1、3.1.3空间向量的数量积运算目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题重点 空间向量的数量积运算难点 利用空间向量解决夹角、距离等问题知识点一空间向量的夹角填一填1定义：(1)条件：a，b是空间的两个非零向量(2)作法：在空间任取一点O，作a，b.(3)结论：AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b2范围：a，b0，其中，(1)当a，b0时，a与b的方向相同(2)当a，b时，a与b的方向相反(3)当a，b时，a与b互相垂直，记作ab.答一答1若a，b是空间的两个非零向量，
2、则a，ba，ba，b，对吗？提示：不对a与a，b与b分别是互为相反向量，a，ba，ba，b知识点二空间向量的数量积填一填1空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.即ab|a|b|cosa，b(2)运算律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.2空间向量数量积的性质 答一答2类比平面向量，你能说出ab的几何意义吗？提示：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积3对于向量a，b，c，由abac，能得到bc吗？提示：不能，若a，b，c是非零向量，则abac得到a(bc)0，即可能有
3、a(bc)成立4对于向量a，b，若abk，能不能写成a？提示：不能，向量没有除法，无意义5为什么(ab)ca(bc)不一定成立？提示：由定义得(ab)c(|a|b|cosa，b)c，即(ab)c1c；a(bc)a(|b|c|cosb，c)，即a(bc)2a，因此，(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(ab)ca(bc)不一定成立1.求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量间的夹角，在求两个向量间的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到另一个向量的起点2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向
4、量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即可3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算类型一空间向量的数量积运算【例1】如下图所示，已知正三棱锥ABCD的侧棱长和底面边长都是a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点求下列向量的数量积(1)；(2)；(3)；(4).【解】(1)由题知|a，且，60，aacos60a2.(2)|a，|a，且，60.aacos60a2.(3)|a，|a，又，180.aacos180a2.(4)|a，|a，又，60.aacos60a2.在几
5、何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角.已知正四面体OABC的棱长为1.求：(1)；(2)()()解：如图所示，(1)|cosAOB11cos60；(2)()()()()()(2)1211cos60211cos6011cos6012211cos601.类型二利用数量积求夹角【例2】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBC1，AA1，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值【分析】求异面直
6、线BA1与AC所成的角，可转化为求向量与所成的角，因此可先求，再求|，|，最后套用夹角公式求得，但要注意两直线夹角与两向量夹角的区别【解】因为，且0，所以()()21.又|，|.所以cos，.则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角解：不妨设正方体的棱长为1，设a，b，c，则|a|b|c|1，abbcca0，ac，ab.(ac)(ab)|a|2abacbc1.而|，cos，60.异面直线A1B与AC所成的角为60.类型三利用数量积求距离【例3】在正四面体ABCD中，棱长为a.M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|2
7、|AM|，|CN|ND|，求|MN|.【分析】转化为求向量的模，然后将向量分解，再根据数量积运算性质进行求解【解】因为()()，所以222a2a2a2a2a2a2a2.所以|MN|a.求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a|2aa，通过向量运算去求|a|，即得所求距离.如下图，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使直线AB与CD成60角，求B，D间的距离解：ACD90，0，同理0.AB与CD成60角，60或120.，222222222223211cos，|2或，即B，D间的距离为2或.类
8、型四利用数量积证明垂直问题【例4】如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，P为DD1的中点，O是底面ABCD的中心求证：B1O平面PAC.【分析】本题考查利用abab0求证线面垂直，关键是在平面PAC中找出两相交向量与向量垂直【证明】不妨设正方体的棱长为1，a，b，c，则|a|b|c|1，abbcac0.由题图得：bc，ac，c(ab)abc.abb2bcacbcc2，a2abacacbcc2，又|a|b|c|1，abacbc0，0，0.，.PAB1O，PCB1O.又PAPCP，B1O平面PAC.用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线
9、线垂直即可.已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC.证明：如图方法一：ABCD，ACBD，0，0.()()22()0.，从而ADBC.方法二：设a，b，c，ABCD，0，即()0，a(cb)0，即acba.ACBD，0，即()0，b(ca)0，即bcba.acbc，c(ba)0，即()0，0.，从而ADBC.1如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有(C)A.2a2B.a2C.a2D.a2解析：()(2)2|2a2.2已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a2b3c|(B)A14B. C4D2解析：|a2b3c|2|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc14，|a2b3c|.3已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a2ijk，bij3k，则ab等于2.解析：ab(2ijk)(ij3k)2i2j23k22.4已知向量a、b、c两两之间的夹角都为60，其模都为1，则|ab2c|等于.解析：(ab2c)2a2b24c22ab4ac4bc1142cos605，|ab2c|.5如图所示，已知ADB和ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且ADBDCD，BAC60.求证：BD平面ADC.证明：不妨设ADBDCD1，则ABAC.()，由于()1，|cos601.0，即BDAC，又已知BDAD，BD平面ADC.
