1、平移旋转对称三大变换1.（2020安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处折痕为AP；再将PCQ，ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处请完成下列探究：（1）PAQ的大小为30；（2）当四边形APCD是平行四边形时，ABQR的值为3【解答】解：（1）由折叠的性质可得：BAQP，DAQQAPPAB，DQAAQR，CQPPQR，DARQ，CQRP，QRA+QRP180，D+C180，ADBC，B+DAB180，DQR+CQR180，DQA+CQP90，AQP90，BAQP90，DAB90，DAQQA
2、PPAB30，故答案为：30；（2）由折叠的性质可得：ADAR，CPPR，四边形APCD是平行四边形，ADPC，ARPR，又AQP90，QR=12AP，PAB30，B90，AP2PB，AB=3PB，PBQR，ABQR=3，故答案为：32.（2020天水）如图，在边长为6的正方形ABCD内作EAF45，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG若DF3，则BE的长为2【解答】解：法一：由题意可得，ADFABG，DFBG，DAFBAG，DAB90，EAF45，DAF+EAB45，BAG+EAB45，EAFEAG，在EAG和EAF中，AG=AFEAG=EAF
3、AE=AE，EAGEAF（SAS），GEFE，设BEx，则GEBG+BE3+x，CE6x，EF3+x，CD6，DF3，CF3，C90，（6x）2+32（3+x）2，解得，x2，即BE2，法二：设BEx，连接GF，如下图所示，四边形ABCD为正方形，ABEGCF90，ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG，CAF90，GAFA，GAF为等腰直角三角形，EAF45，AE垂直平分GF，AEB+CGF90，在RtAEB中，AEB+BAE90，BAECGF，BAECGF，BECF=ABGC，CFCDDF633，GCBC+BGBC+DF6+39，x3=69，x2，即BE2，故答案为：23.（2020深圳）如
4、图，矩形纸片ABCD中，AB6，BC12将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H给出以下结论：EFBG；GEGF；GDK和GKH的面积相等；当点F与点C重合时，DEF75，其中正确的结论共有（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，EF垂直平分BG，EFBG，BOGO，BEEG，BFFG，故正确，ADBC，EGOFBO，又EOGBOF，BOFGOE（ASA），BFEG，BFEGGF，故正确，BEEGBFFG，四边形BEGF
5、是菱形，BEFGEF，当点F与点C重合时，则BFBCBE12，sinAEB=ABBE=612=12，AEB30，DEF75，故正确，由题意无法证明GDK和GKH的面积相等，故错误；故选：C4.（2020随州）如图，已知矩形ABCD中，AB3，BC4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MHBC于点H，连接BF，给出下列判断：MHNBCF；折痕MN的长度的取值范围为3MN154；当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；若DF=13DC，则折叠后重叠部分的面积为5512其中正确的是（写出所有正确判断的
6、序号）【解答】解：如图1，由折叠可知BFMN，BOM90，MHBC，BHP90BOM，BPHOPM，CBFNMH，MHNC90，MHNBCF，故正确；当F与C重合时，MN3，此时MN最小，当F与D重合时，如图2，此时MN最大，由勾股定理得：BD5，OBOD=52，tanDBC=ONOB=CDBC，即ON52=34，ON=158，ADBC，MDOOBN，在MOD和NOB中，MDO=OBNOD=OBDOM=BON，DOMBON（ASA），OMON，MN2ON=154，点F在线段CD上（不与两端点重合），折痕MN的长度的取值范围为3MN154；故正确；如图3，连接BM，FM，当四边形CDMH为正方形
7、时，MHCHCDDM3，ADBC4，AMBH1，由勾股定理得：BM=32+12=10，FM=10，DF=FM2-DM2=(10)2-32=1，CF312，设HNx，则BNFNx+1，在RtCNF中，CN2+CF2FN2，（3x）2+22（x+1）2，解得：x=32，HN=32，CH3，CNHN=32，N为HC的中点；故正确；如图4，连接FM，DF=13DC，CD3，DF1，CF2，BF=22+42=25，OF=5，设FNa，则BNa，CN4a，由勾股定理得：FN2CN2+CF2，a2（4a）2+22，a=52，BNFN=52，CN=32，NFECFN+DFQ90，CFN+CNF90，DFQCN
8、F，DC90，QDFFCN，QDFC=DFCN，即QD2=132，QD=43，FQ=12+(43)2=53，tanHMNtanCBF=HNHM=CFBC，HN3=24，HN=32，MN=32+(32)2=352，CHMDHN+CN=32+32=3，MQ3-43=53，折叠后重叠部分的面积为：SMNF+SMQF=12MNOF+12MQDF=123525+12531=5512；故正确；所以本题正确的结论有：；故答案为：5.（2020武汉）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB1，AD2设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是14t2-14t+1【解答
9、】解：连接DM，过点E作EGBC于点G，设DExEM，则EA2x，AE2+AM2EM2，（2x）2+t2x2，解得x=t24+1，DE=t24+1，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EFDM，ADM+DEF90，EGAD，DEF+FEG90，ADMFEG，tanADM=AMAD=t2=FG1，FG=t2，CGDE=t24+1，CF=t24-t2+1，S四边形CDEF=12（CF+DE）1=14t2-14t+1故答案为：14t2-14t+16.（2020咸宁）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC25，E是BC的中点，将ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则cosECF的
10、值为（）A23B104C53D255【解答】解：如图，四边形ABCD是矩形，B90，E是BC的中点，BC25，BECE=12BC=5，AE=AB2+BE2=22+(5)2=3，由翻折变换的性质得：AFEABE，AEFAEB，EFBE=5，EFCE，EFCECF，BEFEFC+ECF，AEBECF，cosECFcosAEB=BEAE=53故选：C7.（2020襄阳）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN若BFAD15，tanBNF=52，则矩形ABCD的面积为155【解答】解：将ADE沿DE折叠，使点A的对应点
11、F恰好落在边BC上，AFDE，AEEF，矩形ABCD中，ABF90，B，E，N，F四点共圆，BNFBEF，tanBEF=52，设BF=5x，BE2x，EF=BF2+BE2=3x，AE3x，AB5x，AB=5BFS矩形ABCDABAD=5BFAD=515155故答案为：1558.（2020孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G若BG3，CG2，则CE的长为（）A54B154C4D92【解答】解：如图所示，连接EG，由旋转可得，ADEABF，AEAF，DEBF，又AGEF，H为EF的中点，AG
12、垂直平分EF，EGFG，设CEx，则DE5xBF，FG8x，EG8x，C90，RtCEG中，CE2+CG2EG2，即x2+22（8x）2，解得x=154，CE的长为154，故选：B9.（2020衡阳）如图1，在平面直角坐标系中，ABCD在第一象限，且BCx轴直线yx从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示那么ABCD的面积为（）A3B32C6D62【解答】解：过B作BMAD于点M，分别过B，D作直线yx的平行线，交AD于E，如图1所示，由图象和题意可得，AE642，DE761，BE2，AB2+13，直线BE平行直线
13、yx，BMEM=2，平行四边形ABCD的面积是：ADBM32=32故选：B10.（2020江西）矩形纸片ABCD，长AD8cm，宽AB4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA，EA，不再添加其它线段当图中存在30角时，AE的长为433厘米或43厘米或8-43厘米【解答】解：当ABE30时，AEABtan30=433；当AEB30时，AE=ABtan30=433=43；ABE15时，ABA30，延长BA交AD于F，如下图所示，设AEx，则EAx，EF=xsin60=23x3，AFAE+EFABtan30=433，x+23x3=433，
14、x843，AE843故答案为：433厘米或43厘米或843厘米11.（2020滨州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N若直线BA交直线CD于点O，BC5，EN1，则OD的长为（）A123B133C143D153【解答】解：EN1，由中位线定理得AM2，由折叠的性质可得AM2，ADEF，AMBANM，AMBAMB，ANMAMB，AN2，AE3，AF2过M点作MGEF于G，NGEN1，AG1，由勾股定理得MG=22-12=3，BEOFMG=3，OF：BE2：3，解得OF=233，OD=3-2
15、33=33故选：B12.（2020德州）如图，在矩形ABCD中，AB=3+2，AD=3把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D处，再将AED绕点E顺时针旋转，得到AED，使得EA恰好经过BD的中点FAD交AB于点G，连接AA有如下结论：AF的长度是6-2；弧DD的长度是5312；AAFAEG；AAFEGF上述结论中，所有正确的序号是【解答】解：把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D处，DADE90DAD，ADAD，四边形ADED是矩形，又ADAD=3，四边形ADED是正方形，ADADDEDE=3，AE=2AD=6，EADAED45，DBABAD2，点F是BD中点，DF1，EF=DE2
16、+DF2=3+1=2，将AED绕点E顺时针旋转，AEAE=6，DED，EADEAD45，AF=6-2，故正确；tanFED=DFDE=13=33，FED3030+4575，弧DD的长度=753180=5312，故正确；AEAE，AEA75，EAAEAA52.5，AAF7.5，AAFEAG，AAEEAG，AFA120EAG，AAF与AGE不全等，故错误；DEDE，EGEG，RtEDGRtEDG（HL），DGEDGE，AGDAAG+AAG105，DGE52.5AAF，又AFAEFG，AFAEFG，故正确，故答案为：13.（2020聊城）如图，在RtABC中，AB2，C30，将RtABC绕点A旋转得
17、到RtABC，使点B的对应点B落在AC上，在BC上取点D，使BD2，那么点D到BC的距离等于（）A2（33+1）B33+1C3-1D3+1【解答】解：在RtABC中，AB2，C30，BC23，AC4，将RtABC绕点A旋转得到RtABC，使点B的对应点B落在AC上，ABAB2，BCBC23，BC2，延长CB交BC于F，CBFABC90，C30，CFB60，BF=33BC=233，BD2，DF2+233，过D作DEBC于E，DE=32DF=32（2+233）=3+1，故选：D14.（2020杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF
18、若点E，F，D在同一条直线上，AE2，则DF2，BE5-1【解答】解：四边形ABCD是矩形，ADBC，ADCBDAE90，把BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，CFBC，CFEB90，EFBE，CFAD，CFD90，ADE+CDFCDF+DCF90，ADFDCF，ADEFCD（ASA），DFAE2；AFECFD90，AFEDAE90，AEFDEA，AEFDEA，AEEF=DEAE，2EF=2+EF2，EF=5-1（负值舍去），BEEF=5-1，故答案为：2，5-115.（2020嘉兴）如图，有一张矩形纸条ABCD，AB5cm，BC2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN1c
19、m现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B，C上当点B恰好落在边CD上时，线段BM的长为5cm；在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为（5-32）cm【解答】解：如图1中，四边形ABCD是矩形，ABCD，13，由翻折的性质可知：12，BMMB，23，MBNB，NB=BC2+NC2=22+12=5（cm），BMNB=5（cm）如图2中，当点M与A重合时，AEEN，设AEENxcm，在RtADE中，则有x222+（4x）2，解得x=52，DE4-52=32（cm），如图3中，当点M运动到MBAB时，DE的值最大，DE5122（cm），如图4中，当点M运动到点B落在CD时，DB（即DE）51-5=（4-5）（cm），点E的运动轨迹EEE，运动路径EE+EB2-32+2（4-5）（5-32）（cm）故答案为5，（5-32）16.（2020衢州）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC1，则AB的长度为（）A2B2+12C5+12D43【解答】解：由折叠补全图形如图所示，四边形ABCD是矩形，ADABCA90，ADBC1，CDAB，由第一次折叠得：DAEA90，ADE=12ADC45，AEDADE45，AEAD1，在RtADE中，根据勾股定理得，DE=2AD=2，故选：A
