）设甲种牲畜的单价为x元，由题意得：3x+2x+3000=7500，解得：x=1100，21100+200=2400，即甲种牲畜的单价为1100元，乙种牲畜的单价为2400元.（2）设购买甲种牲畜m头时，总购买费用为w元，则w=1100m+2400（50m）=1300m+120000，由题意知：95%m+99%（50m）9
4、7%50，解得：m25，即0m25，13000，w随m的增大而减小，当m=25时，w取最小值，即费用最低，购买两种牛各25头时，费用最低.【变式2-1】（2019三门峡二模）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系求y与x之间的函数关系式；请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润销售收入进货金额）【答
5、案】见解析【解析】解：（1）设现在实际购进这种水果价格为每千克a元，则原来价格为每千克（a+2）元，由题意，得：80（a+2）88a，解得：a20即现在实际购进这种水果每千克20元；（2）设y与x之间的函数关系式为：ykx+b，将（25，165），（35，55）代入ykx+b得，解得：，即y与x之间的函数关系式为：y11x+440；设这种水果的销售价格为x元/千克时，利润为w元，则w（x20）y（x20）（11x+440）11（x30）2+1100，110，当x30时，w有最大值，最大值为1100即这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元【例3】（2018洛阳三模）
6、在江苏卫视最强大脑节目中，搭载百度大脑的机器人小度以3:1的总成绩，斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元（1）求该商家第一次购进机器人多少个？（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？【答案】见解析.【解析】解：（1）设该商家第一次购进机器人x个，由题意得：，解得：x=100经检验，x=100是所列方程的解，且符合题意答：该商家第一
7、次购进机器人100个（2）设每个机器人的标价是a元由题意得：a110002400020%，解得：a140答：每个机器人的标价至少是140元【变式3-1】（2019周口二模）由于技术更新，智能电视的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某电器商行经营的A款40英寸智能电视去年销售总额为5万元，今年每台销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%（1）今年A款40英寸智能电视每台售价多少元？（用列方程的方法解答）（2）该电器商行计划新进一批A款40英寸智能电视和新款B款40英寸智能电视共60台，且B款40英寸智能电视的进货数量不超过A款40英寸智能电视数量的两倍，应如何进货才能
8、使这批智能电视获利最多？A，B两款40英寸智能电视的进货和销售价格如下表：A款40英寸智能电视B款40英寸智能电视进货价格（元）1 1001 400销售价格（元）今年的销售价格2 000【答案】见解析.【解析】解：设今年A款40英寸智能电视每台售价为x元，则去年每台售价为（x+400）元，由题意得：，解得：x=1600，经检验，x=1600是原方程的解，符合题意，今年A款40英寸智能电视每台售价为1600元.（2）设购进A款电视a台，则购进B款（60a）台，此时获利y元，y=（1600-1100）a+（2000-1400）（60-a）=-100a+36000，其中：60-a2a，0a60，即2
9、0a60，且a为整数；-1000，w随m的增大而增大，当m=50时，运费最少，最少为450元，当购买A种产品50个，B种产品50个时，总运费最少，最少为450元 .1.（2019济源一模）为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户， 经市场调查得知，种植草莓不超过 20 亩时，所得利润 y（元）与种植面积 m（亩）满足关系式 y=1 500 m；超过20亩时，y=1380m+2400而当种植樱桃的面积不超过 15 亩时，每亩可获得利润 1800 元；超过 15 亩时，每亩获得利润 z（元）与种植面积 x（亩）之间的函数关系式为 z=20x+2 100（1）设小王家种植 x 亩樱桃
10、所获得的利润为 P 元，直接写出 P 关于 x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果小王家计划承包40 亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积（x亩）满足0x20时，求小王家总共获得的利润w（元）的最大值【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得：（2）种植樱桃面积x亩，则种植草莓面积（40x）亩，由题意知，当00，w随x的增大而增大，当x=15时，w最大，最大值为63900，当15x20时，w=20x2+2100x+1380(40x)+2400=20（x18）2+64080，2063900，当x=18时，小王家总共获得的利润w取最大值，最大值为64080元.2.（2019洛阳二模）
11、某游乐园的门票销售分两类：一类个人门票，分为成人票，儿童票；一类为团体门票（一次购买门票 10 张及以上），每张门票在成人票价格基础上打 6 折已知一个成人带两个儿童购门票需 80 元；两个成人带一个儿童购门票需 100 元（1）每张成人票和儿童票的价格分别是多少元？（2）光明小学 4 名老师带领 x 名儿童到该游乐园，设购买门票需 y 元若每人分别购票，求 y 与 x 之间的函数关系式；若购买团体票，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；请根据儿童人数变化设计一种比较省钱的购票方案【答案】见解析.【解析】解：设成人票每张a元，儿童票每张b元，由题意得：a+2b=80
12、，2a+b=100，解得：a=40，b=20，即成人票每张40元，儿童票每张20元；（2）y=440+20x=160+20xy=400.6（x+4）=24x+96，由x+410，得x6，且x为整数.（i）当160+20x24x+96,即x16，当6x16且x为整数时，应全部购买团体票较为优惠；（ii）当160+20x=24x+96,即x=16，当x=16时，购买团体票或分别购买均可以；（iii）当160+20x16，当x16且x为整数时，应分别购买较为优惠.3.（2019洛阳三模）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加，某商场从厂家购进了 A，B 两种型号的空气净
13、化器，两种净化器的销售相关信息见下表：A 型销售数量（台）B 型销售数量（台）总利润（元）5395034900（1）每台 A 型空气净化器和 B 型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共 80 台，其中 B 型空气净化器的进货量不多于 A 型空气净化器的 2 倍，为使该公司销售完这 80 台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；（3）已知 A 型空气净化器的净化能力为 200 m3/小时，B 型空气净化器的净化能力为 300 m3/小时，某长方体室内活动场地的总面积为 200 m2，室内墙高 3 m，该场地负责人计划购买 5 台空气净化器每天
14、花费 30 分钟将室内空气净化一新，若不考虑空气对流等因素，至多要购买 A 型空气净化器多少台？【答案】见解析.【解析】解：(1)设每台 A 型空气净化器和 B 型空气净化器的销售利润分别是x元，y元，由题意得：，解得：x=100，y=150，每台 A 型空气净化器和 B 型空气净化器的销售利润分别是100元，150元.（2）设购买A型m台，则购进B型（80x）台，利此时润为w元，由题意知：80m2m，0m80，m为整数可得：m80，m为整数，W=100m+150（80m）=50m+12000，5035时，购买B品牌的计算器更合算6.（2018信阳一模）某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进
15、一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元（1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共50根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计书最省钱的购买方案，并说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，根据题意，得：2x+y=56，x+2y=82，解得：x=10，y=36，即一根A型跳绳售价是10元，一根B型跳绳的售价是36元；（2）由m3（50m），得：m37.5，0m37，且m为整数，设购进A型跳绳m根，总费用为W元，根据题意，得：W=10m+3
16、6（50m）=26m+1800，260，W随m的增大而减小，当m=37时，W最小=838，即当购买A型跳绳37根，B型跳绳13根时，最省钱7.（2019南阳毕业测试）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？（2）若购进A种树苗a棵，所需费用为W，求W与x的函数关系式；（3）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用【答案】见解析.【解析】解：（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17x）棵，
17、由题意得：80x+60（17x ）1220，解得：x10，即购进A种树苗10棵，B种树苗7棵；（2）W与a的函数关系式：W80a+60（17a）20a+1020；（3）由题意得：17a8.5，8.5a17，且a为整数，由（2）知，W20a+1020，W随a的增大而增大，a=9时，即购买9棵A种树苗，8棵B种树苗时，费用最少，W809+6081200，即购买9棵A种树苗，8棵B种树苗时，费用最少，需要1200元8.（2019开封二模）孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A
18、种树木3棵，B种树木1棵，共需380元（1）求A种，B种树木每棵各多少元？（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用【答案】见解析【解析】解：（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，依题意得：，解得：，答：A种树每棵100元，B种树每棵80元；（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100a）棵，有a3（100a），解得：a75设实际花费金额是y元，则：y0.9100a+80（100a）18a+72001
19、80，y随a的增大而增大，当a75时，y取最小值，即当a75时，y最小值1875+72008550（元）答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元9.（2019安阳一模）某校计划购进甲、乙两种规格的书架，经市场调查发现有线上和线下两种购买方式，具体情况如下表：规格线下线上单价（元/个）运费（元/个）单价（元/个）运费（元/个）甲240021020乙300025030（1）如果在线下购买甲、乙两种书架共30个，花费8 280元，求甲、乙两种书架各购买了多少个？（2）如果在线上购买甲、乙两种书架共30个，且购买乙种书架的数量不少于甲种书架的3倍，请求出花费最少的购买
20、方案及花费【答案】见解析.【解析】解：（1）设线下购买甲种书架x个，乙种书架y个，由题意得：，解得：，即线下购买甲种书架12个，乙种书架18个.（2）设购买甲种书架a个，则购买乙种书架（30a）个，总花费为w元，30a3a，即a7.5（其中a为正整数），W=（210+20）a+（250+30）（30a）=-50a+8400，-500，w随a的增大而减小，当a=7时，w最小，最小值为8050元，即当购买7个甲种书架，23个乙种书架时，总费用最低，最低为8050元.10.（2019省实验一模）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y
21、（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/千克）506070销售量y（千克）1008060（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润收入成本）；（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】见解析【解析】解：（1）设y与x之间的函数解析式为ykx+b，由题意得：，解得：，y与x之间的函数表达式是：y2x+200；（2）由题意得，W（x40）（2x+200）2（x70）2+1800，（3）W2（x70）2+1800，40x80，20，当40x
22、70时，W随x的增大而增大，当70x80时，W随x的增大而减小，且当x70时，W取得最大值，此时W1800.11.（2019叶县一模）小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：信息一：工人工作时间：每天上午8：0012：00，下午14：0018：00，每月工作25天；信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：生产甲产品数（件）生产乙产品数（件）所用时间（分钟）10103503020850信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题
23、：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？【答案】见解析【解析】解：（1）设生产一件甲种产品需x分钟，生产一件乙种产品需y分钟由题意得：，解得：x=15，y=20，即生产一件甲产品需要15分钟，生产一件乙产品需要20分钟（2）设生产甲种产品共用x分钟，则生产乙种产品用（25860x）=（12000x）分钟，收入为w元，则生产甲种产品件，生产乙种产品件w1.5+2.80.04x+1680，60，即：x900，w0.04x+1680中，0.
24、041500，在试销阶段的第20天时利润最大，最大利润为1800元21.（2019中原名校大联考）某工艺品店购进A，B两种工艺品，已知这两种工艺品的单价之和为200元，购进2个A种工艺品和3个B种工艺品需花费520元（1）求A，B两种工艺品的单价；（2）该店主欲用9600元用于进货，且最多购进A种工艺品36个，B种工艺品的数量不超过A种工艺品的2倍，则共有几种进货方案？（3）已知售出一个A种工艺品可获利10元，售出一个B种工艺品可获利18元，该店主决定每售出一个B种工艺品，为希望工程捐款m元，在（2）的条件下，若A，B两种工艺品全部售出后所有方案获利均相同，则m的值是多少？此时店主可获利多少元？【答案】见解析【解析】解：解：（1）设A种工艺品的单价为x元，B种工艺品的单价为y元，由题意，得：，解得：答：A种工艺品的单价为80元，B种工艺品的单价为120元（2）设购进A种工艺品a个，则购进B种工艺品个，由题意，得：，a36，解得：30a36a为正整数，3630+1=7，共有7种进货方案（3）设总利润为w元，由题意，得：w10a+（18m）（m2）a+144080m，由题意得：m20，m3，w144080m1200答：m的值是3，此时店主可获利1200元