1、选修45不等式选讲第一节绝对值不等式考纲传真1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)，|ab|ac|cb|(a，b，cR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解法：不等式a0a0a0|x|ax|xa或xaxR|x0R(2)|axb|c，|axb
2、|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解；利用零点分段法求解；构造函数，利用函数的图像求解1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)|xa|xb|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和()(2)不等式|a|b|ab|等号成立的条件是ab0.()(3)不等式|ab|a|b|等号成立的条件是ab0.()(4)当ab0时，|ab|a|b|成立()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)若关于x的不等式|ax2|3的解集为，则实数
3、a_.3依题意，知a0.又|ax2|33ax23，1ax5.由于|ax2|3的解集为，a0，且，则a3.3(教材改编)若关于x的不等式|a|x1|x2|存在实数解，则实数a的取值范围是_(，33，)由于|x1|x2|(x1)(x2)|3，|x1|x2|的最小值为3，要使|a|x1|x2|有解，只需|a|3，a3或a3.4解不等式x|2x3|2.解当x时，原不等式化为3x32，3分解得x.6分当x时，原不等式化为x32，解得x5.8分综上，原不等式的解集是.10分5(2016江苏高考)设a0，|x1|，|y2|，求证：|2xy4|a.证明因为|x1|，|y2|，所以|2xy4|2(x1)(y2)
4、|2|x1|y2|1的解集图解(1)由题意得f(x)3分故yf(x)的图像如图所示6分(2)由f(x)的函数表达式及图像可知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.8分故f(x)1的解集为x|1x3，f(x)1的解集为.所以|f(x)|1的解集为.10分规律方法1.本题用零点分段法画出分段函数的图像，结合图像的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用2解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论此外还常利用绝对值的几何意义求解变式训练1(2016吉林实验中学模拟)设函数f(x)|xa|.(1)当a2时，解不等式f(x)4|x1
5、|；(2)若f(x)1的解集为0,2，a(m0，n0)，求证：m2n4.【导学号：57962488】解(1)当a2时，不等式为|x2|x1|4，当x2时，不等式可化为x2x14，解得x；当x时，不等式可化为2xx14，不等式的解集为；当x时，不等式可化为2x1x4，解得x.综上可得，不等式的解集为.(2)证明：因为f(x)1，即|xa|1，解得a1xa1，而f(x)1的解集是0,2所以解得a1，所以1(m0，n0)，所以m2n(m2n)2224，当且仅当m2，n1时取等号.绝对值三角不等式性质的应用 对于任意的实数a(a0)和b，不等式|ab|ab|M|a|恒成立，记实数M的最大值是m.(1)
6、求m的值；(2)解不等式|x1|x2|m.解(1)不等式|ab|ab|M|a|恒成立，即M对于任意的实数a(a0)和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值.2分因为|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|，当且仅当(ab)(ab)0时等号成立，|a|b|时，2成立，也就是的最小值是2，即m2.5分(2)|x1|x2|2.法一：利用绝对值的意义得：x.10分法二：当x1时，不等式为(x1)(x2)2，解得x，所以x的取值范围是x1.当1x2时，不等式为(x1)(x2)2，得x的取值范围是1x2.8分当x2时，原不等式为(x1)(x2)2,2x.综上可知，不等式的解集是.10分规律方法1.(1
7、)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件：当ab0时，|ab|a|b|；当ab0时，|ab|a|b|；当(ab)(bc)0时，|ac|ab|bc|.(2)对于求y|xa|xb|或y|xa|xb|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便2第(2)问易出现解集不全或错误对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏变式训练2对于任意实数a，b，已知|ab|1，|2a1|1，且恒有|4a3b2|m，求实数m的取值范围解因为|ab|1，|2a1|1，所以|3a3b|3，4分所以|4a3b2|3a3b|36，8分则|4a3b2|的最大值为6，所以m|4a3b2|max6，
8、m的取值范围是6，).10分绝对值不等式的综合应用(2015全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x2.所以f(x)1的解集为.4分(2)由题设可得f(x)所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)因此ABC的面积S|AB|(a1)(a1)2.8分由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，).10分规
9、律方法1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法2第(2)问求解要抓住三点：(1)分段讨论，去绝对值符号，化f(x)为分段函数；(2)数形结合求ABC的三个顶点坐标，进而得出ABC的面积；(3)解不等式求a的取值范围变式训练3(2016全国卷)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，恒有f(x)g(x)3，求实数a的取值范围解(1)当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3.4分(2)当x
10、R时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|(2xa)(12x)|a|1a|a，6分当x时等号成立，所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3.8分当a1时，等价于1aa3，无解当a1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，).10分思想与方法1绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，几何法(利用绝对值几何意义)，构造函数法前者体现了分类讨论思想，后者体现了数形结合思想的应用2不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决易错与防范1利用绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件2形如|xa|xb|c(c0)的不等式，在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c0，则不等式解集为R.
