1、序 曲三角函数知多少 正弦函数作代表 三角函数讲周期 周期当中挑最小 三角函数的周期性 三角函数的周期性一、正弦函数的周期二、复合函数的周期性三、周期函数的和函数四、周期函数在高考中五、高考史上的周期大难题六、高考史上的周期大错题三角函数的周期性 一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数 y=sin x 为代表，是典型的周期函数.幂函数 y=x 无周期性，指数函数 y=ax 无周期性，对数函数y=logax无周期，一次函数 y=kx+b、二次函数 y=ax2+bx+c、三次函数 y=ax3+bx2+cx+d 也无周期性.周期性是三角函数独有的特性.三角函数的周期性 1.正弦函数 y=sinx 的
2、最小正周期在单位圆中，设任意角的正弦线为有向线段MP.正弦函数的周期性 动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置和变化方向重现一次.同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数 y=sinx的最小正周期 2.2.y=sin(x)的最小正周期设0，y=sin(x)的最小正周期设为L.正弦函数的周期性 按定义 y=sin(x+L)=sin(x+L)=sin x.令x=x则有 sin(x+L)=sin x因为sinx最小正周期是2，所以有22LL例如sin 2x的最小正周期为22sin 的最小正周期为2x42123.正弦函数 y=sin(x+)的周期性对正弦
3、函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式正弦函数的周期性 y=sin(x+)如的最小周期与 y=sin(3x)相同，都是23sinxy32它的最小正周期与 y=sin x 的最小正周期相同，都是2L于是，余弦函数的最小正周期与sinx的最小正周期相同，都是2.2sin2sincosxxxy二、复合函数的周期性将正弦函数 y=sin x 进行周期变换x x，sinx sinx三角函数的单调性 而在以下的各种变换中，如后者周期变为)0(2(1)初相变换 sin x sin(x+)；(2)振幅变换 sin(x+)Asin(x+)；(3)纵移变换 Asin(x+)Asin(x+)+m；后者周期都不
4、变，亦即 Asin(x+)+m与sin(x)的周期相同，都是2而对复合函数 f(sinx)的周期性，由具体问题确定.1.复合函数 f(sinx)的周期性复合函数的周期性【例题】研究以下函数的周期性：【解答】(1)2 sinx 的定义域为R，值域为，作图可知，它是最小正周期为2的周期函数.2,21(1)2 sinx；(2)xsin(2)的定义域为2k，2k+，值域为0，1，作图可知，它是最小正周期为2的周期函数.xsin【说明】从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，loga x，sinx，sin(sinx)都是最小正周期2的周期函数.xsin12.y=sin3 x 的周期性复
5、合函数的周期性 对于y=sin3x=(sinx)3，L=2肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y=sin3x 没有比2更小的周期，故最小正周期为2.3.y=sin2 x 的周期性复合函数的周期性 对于y=sin2x=(sinx)2，L=2肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2？可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y=sin2x 的最小正周期为，不是2.4.sin2n x 和sin2n-1 x 的周期性复合函数的周期性 y=sin2x 的最小正周期为，还可通过另外一种复合方式得到.因为 cos2x 的周期是，故 sin2x 的周
6、期也是.因此，正弦函数 sinx 的幂复合函数sin m x，当m=2n时，sin m x的最小正周期为；m=2n 1时，sin m x 的最小正周期是2.22cos1sin2xxysin2x 的周期，由cosx 的2变为sin2x的.就是因为符号法“负负得正”所致.5.幂复合函数举例复合函数的周期性【例1】求 y=|sinx|的最小正周期.【解答】最小正周期为.xxy2sin|sin|【例2】求的最小正周期.35)(sin xy【解答】最小正周期为2.3535)(sin)(sinxx【例2】求的最小正周期.52)(sin xy【解答】最小正周期为.5252)(sin)(sinxx【说明】正弦
7、函数sinx 的幂复合函数当 q 为奇数时，周期为2；q 为偶数时，周期为.pqx)(sin三、周期函数的和函数两个周期函数，如 sin x 和 cosx，它们最小正周期相同，都是2.那么它们的和函数，即 sinx+cos x的最小正周期如何？和函数的周期与原有函数的周期保持不变.这个结论符合一般情况.)4sin(2cossinxxx对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？三角函数的周期性 1.函数 sinx+sin2 x 的周期性周期函数的和函数 sin x 的最小正周期为2，sin2x的最小正周期是，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？列表如下.表上看到函数sin
8、x+sin2x的最小正周期是2.1.函数 sinx+sin2 x 的周期性周期函数的和函数 依据上表，作sinx+sin2x 的图象如右.从图上看到，函数的最小正周期为2.由sinx，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sinx+sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.2.函数 sinx+sin x 的周期性周期函数的和函数 32sin x 的最小正周期为2，sin x的最小正周期是3.它们之间的和sinx+sin x的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3吗？3232不妨按周期定义进行检验.设20 x则x0+3=32 231
9、232sin2sin2)(0 fxf因此3不是sinx+sin x的最小正周期.32通过作图、直观看到，sinx+sin x 的最小正周期为6，即sin x和 sin x最小正周期的最小倍数.3232)(372sin7sin)(0021232323xffxf四、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当.与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性.关系到正弦函数的试题，有2种形式.一、直接考，求正弦函数的最小正周期.二、间接考，考周期在正弦函数性质中的应
10、用.求单调区间，求最值，简单方程的通解等.三角函数的周期性 1.求正弦函数的周期周期函数在高考中【例1】函数 y=|sin|的最小正周期为（A）（B）（C）2 （D）422x【解答】2sin|2sin|2 xxy最小正周期是最小正周期的一半，即2.答案为（C）2sin x【说明】图象法判定最简便，|sin x|的图象是将sinx的图象在 x 轴下方部分折到x轴上方去.倍角法判定最麻烦xxycos212sin2【解答】（1）y=2cos2x+1的最小正周期由cos2x决定，故答案为.【例2】（1）y=2cos2x+1的最小正周期为（2）y=|sinx+cosx|的最小正周期为1.求正弦函数的周期
11、（2）)(sin2|)sin(|2|cossin|2xxxx)(sincos22xx，【说明】都可看作sinx的幂函数的复合函数.周期函数在高考中 故答案为.【解答】【例题】f(x)是R上的偶函数，且是最小正周期为的周期函数.2.函数周期性应用于求值【说明】周期性应用于区域转化.将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.若时 f(x)=sinx 试求的值.35f2,0 x333235ffff233sin周期函数在高考中【解答】3.函数周期性应用于求单调区间【说明】先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.)2cos1(2sin2322cos1xxxy【例题】xR，求
12、函数 y=sin2x+sinx cosx+2cos2x 的单调增区间.323)62sin(232cos212sin23xxx函数的最小正周期为.令2622x得63x因为函数周期为，故函数的单调增区间为6,3kk周期函数在高考中 4.周期性应用于求函数零点【说明】先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.【例题】已知函数412sin2cossincossin)(2244xxxxxxf得4x【解答】41)cossin1(2cossin1412sin2cossincossin)(222244xxxxxxxxxxf41)cossin1(21xxxx2sin4141412sin4121令02sin
13、4141x4|kxx故交点横坐标的值的集合为周期函数在高考中 五、高考史上的周期大难题高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上.在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目.这点为命题人事先未能预料.后来分析，该题的难点有三.一、函数抽象，导致周期中含有参数；二、求参数范围，与解不等式综合；三、求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清.20多年来数学界质疑不断.三角函数的周期性 2006年的周期大难题高考史上的周期大难题 1写出 f(x)极大值M、极小
14、值m与最小正周期;2试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f(x)至少有一个值是M与一个值是m.【考题】设三角函数，其中k0.)35sin()(kxf【解答】1.M=1，m=-1，kkT10252.f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m.而任意两个整数间的距离都 1因此要使任意两个整数间函数 f(x)至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使 f(x)的周期1即：k=32就是这样的最小正整数.4.3110,110kk六、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数.关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系
15、统和完整“最小正周期”的系统研究.然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高.2005年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.三角函数的周期性 2005年的周期大错题【考题】f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且 f(2)=0，则方程 f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2 B.3 C.4 D.5 高考史上的周期大错题【说明】这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D，即答案为5.答案D从何而来？以下，就是“D”的一种解法.【解答】f(x)周期为3，由 f(2)=0，得 f(5)=f(2)=0，得f(-1)=f(2
16、-3)=f(2)=0，得 f(-4)=f(2-6)=f(2)=0f(x)为奇函数，得 f(1)=-f(-1)=0 f(4)=-f(-4)=0，得f(-0)=-f(0)，得 f(0)=0 f(3)=f(3+0)=f(0)=0于是，求得 f(x)=0的解为：1、2、3、4、5.共5个解，答案为D.高考史上的周期大错题【讨论】除了上述解法得 f(x)=0的5个解外，还有如下的解.根据方程 f(x)=0的定义，x=1.5 和 x=4.5 也是方程的解，证明如下：由 f(x)的周期性，知 f(-1.5)=f(1.5)（1）由 f(x)的奇偶性，知 f(-1.5)=-f(1.5)（2）从而有f(1.5)=
17、0，f(4.5)=f(1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程 f(x)=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5.【思考】按上面讨论的结果，方程 f(x)=0的解至少有7个.而原题的四个选项支中均没有这个答案.命题人给定的答案D是错的.高考史上的周期大错题 这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.【实验检验】f(x)同时满足4个条件：（1）定义在R上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f(2)=0.据此，我们找到 f(x)的一个具体例子：xxxf34sin32sin)(并在区间（0，6）上找到 f(x)=0的7个解，列表如下：高考史上的周期大错题【反思】命题人的错误自然出在疏忽二字上.实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.严格地讲，试题“超纲”.对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据.而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题.命题出错似乎是必然的.函数在一个周期0，3上的图象如右.图象与 x 轴有5个交点，故在0，6有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.xxxf34sin32sin)(尾 声正弦函数记周期 其他函数有根基 复合函数作转化 抽象函数回具体 三角函数的周期性
