1、第三节函数的奇偶性、周期性学习要求:1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义.1.函数的奇偶性定义图象特点偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果xI,都有-xI,且f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果xI,都有-xI,且f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数关于 原点对称提醒函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x)成立,那么
2、就称函数y=f(x)为周期函数,T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.知识拓展1.函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.2.函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任意一自变量x,(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a0);(2)若f(x+a)=1f(x),则T=2a(a0);(3)若f(x
3、+a)=-1f(x),则T=2a(a0).1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0.()(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.()(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.()(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2-x答案B3.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1,x2(
4、-,0(x1x2),都有 f(x2)-f(x1)x2-x10,则()A.f(3)f(-2)f(1)B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-2)f(1)f(3)D.f(3)f(1)f(-2)答案B4.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是()A.-13B.13C.12D.-12答案B5.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x-1,1)时,f(x)=-4x2+2,-1x0,x,0x1,则f32=.答案1函数的奇偶性角度一函数奇偶性的判断典例1判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=3-x2+x2-3;(2)f(x)=lg(1-x2)|x-2|-2;(3)f(
5、x)=x2+x,x0.解析(1)由3-x20,x2-30,得x2=3,解得x=3,即函数f(x)的定义域为-3,3,关于原点对称,f(x)=3-x2+x2-3=0.f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由1-x20,|x-2|2得函数的定义域为(-1,0)(0,1),关于原点对称.x-20,|x-2|-2=-x,f(x)=lg(1-x2)-x.f(-x)=lg1-(-x)2x=lg(1-x2)x=-f(x),函数f(x)为奇函数.(3) 显然函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称.当x0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-
6、x=-f(x);当x0时,-x0的解集是()A.(0,1)B.(-1,0)(0,1)C.(-,-1)(0,1)D.(-1,0)(1,+)答案A当x0,f(x)=-f(-x)=-x-(-x)2=x+x2,则f(x)=x-x2,x0,x+x2,x0x+10,x-x20,x0或x+10,x+x20,x0或-1x0,解得0xf(x-2)的解集为()A.(-1,1)B.(-,-1)(1,+)C.(1,+)D.(0,1)(2)(2020安徽马鞍山三模)已知函数f(x+2)是定义域为R的偶函数,若f(x)在(2,+)上单调递减,则不等式f(lnx)-f(1)f(x-2),得f(|2x-1|)f(|x-2|)
7、,函数y=f(x)在0,+)上单调递增,|2x-1|x-2|,即(2x-1)2(x-2)2,化简得x2-10,解得x1,故不等式f(2x-1)f(x-2)的解集为(-,-1)(1,+).故选B.(2)因为f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位长度得到的,且f(x+2)的图象关于y轴对称,所以f(x)的图象关于直线x=2对称.由f(x)在(2,+)上单调递减可得f(x)在(-,2)上单调递增,由f(lnx)-f(1)0得f(lnx)|2-1|=1,所以lnx3,解得0xe3.故选C.角度二奇偶性、周期性的综合应用典例6(多选题)(2020山东威海高三模拟)函数f(x)的定义域为R,
8、若f(x+1)与f(x-1)都是偶函数,则()A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x+3)是偶函数D.f(x)=f(x+4)答案CD因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),从而f(-x)=f(x+2).因为f(x-1)是偶函数,所以f(-x-1)=f(x-1),从而f(-x)=f(x-2).所以f(x+2)=f(x-2),f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.因为f(-x-1)=f(x-1),所以f(-x-1+4)=f(x-1+4),即f(-x+3)=f(x+3),所以f(x+3)是偶函数.名师点评函数性质综合应用的注意点(1)函数单调性与
9、奇偶性综合:注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性综合:此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性综合:解决此类问题通常先利用周期性转化到自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.1.(2020重庆模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f34+x=f34-x,且当x0,34时,f(x)=log2(x+1)+m,若f(100)=log23,则实数m的值为()A.2B.1C.0D.-1答案B由f(x)为奇函数知f34-x=-fx-34,fx+34=-fx-34,
10、即fx+32=-f(x),f(x+3)=-fx+32=f(x),f(x)是周期为3的函数,故f(100)=f(1)=f12=log232+m=log23,m=1.2.已知函数f(x)=21-x,x1,2x-1,x1,若f(2x-2)f(x2-x+2),则实数x的取值范围是()A.-2,-1B.1,+)C.RD.(-,-21,+)答案D函数f(x)=21-x,x1,2x-1,x1恒成立,|2x-2-1|x2-x+2-1,即|2x-3|x2-x+1,当x32时,不等式化为2x-3x2-x+1,即x2-3x+40,不等式恒成立,所以x32;当x32时,不等式化为3-2xx2-x+1,即x2+x-20
11、,解得x-2或x1,即x-2或1x2的解集为()A.(2k+1,2k+3),kZB.(2k-1,2k+1),kZC.(4k+1,4k+3),kZD.(4k-1,4k+1),kZ答案C因为f(x+4)=f(4-x-4)=f(-x)=f(x),所以f(x)的周期为4,当x0,2时,f(x)2的解集为(1,2,易知f(x)的图象关于直线x=2对称,所以当x0,4时,f(x)2的解集为(1,3),所以当xR时,f(x)2的解集为(4k+1,4k+3),kZ.7.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0x0时,f(x)=x3-2x.(1)求f(0)的值;(2)求f(x)的解析式;(3)若对任意
12、的tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,求实数k的取值范围.解析(1)因为定义域为R的函数f(x)是奇函数,所以f(0)=0.(2)因为当x0,所以f(-x)=-x3-2-x.又因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=x3+2-x.综上,f(x)=x3-2x,x0,0,x=0,x3+2-x,x0.(3)由f(t2-2t)+f(2t2-k)0得f(t2-2t)-f(2t2-k).因为f(x)是奇函数,所以f(t2-2t)k-2t2,即3t2-2t-k0对任意tR恒成立.令3t2-2t-k=0,则=4+12k0,解得k0,|2x-1|0xxx12,xR
13、,函数f(x)的定义域关于原点对称,f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),f(x)是奇函数,排除A、C;当x-12,12时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),则f(x)=22x+1-21-2x=41-4x20,f(x)在-12,12单调递增,排除B;当x-,-12时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x),则f(x)=-2-2x-1-21-2x=41-4x20D.g(-x+1)+g(x+1)0答案AC因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,因为g(x)=f(x-1),所以g(1)=f(0)=0,故A中
14、结论正确;因为f(x)为定义在R上的减函数,且f(2)=-1,f(2)f(1)f(0),即-1f(1)0,所以-1g(2)f(x+1),所以f(x-1)-f(x+1)0,即g(-x)+g(x)0,故C中结论正确;因为g(x)=f(x-1),所以g(-x+1)=f(-x)=-f(x),g(x+1)=f(x),所以g(-x+1)+g(x+1)=-f(x)+f(x)=0,故D中结论错误.12.(多选题)(2020山东淄博高三一模)已知函数y=f(x)是R上的奇函数,对于任意xR,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,当x0,2)时,f(x)=2x-1,给出下列结论,其中正确的是()A.f(2)=
15、0B.点(4,0)是函数y=f(x)的图象的一个对称中心C.函数y=f(x)在-6,-2上单调递增D.函数y=f(x)在-6,6上有3个零点答案AB在f(x+4)=f(x)+f(2)中,令x=-2,得f(-2)=0,又函数y=f(x)是R上的奇函数,所以f(2)=-f(-2)=0,所以f(x+4)=f(x),故y=f(x)是一个周期为4的奇函数,因为(0,0)是f(x)的图象的对称中心,所以(4,0)也是函数y=f(x)的图象的一个对称中心,故A、B正确;作出函数y=f(x)的部分图象如图所示,易知函数y=f(x)在-6,-2上不具有单调性,故C不正确;因为f(2)=-f(-2)=0,且f(x
16、)的周期为4,所以f(-6)=f(-2)=f(2)=f(6)=0,f(4)=f(0)=f(-4)=0,即函数y=f(x)在-6,6上有7个零点,故D不正确.故选AB.13.已知函数y=f(x)满足f32-x=f(x),当x34时,f(x)=sinx,则函数f(x)-12在区间0,32内的解集为.答案3,76解析由f32-x=f(x),可得f(x)的图象关于直线x=34对称,当x34时,由sinx-12,得34x76,根据对称性,当0x-12,得3x34,故解集为3,76.C组思维拓展14.(多选题)(2020山东淄博高三二模)华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法,如:(c1c2)=(
17、a1a2)b11b12b21b22,其中c1=a1b11+a2b21,c2=a1b12+a2b22.已知定义在R上不恒为0的函数f(x),对任意a,bR,都有(y1y2)=(f(a)f(b)-1b+1a-11,且满足f(ab)=y1+y2,则()A.f(0)=0B.f(-1)=1C.f(x)是偶函数D.f(x)是奇函数答案AD(y1y2)=(f(a)f(b)-1b+1a-11,y1=-f(a)+f(b)(a-1),y2=f(a)(b+1)+f(b),又f(ab)=y1+y2,f(ab)=-f(a)+f(b)(a-1)+f(a)(b+1)+f(b)=bf(a)+af(b),令a=b=0,则f(0
18、)=0,令a=b=1,则f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0,令a=b=-1,则f(1)=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,令a=x,b=-1,则f(-x)=-f(x)+xf(-1),f(x)+f(-x)=0,f(x)为奇函数,故选AD.15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(-3-x)=f(3-x),当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1x0时,f(x)=2x+1,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2020)=.答案-338解析函数f(x)满足f(-3-x)=f(3-x),即f(-3-x)=f6+(-3-x),则函数f(x)是周期为6的函数,当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2,则f(-3)=-1,f(-2)=0,f(-1)=-1,当-1x0时,f(x)=2x+1,则f(0)=2,因为函数f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1)=-1,f(2)=f(-2)=0,f(3)=f(-3)=-1,又函数f(x)是周期为6的周期函数,则f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2020)=336f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=336-1+0+(-1)+0+(-1)+2+(-1)+0+(-1)+0=-338.
