1、黑龙江省大庆市2015届高三年级第一次教学质量检测试题理科数学【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题、概率等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.第I卷一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
2、的.【题文】（1）集合，若，则实数的值为（A）或 （B） （C）或 （D） 【知识点】集合的交集A1【答案解析】C解析：因为，所以3m=-9或3m=3，得m=3或m=1,所以选C.【思路点拨】理解集合的交集的含义是解题的关键.【题文】（2）若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则（A） （B） （C） （D）【知识点】复数的概念及代数运算L4【答案解析】A解析：因为是纯虚数，所以2b=0且2b+10，得b=2，所以选A.【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点之一，应熟练掌握.【题文】（3）设等比数列中,前n项和为,已知,则（A）（B） （C） （D）【知识点】等比数列的性质D3【答案解析】A解
3、析：因为，则,所以 ，则选A.【思路点拨】遇到等比数列的n项和之间的关系时，可考虑等比数列前n项和的性质进行解答.【题文】（4）函数的图象可能是（A） （B）（C） （D）【知识点】函数的图像B8【答案解析】B解析：因为函数为奇函数，则排除A,C，又当x0时，y=lnx为增函数，则排除D，所以选B.【思路点拨】判断函数的图像经常结合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性及特殊位置的函数值或函数值的符号等进行判断.【题文】（5）三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生都排在一起的概率是 （A） （B） （C） （D）【知识点】概率K2【答案解析】C解析：此问题为古
4、典概型求概率问题，所求事件的排法种数为，总的排法种数为,所以所求事件的概率为 ，则选C.【思路点拨】古典概型问题只需求出事件包含的基本事件个数及总的基本事件个数，代入公式解答即可.【题文】（6）执行如右图所示的程序框图若输出的结果为，则输入的正整数的可能取值的集合是（A） （B） （C） （D）【知识点】程序框图L1【答案解析】C解析：依次执行循环体的值为a=2a+3,i=1;a=2(2a+3)+3，i=2，此时跳出循环体，所以2a+313且2(2a+3)+313,得1a5,所以a的可能取值为2,3,4,5,则选C.【思路点拨】解循环结构的程序框图问题，可依次执行循环体进行解答.【题文】（7）
5、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 体积为（A） （B）（C） （D）【知识点】三视图G2【答案解析】B解析：由三视图可知该几何体左边为半个圆锥，右边为底面是正方形的四棱锥，所以其体积为 ，则选B.【思路点拨】由三视图求几何体的体积的关键是正确分析原几何体的特征.【题文】（8）已知两个平面垂直，下列命题中：一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数有（A） （B） （C） （D）【知识点】两面垂直的性
6、质G5【答案解析】A解析：若一个平面内已知直线垂直于另一个平面内的任意一条直线，则该直线与另一个平面垂直，显然错误；因为一个平面有无数条垂线，所以对于一个平面内已知直线在另一个平面内一定有的无数条直线和它垂直，则说法正确；一个平面内的任意一条直线不一定垂直于另一个平面，所以错误；过一个平面内任意一点作交线的垂线，因为该垂线不一定在平面内，所以此垂线不一定垂直于另一个平面，说法错误，所以选A.【思路点拨】理解直线与平面垂直的概念，掌握两个平面垂直的性质定理是解题的关键.【题文】（9）已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，则的单调递增区间是 （A） （B）（C） （D）无法确定【知识点
7、】三角函数的图像与性质C3【答案解析】C解析：结合正弦曲线的特征可知2,4中间位置是最大值位置，4,8中间位置是最小值位置，其最小正周期为82=6，所以在3,6上单调递减，在0,3上单调递增，则函数的单调递增区间是，所以选C.【思路点拨】熟悉正弦曲线的函数特征是解题的关键.【题文】（10）命题，若是真命题，则实数的取值范围是（A） （B） （C） （D）【知识点】命题的否定及真假的判断A3【答案解析】D解析：因为是真命题，则，命题p为假命题，显然当a=0时为真，所以排除B，C，当a0时，命题p是假命题，则排除A，所以选D.【思路点拨】可从命题与命题的否定之间的真假关系进行判断，适当的运用排除法
8、可减少计算量.【题文】（11）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若，则的面积为（A） （B） （C）（D）【知识点】抛物线H7【答案解析】B解析：不妨设A点在X轴上边，设A,B点坐标分别为（a,b）、（c,d）,因为，所以a+1=5,得a=4，b=4，又bd=4，所以d=1，则AOB的面积为,所以选B.【思路点拨】一般遇到圆锥曲线上的点与其焦点距离关系时，经常利用定义进行转化，本题还应注意结论：过焦点的弦的端点纵坐标之积为 .【题文】（12）已知函数 ，下列是关于函数 的零点个数的4个判断： 当时，有3个零点； 当时，有2个零点； 当时，有4个零点； 当时，有1个零点；则正确的
9、判断是（A） （B） （C） （D）【知识点】函数与方程B9【答案解析】D解析：分四种情况讨论（1）x1时，log2x0，y=f（f（x）+1=log2（log2x）+1，此时的零点为 ;（2）0x1时，log2x0，y=f（f（x）+1=klog2x+1，则k0时，有一个零点，k0时，没有零点，（3）若x0，kx+10时，y=f（f（x）+1=k2x+k+1，则k0时，有一个零点，k0时，没有零点，（4）若x0，kx+10时，y=f（f（x）+1=log2（kx+1）+1，则k0时，有一个零点，k0时，没有零点，综上可知，当k0时，有4个零点；当k0时，有1个零点，故选D【思路点拨】结合函数
10、的零点与对应的方程的根的关系解答即可.第II卷二填空题：本大题共4小题，每小题5分.【题文】（13）由曲线所围成图形的面积是_.【知识点】定积分B13【答案解析】解析：因为两曲线的交点为(0,0)，(1,1)，所以两曲线围成的面积为 .【思路点拨】求两曲线围成的图形面积问题，可利用定积分的几何意义转化为定积分问题解答.【题文】（14）已知向量夹角为，且，则=_.【知识点】向量的模与数量积F3【答案解析】解析：因为 解得.【思路点拨】一般遇到向量的模与向量之间的关系问题，通常利用性质 进行转化.【题文】（15）若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_.【知识点】双曲
11、线的几何性质H6【答案解析】(1,2解析：双曲线的渐近线方程为y=bx，则有，解得，则 ，得1e2,.【思路点拨】一般遇到直线与圆的位置关系问题，通常利用圆心到直线的距离进行解答.【题文】（16）设满足约束条件，若目标函数的最大值为1，则的最小值为_.【知识点】简单的线性规划、基本不等式E5 E6【答案解析】8解析：满足约束条件表示的平面区域为如图三角形ABO表示的区域，显然当动直线z=ax+2by经过点B时，目标函数取得最大值1，联立方程 得B点坐标为（1,1），则有a+2b=1，而 所以，当且仅当a=2b时等号成立.【思路点拨】本题是简单的线性规划与不等式的综合应用，掌握常见的基本不等式的
12、变式是解题的关键.三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【题文】（17）（本小题满分10分）在中，分别是角的对边. 已知，.（）若，求角的大小；（）若，求边的长.【知识点】解三角形C8【答案解析】（） （）4解析：（I）由正弦定理 ，得 ，解得，2分 由于 为三角形内角， ，则 ， 4分所以， 5分 （II）依题意， ，即，整理得 7分 又 ，所以. 10分另解：由于 ,所以，解得 , 7分由于 ，所以， 8分由 ，所以 .由勾股定理 ，解得. 10分.【思路点拨】本题主要考查的是正弦定理和余弦定理，注意结合条件特征恰当的选择定理进行解答.【题文】（18）（本小题满分12分）已
13、知各项均为正数的等比数列，首项，前项和为，且成等差数列（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和【知识点】等比数列、数列求和D3 D4【答案解析】（）（）解析：解：（I）设等比数列的公比为，由题意知，且，又因为、成等差数列，所以， 2分即，化简得，从而，解得，又，故， 4分. 6分（II）由（I）知， 则 ， ， 8分 -得： ， 所以. 12分.【思路点拨】在等比数列综合题中，若无性质特征，一般利用其通项公式和前n项和公式转化为首项和公比的方程组进行解答；对于数列求和问题，一般先确定数列的通项公式，再确定求和思路.【题文】（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，为平行四边形，且 平面，为
14、的中点，（）求证：平面；（）若，求二面角的余弦值【知识点】直线与平面平行、二面角G4 G11【答案解析】（）略（）解析： ()证明：连接，设与相交于点，连接，因为四边形为平行四边形，所以点为的中点，又因为为的中点，所以为的中位线，所以， 3分又因为平面，平面，所以平面. 6分()因为平面，所以平面，又因为，所以两两垂直，故可以建立空间直角坐标系(如图所示)， 8分则，所以，因为平面,故平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则 即，令，则，可取， 10分从而，故所求二面角的余弦值为. 12分.【思路点拨】证明直线与平面平行一般利用直线与平面平行的判定定理转化为线线平行证明；求二面角一般通过建立空
15、间直角坐标系，利用向量的夹角解答.【题文】（20）（本小题满分12分）某市为了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格. 把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 .（）求这次铅球测试成绩合格的人数；（）用此次测试结果估计全市毕业生的情况. 若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记表示两人中成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望；（III）经过多次测试后，甲成绩在810米之间，乙成绩在9.5
16、10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率.【知识点】频率分布直方图、离散随机变量的分布列、期望，几何概型I2 K6 K3【答案解析】（）50人（）E(X)=（）解析： ()第6小组的频率为1(0.040.100.140.280.30)0.14， 此次测试总人数为(人). 第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.280.300.14)5036(人) .4分()=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为,.，. 所求分布列为X012P6分 8分()设甲、乙各投掷一次的成绩分别为、米，则基本事件满足的区域为， 事件“甲比乙投掷远的概率”满足的区域为，如图所示. 由几何概型. 则甲比乙投
17、掷远的概率是. 12分【思路点拨】求离散随机变量的分布列和期望一般先确定随机变量的取值，再依次计算各个取值的概率即可得其分布列和期望，求概率时先分清是几何概型还是古典概型，再利用相应公式计算.【题文】（21）（本小题满分12分）已知,其中.()求的单调递减区间；()若在上的最大值是,求的取值范围.【知识点】导数的综合应用B12【答案解析】() 当时,的单调递增减区间是, ；当时,的单调递增减区间是, ；当时，的单调递增减区间是. () 解析：()函数的定义域为，令 得，当时, ,与的变化情况如下表000减增减所以的单调递减区间是,； 2分当时, ，故的单调递减区间是 ； 4分当时, ，与的变化
18、情况如下表000减增减所以的单调递增减区间是, . 综上,当时,的单调递增减区间是, ；当时,的单调递增减区间是, ；当时，的单调递增减区间是. 6分()由()可知 当时,在的最大值是 但,所以不合题意； 9分 当时,在上单调递减，可得在上的最大值为,符合题意.在上的最大值为0时,的取值范围是. 12分【思路点拨】求含参数的函数的单调区间应注意问题，1、先确定函数的定义域，在其定义域内求单调区间，2、确定导数的零点和符号时应在函数的定义域内解答，当不确定时要注意讨论，3、当导数的零点大小不定时要对零点的大小进行讨论.【题文】（22）（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短
19、半轴为半径的圆与直线相切. ()求椭圆的方程； （）设是椭圆上关于 轴对称的任意两个不同的点，连结 交椭圆于另一点，证明：直线与轴相交于定点； （III）在 ()的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求 的取值范围.【知识点】圆锥曲线综合应用H8【答案解析】() （）略（III）解析：（I）由题意知而以原点为圆心，椭圆短半轴为半径的圆的方程为，故由题意可知故椭圆C的方程为 3分 （II）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由 4分设点，则，直线的方程为，令得，将代入整理得，得 5分由得，代入整得，得所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0） 7分 （III）当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，解得，此时； 8分 当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为,且在椭圆上， 由得 ， 计算得， 所以 则 10分因为，所以，.所以的取值范围是. 12分.【思路点拨】求圆锥曲线标准方程通常用待定系数法，一般遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，通常联立方程转化为坐标之间的关系再利用韦达定理转化为待定的系数关系进行解答.
