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2020-2021学年人教A版数学选修4-5学案:第二讲 二 综合法与分析法 WORD版含解析.doc

1、二综合法与分析法考纲定位重难突破1.理解综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点2.掌握综合法、分析法证明简单不等式的方法和步骤3.能综合运用综合法、分析法证明不等式.重点:对用综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点的理解难点:1.对用综合法、分析法证明简单不等式的方法和步骤的掌握2.能综合运用综合法、分析法证明不等式.授课提示:对应学生用书第18页自主梳理一、综合法一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫作综合法,又叫顺推证法或由因导果法二、分析法证明命题时,我们还常常从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条

2、件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫作分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法双基自测1若ab0,则下列不等式中成立的是()A.bCba D解析:ab,故选项A,B错误,而选项C正确选项D中,取b1,则0,而0,故选项D错误答案:C2当x1时,不等式xa恒成立,则实数a的取值范围是()A(,2 B2,)C3,) D(,3解析:要使xa恒成立,只需f(x)x的最小值大于等于a即可,而xx11213.f(x)的最小值为3,a3.答案:D3下面对命题“函数f(x)x是奇函数”的证明不是综合法的是()AxR且x0有f(x)(x)f

3、(x),则f(x)是奇函数BxR且x0有f(x)f(x)x(x)0,f(x)f(x),则f(x)是奇函数CxR且x0,f(x)0,1,f(x)f(x),则f(x)是奇函数D取x1,f(1)12,又f(1)12.f(1)f(1),则f(x)是奇函数解析:D选项中采用特殊值验证,而不是综合法,选D.答案:D4若a0,b0,则下列两式的大小关系为lg_lg(1a)lg(1b)解析:lg(1a)lg(1b)lg(1a)(1b)lg(1a)(1b)又lglg,且a0,b0.a10,b10,(a1)(1b) ,lglg(1a)(1b) .即lglg(1a)lg(1b)答案:授课提示:对应学生用书第19页探

4、究一用综合法证明不等式例1已知a,bR,且ab1,求证:22.证明法一:左边22a2b244a2b24a2b2114(a2b2)22422224242.22.法二:a,bR且ab1,ab()2,12ab,16.224(a2b2)4(ab)22ab4(12ab)4.22.1综合法证明不等式,揭示出条件和结论之间的因果关系,为此要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键2综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式,其中常用的有如下几个:(1)a20(aR)(2)(ab)20(a,bR),其变形有:a2b22ab,2ab.a2

5、b2(ab)2.(3)若a,b为正实数,.特别2.(4)a2b2c2abbcca. 1已知a,b,c是不全相等的正数,求证:3.证明:左边3.a0,b0,c0,2,2,2,a,b,c为不全相等正数,上述三式中的等号不能同时成立左边633,即原不等式获证探究二分析法证明不等式例2已知ab0,求证:.证明要证原不等式成立,只需证ab2,即证2()22.只需证,即1 ,即1 .只需证1b0,1ab.求证:cac.证明:要证:cac,只需证ac,即证:|ac|,两边平方得a22acc2c2ab,也即证a2ab2ac,即a(ab)2ac.a,bR,且ab2c,a(ab)0,b0,且ab1,求证:.证明要

6、证:只需证()26,即证(ab)226.由ab1得只需证,即证:ab.由a0,ab1,得ab2,即ab成立原不等式成立综合法与分析法在证明不等式时的综合应用(1)通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式,从而使原不等式易于证明(2)有些不等式的证明,需要一边分析一边综合,称之为分析综合法,或称“两头挤”法,如本例,这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提,互相渗透,相互转化的辩证统一关系3在某两个正数x,y之间,若插入一个数a,使x,a,y成等差数列;若插入两个数b,c,使x,b,c,y成等比数列,求证:(a1)2(b1)(c1)证明:由条件,得消去x,y,即得2a,

7、且有a0,b0,c0.要证(a1)2(b1)(c1)只需证a1只需证2abc,而2a,只需证bc,即b3c3bc(bc),b2c2bcbc,(bc)20,上式显然成立,(a1)2(b1)(c1)得证灵活运用分析、综合法证明不等式典例(本题满分12分)已知a,b,cR,且abbcca1.求证:(1)abc;(2) ()证明(1)要证abc,由于a,b,cR,因此只需证(abc)23,即证a2b2c22(abbcca)3,根据条件,只需证a2b2c21abbcca.3分而这是可以由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时取等号)证得的所以原不等式成立6分(2)因为 ,在(1)中已证abc,所以原

8、不等式只需证,也就是只要证abcabbcca.9分而a,b,c,所以abcabbcca(当且仅当abc时取等号)成立所以原不等式成立12分规律探究(1)用分析法将待证不等式转化为证明a2b2c2abbcca.(2)用综合法证明转化得到的不等式(3)用分析法及(1)的结论将待证不等式转化为证明不等式abcabbcac.(4)结合基本不等式用综合法证明得到的不等式.随堂训练对应学生用书第21页1要证a2b21a2b20,只要证()A2a1a2b20Ba2b210C.1a2b20D(a21)(b21)0解析:(a21)(b21)a2b21a2b20,a2b21a2b20.答案:D2已知a,b,c满足cba且acacBc(ba)0Cb20解析:又bc,abac,故A正确ba0,c0,故B错误由b20,可验证C不正确,而ac0,ac(ac)cb0,则的值的符号为_解析:(ac)()(cb)()acb0,ac0,cb0,ba0,0.答案:负号

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