1、第3讲导数的简单应用 考点1导数运算及几何意义1导数公式(1)(sinx)cosx；(2)(cosx)sinx；(3)(ax)axlna(a0)；(4)(logax)(a0，且a1)2导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)例1(1)2019全国卷曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_；(2)2019全国卷已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1 Bae，b1 Cae1，b1 Dae1，b1
2、【解析】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算因为y3(2x1)ex3(x2x)ex3(x23x1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率ky|x03，所以所求的切线方程为y3x.(2)本题主要考查导数的几何意义，考查的核心素养是数学运算因为yaexln x1，所以y|x1ae1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1，所以解得【答案】(1)y3x(2)D1求曲线yf(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求yf(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f(x0)，由点斜式写出方程(
3、2)已知切线的斜率为k，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程kf(x0)解得x0，再由点斜式写出方程(3)已知切线上一点(非切点)，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程2警示求曲线的切线方程时，务必分清点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先求出切点坐标.对接训练12019云南师大附中适应性考试曲线yax在x0处的切线方程是xln 2y10，则a()A. B2Cln 2 Dln解析：由题意知，yaxln a，则在x0处
4、，yln a，又切点为(0,1)，切线方程为xln ay10，a.故选A.答案：A22019河北保定乐凯中学模拟设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为()A2 B.C4 D解析：因为曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，所以g(1)2.又f(x)g(x)2x，故曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为f(1)g(1)24.故选C.答案：C 考点2利用导数研究函数的单调性1若求函数的单调区间(或证明单调性)，只要在其定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0，则当x(，
5、0)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减；若a0，f(x)在(，)单调递增；若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减(2)满足题设条件的a，b存在()当a0时，由(1)知，f(x)在0,1 单调递增，所以f(x)在区间0,1的最小值为f(0)b，最大值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当b1,2ab1，即a0，b1.()当a3时，由(1)知，f(x)在0,1单调递减，所以f(x)在区间0,1的最大值为f(0)b，最小值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当2ab1，b1，即a4，b1.()当0a3时，
6、由(1)知，f(x)在0,1的最小值为f()b，最大值为b或2ab.若b1，b1，则a3，与0a3矛盾若b1,2ab1，则a3或a3或a0，与0a0.(1)当m2时，求f(x)的极大值；(2)试讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性解析：(1)当m2时，f(x)ln xx，f(x)1(x0)当0x2时，f(x)0，当x0，f(x)在和(2，)上单调递减，在上单调递增，f(x)的极大值为f(2)ln 2.(2)f(x)1(x0，m0)，故当0m1时，f(x)在上单调递减，在上单调递增 考点3利用导数研究函数极值、最值可导函数的极值与最值(1)若在x0附近左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0
7、)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值(2)设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得例32019全国卷已知函数f(x)sin xln(1x)，f(x)为f(x)的导数，证明：(1)f(x)在区间存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点【解析】本题主要考查导数及其应用、函数的单调性、函数的极值与函数零点个数的证明等，考查考生的推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等，考查化归与转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算(1)
8、设g(x)f(x)，则g(x)cos x，g(x)sin x.当x时，g(x)单调递减，而g(0)0，g0；当x时，g(x)0.所以g(x)在(1，)单调递增，在单调递减，故g(x)在存在唯一极大值点，即f(x)在存在唯一极大值点(2)f(x)的定义域为(1，)()当x(1,0时，由(1)知，f(x)在(1,0)单调递增，而f(0)0，所以当x(1,0)时，f(x)0，故f(x)在 (1,0)单调递减又f(0)0，从而x0是f(x)在(1,0的唯一零点()当x时，由(1)知，f(x)在(0，)单调递增，在单调递减，而f(0)0，f0；当x时，f(x)0，所以当x时，f(x)0.从而，f(x)在
9、没有零点()当x时，f(x)0，f()1，所以f(x)0，从而f(x)在(，)没有零点综上，f(x)有且仅有2个零点.1利用导数求函数最值的方法技巧(1)对含参数的函数解析式求最值时，常常分类讨论，分类的原则是极值点在给定区间的内部还是外部，从而根据单调性求出最值(2)求极值和最值时，为了直观易懂，常常列出x的取值范围与y的符号及y的单调区间、极值的对应表格2警示(1)求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点(2)求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大(小)值(3)对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论.对接训练42019福建福州质量检测已
10、知函数f(x)aln(1x)(aR)，g(x)x2emx1e2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a1)，所以f(x).当a0时，f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，)，无单调递减区间当a0时，由得1x1.所以函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.综上所述，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，)，无单调递减区间当a0时，函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.(2)若a0，则x1，x20，e，不等式f(x1)g(x2)恒成立，等价于“对任意x0，e，f(x)ming(x)max恒成立”当a0，不符合题意()当m0，即e时，在0，e上，g(x)0，所以g
11、(x)在0，e上单调递增，所以g(x)maxg(e)eme3e2，令eme3e20，得m，所以m.()当m，即0，所以m.综上所述，实数m的取值范围为. 考点4定积分定积分求平面图形的面积(1)正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值(2)根据图形的特征，选择合适的积分变量在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值例42019辽宁丹东适应性测试如图，函数yx22x1与y1的图象相交，形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是()A1B.C. D2【解析】由
12、得x10，x22，所以闭合图形的面积S(x22x11)dx(x22x)dx4.【答案】B(1)求曲边多边形面积的步骤画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和计算定积分(2)若所求定积分有明显的几何意义，可以利用定积分的几何意义求定积分.对接训练52019河南八市联合测评已知函数f(x)则f(x)dx()A. B.C7 D.解析：函数f(x)则f(x)dxx|x|dxdx0x|.故选B.答案：B62019四川内江适应性测试由曲线yx21，直线yx3，x轴正半轴与y轴正半轴围成的图形的面积为()A
13、3 B.C. D.解析：由题意可知题中曲线与坐标轴围成的图形如图中阴影部分所示，由解得(舍去)或则A(1,2)，结合图形可知，所求的面积为(x21)dx222，选B.答案：B课时作业5导数的简单应用12019甘肃兰州一中月考 |x|dx等于()A0B1C2 D.解析：如图，由定积分的几何意义可知|x|dx表示图中阴影部分的面积，故|x|dx21.答案：B22019河南南阳月考已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x，则f(e)()Ae BC1 De解析：由f(x)2xf(e)ln x，得f(x)2f(e)，则f(e)2f(e)，所以f(e)，故f(x)xln x，
14、所以f(e)1.故选C.答案：C32019湖北钟祥模拟已知函数f(x)，则函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：f(x)，f(x)，f(0)1，f(0)1，即函数f(x)的图象在点(0,1)处的切线斜率为1，函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程为yx1，即xy10.故选B.答案：B42019河北九校第二次联考函数f(x)x2ln x的单调递减区间是()A(3,1) B(0,1)C(1,3) D(0,3)解析：解法一令f(x)10，得0x0，故排除A，C选项；又f(1)4f(2)2ln 2，故排除D选项故选B.答案：B
15、52019辽宁辽阳期末函数f(x)x33ln x的最小值为()A0 B1C2 D3解析：函数f(x)x33ln x的定义域为(0，)可得f(x)，令f(x)0，可得x1，所以x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)是增函数，所以函数f(x)的最小值为f(1)1.故选B.答案：B62019河南濮阳第二次模拟已知aln，be1，c，则a，b，c的大小关系为()Abca BacbCabc Dbac解析：依题意，得aln，be1，c.令f(x)，则f(x)，易知函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减所以f(x)maxf(e)b，且f(3)f(8)，即ac，所以bac.故选D.答案：D
16、72019吉林三校联合模拟若函数f(x)的图象如图所示，则m的范围为()A(，1) B(1,2)C(0,2) D(1,2)解析：f(x)，由函数图象的单调性及有两个极值点可知m20，故0m1，即m1.故1m2，故选D.答案：D82019广东惠州中学一模设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|最小时t的值为()A1 B.C. D.解析：|MN|的最小值，即函数h(x)x2ln x的最小值，h(x)2x，显然x是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t.故选D.答案：D92019广东肇庆第二次检测已知x1是f(x)x2(a3)x2a3ex
17、的极小值点，则实数a的取值范围是()A(1，) B(1，)C(，1) D(，1)解析：依题意f(x)(xa)(x1)ex，它的两个零点为x1，xa，若x1是函数f(x)的极小值点，则需a0，得x；令f(x)0，得0x.由题意得得1k0得0x1，此时函数g(x)为增函数，由g(x)1，此时函数g(x)为减函数，故当x1时，g(x)取得极大值，同时也是最大值，为g(1).则的最大值为，则，得2ekk1，即k(2e1)1，则k，故正数k的取值范围是.答案：152019西藏山南模拟已知函数f(x).(1)当a1时，求曲线yf(x)在(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间解析：(1)
18、当a1时，f(x)，则f(x).又f(0)1，f(0)2.所以曲线yf(x)在(0，f(0)处的切线方程为y(1)2(x0)，即y2x1.(2)由函数f(x)，得f(x).当a0时，f(x)0时，x1，所以x，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(，1)f(x)0f(x)极小值所以f(x)的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为.当a0时，x1，所以x，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(1，)f(x)0f(x)极大值所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，(1，)162019广东广州二模已知函数f(x)(x2)ln xax24x7a.(1)若a，求函数f(x)的所有零点；(2)若a，
19、证明函数f(x)不存在极值解析：(1)当a时，f(x)(x2)ln xx24x，函数f(x)的定义域为(0，)，则f(x)ln xx3.设g(x)ln xx3，则g(x)1.当0x1时，g(x)1时，g(x)0，所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x0时，g(x)g(1)0(当且仅当x1时取等号)，即当x0时，f(x)0(当且仅当x1时取等号)所以函数f(x)在(0，)上单调递增，至多有一个零点因为f(1)0，所以x1是函数f(x)唯一的零点所以函数f(x)的零点只有x1.(2)方法一f(x)(x2)ln xax24x7a，函数f(x)的定义域为(0，)，且f(
20、x)ln x2ax4.当a时，f(x)ln xx3，由(1)知ln xx30.即当x0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增所以f(x)不存在极值方法二f(x)(x2)ln xax24x7a，函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)ln x2ax4.设m(x)ln x2ax4，则m(x)2a(x0)设h(x)2ax2x2(x0)，当a时，令h(x)2ax2x20，解得x10.可知当0xx2时，h(x)0，即m(x)x2时，h(x)0，即m(x)0，所以f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增由(1)知ln xx30，则f(x2)ln x2x23(2a1)x2(2a1
21、)x20.所以f(x)f(x2)0，即f(x)在定义域上单调递增所以f(x)不存在极值172019江西吉安一模已知函数f(x)ex，g(x)x2x1(e为自然对数的底数)(1)记F(x)ln xg(x)，求函数F(x)在区间1,3上的最大值与最小值；(2)若kZ，且f(x)g(x)k0对任意xR恒成立，求k的最大值解析：(1)F(x)ln xg(x)ln xx2x1，F(x)，令F(x)0，得x或x2，易知函数F(x)在区间(1,2)上单调递减，在区间(2,3)上单调递增当1x3时，F(x)minF(2)4ln 2，F(x)maxmaxF(1)，F(3)4ln 3.(2)f(x)g(x)k0对
22、任意xR恒成立，exx2x1k0对任意xR恒成立，kexx2x1对任意xR恒成立令h(x)exx2x1，则h(x)exx.令(x)exx，则(x)ex10，所以h(x)在R上单调递增又h(0)0，he20，所以存在唯一的x0，使得h(x0)0，且当x(，x0)时，h(x)0.h(x)在(，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增h(x)minh(x0)ex0xx01.又h(x0)0，即ex0x00，ex0x0.h(x0)x0xx01(x7x03)x0，h(x0).kexx2x1对任意xR恒成立，kh(x0)，又kZ，kmax1.182019福建福州质量抽测设函数f(x)(ax1)e1x.(1)
23、当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a1时，若函数f(x)与函数yx24xm(mR)的图象总有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x1，x2.求m的取值范围；求证：x1x24.解析：(1)由已知得，f(x)ae1x，由于e1x0，a0，令f(x)0，得x，令f(x)，当a0时，f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.(2)当a1时，f(x)(x1)e1x.解法一令g(x)f(x)x24xm(x1)e1xx24xm，g(x)(e1x2)(x2)，由g(x)2，由g(x)0得，x0，即m4，m的取值范围为.解法二f(x)e1x(x2)，由f(x)2，由f(x)0得，x228m，解得m4，m的取值范围为.由题意知，x1，x2为函数g(x)f(x)x24xm(x1)e1xx24xm的两个零点，由知，不妨设x12x2，则4x24，只需证明g(x1)g(4x2)，又g(x1)g(x2)，只需证明g(x2)g(4x2)令H(x2)g(x2)g(4x2)(x22)，则H(x2)(x21)e(x23)e，H(x2)(x22)(ee)又x22，e1，即ee0，H(x2)0，即H(x2)在(2，)上为增函数，H(x2)H(2)0，g(x2)g(4x2)成立，x1x24.
