1、江西省万载中学2019-2020学年高二数学上学期月考试题 文（含解析）一、单选题（60分）1.已知命题p：，命题：，则下列说法中正确的是( )A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题是真命题D. 命题是假命题【答案】C【解析】【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，得到答案【详解】因为，所以命题p为真命题；因为当时，所以命题q为假命题，所以命题是真命题，命题是假命题，命题是真命题，命题是真命题故选C【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题、全称命题、特称命题等知识点，解题的关键是判断出命题的真假，难度中等2.如果，那么下列不等式成立的是（ ）A
2、. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由于，不妨令，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论.【详解】解：由于，不妨令，可得，故A不正确.可得，故B不正确.可得，故C不正确.故选：D.【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题.3.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据焦点在轴上推出，且，解不等式求得的范围【详解】由题意方程表示焦点在轴上的椭圆，可得：，并且，解得：故选【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在轴还是在轴4
3、.已知等差数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用等差数列通项公式可得方程组得到代入通项公式得【详解】由题意得所以，故选C.【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查基本运算能力5.已知等比数列满足：，且，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质得到，根据题意解得，且，根据等比数列的通项公式，即可求出结果.【详解】因为等比数列满足：，所以，解得或，又，所以，且，因此，则，故.故选A【点睛】本题主要考查等比数列基本量的运算，熟记等比数列的通项公式与性质即可，属于常考题型.6.若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ）A
4、. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先解绝对值不等式，利用是的真子集，列不等式求解即可【详解】由可得，它的充分不必要条件是，即是的真子集，则且等号不同时成立.解得，故选B.【点睛】本题考查绝对值不等式解法，考查充分必要条件，熟记充分不必要条件的判定方法是关键，是基础题7.设，满足约束条件，目标函数的最大值为（ ）A. 5B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据已知中约束条件，先画出满足条件的可行域，进而求出可行域的各角点的坐标，代入目标函数求出目标函数的值，比较后可得目标函数的最大值【详解】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，则，目标函数故目标函数的最大值为故选【点
5、睛】本题考查的知识点是线性规划，其中角点法是求已知约束条件，求目标函数最优解最常用的方法，一定要熟练掌握8.在中，若，则此三角形为（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式可得，结合正弦定理可得，利用两角和正弦公式可得，从而得到答案.【详解】在中，由已知得，又由正弦定理可知，即，所以三角形为直角三角形，故选C.【点睛】本题考查三角形形状判定，考查正弦定理的应用，考查诱导公式与两角和正弦公式，考查运算能力与推理能力，属于中档题.9.已知正实数满足,则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题设条件得
6、，利用基本不等式求出最值【详解】由已知，所以当且仅当时等号成立，又，所以时取最小值故选A【点睛】本题考查据题设条件构造可以利用基本不等式的形式，利用基本不等式求最值10.若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将不等式在区间内有解等价于，然后根据二次函数求最大值代入即可得到.【详解】不等式在区间内有解等价于，令，因为在上递减,在上递增,且,知当时，所以：故选A.【点睛】本题考查了一元二次不等式在指定区间内有解问题,二次函数的最大值,属于基础题.11.已知的内角，所对的边分别为，且，若的面积为，则的周长的最小值为（ ）A. B. C
7、. D. 【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理进行边角互化,得到,根据余弦定理可得,再由面积公式得到,利用均值不等式可得,进而,即为关于的函数关系,从而解得周长的最小值.【详解】,（当且仅当时取等号）,，,设,单调递增,故选C【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化,考查余弦定理的应用,考查均值不等式的应用,考查三角形中的最值问题.12.过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若，O为坐标原点，则（ ）A. B. C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】分别过作准线的垂线,垂足分别为,过作,垂足为,交轴于,设,根据抛物线的定义以及两个直角三角形相似可以求出,由此可求出结果.【详解】如图:
8、分别过作准线的垂线,垂足分别为,过作,垂足为,交轴于,设,则,由抛物线的定义知:,所以,因为,所以,所以,所以,所以.故选:A【点睛】本题考查了抛物线的定义,属于基础题.二、填空题（20分）13.已知函数，则函数的图像在点处的切线方程为_.【答案】，【解析】【分析】先对函数求导，根据题意求出切线斜率，进而可得切线方程.【详解】因为，所以，所以函数的图像在点处的切线斜率为，又，因此，函数的图像在点处的切线方程为，即.故答案为【点睛】本题主要考查函数在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于基础题型.14.已知，且，则的最小值为_【答案】4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值
9、不等式的应用求出结果【详解】，当且仅当，时取等号，故答案为4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型15.在等比数列中，成等差数列，则_.【答案】【解析】【分析】根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比满足，将所求式子化为和的形式，化简可得结果.【详解】，成等差数列 即：，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.16.已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】
10、设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，运用双曲线的定义和条件可得，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值【详解】解：设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，由双曲线的定义可得，由，可得，由可得，在三角形中，由余弦定理可得：，即有，化简可得，则双曲线的离心率故答案为【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和定义法，以及余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题三、解答题（70分）17.已知函数（1）解不等式；（2）若对恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x
11、）-f（2x+4）2的解集；（2）由绝对值不等式的意义求出f（x）+f（x+3）的最小值，得出关于m的不等式，求解即可【详解】解：（1）由题知不等式，即，等价于，或，或；解得或或，即或，原不等式的解集为，；（2）由题知，的最小值为3，解得，实数的取值范围为，【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题18.已知为等差数列，且，（1）求的通项公式； （2）若等比数列满足，求数列前项和公式【答案】(1);(2).【解析】【详解】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用、（1）设公差为，由已知得解得,（2），等比数列的公比利用公式
12、得到和19.已知点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹是曲线.（1）求曲线的方程.（2）过点且斜率为1的直线与曲线交于两点，求线段的长.【答案】（1）；（2）8【解析】【分析】（1）由已知：点到的距离与它到直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，由此能求出曲线的方程（2）设交点，的坐标分别为，则由抛物线的定义可得，于是，由此能求出线段的长【详解】（1）由已知：点到的距离与它到直线的距离相等，所以点的轨迹是以点为焦点,，准线为的抛物线，设方程为，则曲线的方程为（2）直线的方程为,联立方程得消元得设,则,则由抛物线的定义可得，于是，【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应
13、用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化20.已知数列满足，.（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和【答案】（1）证明见解析，；（2）【解析】【分析】（1）对变形整理可得，即，从而证得结论并求出通项公式；（2）化简，由此利用裂项相消法求和即可得到结果.【详解】（1）证明：，整理，得，两边同除以，是等差数列，公差是2，首项是，则，（2），【点睛】本题考查根据递推关系求数列的通项公式和裂项相消法求和，考查了构造数列的方法运用，要求认真审题，计算准确，属中档题.
14、21.如图，平面四边形ABCD中，(1)若，求ABC的面积；(2)若，求AC【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出的值，再由面积公式得到求得ABC的面积；（2）设在中利用正弦定理得，在中利用正弦定理得，从而得到关于的方程，求出后，代入的表达式，即可得答案.【详解】（1），由余弦定理可得，或（舍去），.（2）设则，在中，即在中，即，由，解得：，又，.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，在第（2）问求解时，关键是设出角，然后利用正弦定理寻找等量关系，从而得到关于的方程，是对函数与方程思想的深入考查.22.已知椭圆的一个焦点与抛物线的
15、焦点重合，且此抛物线的准线被椭圆截得的弦长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于、两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，试问直线是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）直线过定点，详见解析.【解析】【分析】（1）由题意得出，由题意知点在椭圆上，由此得出关于、的方程组，求出、的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）解法一：由题意可知，直线的斜率不为零，然后分直线的斜率存在且不为零和直线的斜率不存在两种情况讨论，在第一种情况下，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由得出，并写出直线的方程，由此可得出直线所过定点的坐标；
16、在第二种情况下可得出直线为轴，即可得出直线过定点，由此得出结论；解法二：由题意可知，直线的斜率不为零，然后分直线的斜率存在且不为零和直线的斜率不存在两种情况讨论，在第一种情况下，由点差法可得出直线的斜率为，可写出直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标；在第二种情况下可得出直线为轴，即可得出直线过定点，由此得出结论.【详解】（1）抛物线的焦点为，准线为.由于抛物线的准线截椭圆所得弦长为，则点在椭圆上，则有，解得，因此，椭圆的标准方程为；（2）法一：显然点在椭圆内部，故，且直线的斜率不为.当直线的斜率存在且不为时，易知，设直线的方程为，代入椭圆方程并化简得：.设，则，解得.因为直线是线段的垂直平分
17、线，故直线的方程为，即，即.令，此时，于是直线过定点；当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点.综上所述，直线过定点；法二：显然点在椭圆内部，故，且直线的斜率不为.当直线的斜率存在且不为时，设，则有，两式相减得，由线段的中点为，则，故直线的斜率，因为直线是线段的垂直平分线，故直线的方程为，即，即.令，此时，于是直线过定点；当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点综上所述，直线过定点.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，在涉及中点弦问题时，可以利用韦达定理法或点差法得出直线方程中两个参数的等量关系，进而得出直线所过定点的坐标，考查运算求解能力，属于中等题.
