1、全章素养整合授课提示：对应学生用书第73页授课提示：对应学生用书第74页类型一导数几何意义的应用题型特点导数的几何意义是近几年高考的重点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，常以选择题、填空题的形式出现，在解答题中往往涉及函数的单调性、最值等问题，所以要把握好此部分知识方法归纳解答此类问题的关键是明确导数的几何意义，正确判断所给出的点是否为切点，若不是切点，则需要先设出切点的坐标后通过斜率相等建立方程(组)求解例1已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标解析(1)f(2)232166
2、，点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21，在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)322113，切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理，得x8，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113，直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)跟踪训练1.已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)在函数f(x)x2ln x的图象上是否存在两
3、点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由解析：(1)由题意可得f(1)1，且f(x)2x，f(1)211，则所求切线方程为y11(x1)，即yx.(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2，不妨设x1x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得(2x1)(2x2)1，又函数f(x)2x在区间，1上单调递增，函数的值域为1,1，故12x10时为增函数；f(x)0时为减函数2已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b
4、)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解例2已知函数f(x)x2ex1x3x2.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)x3x2，试比较f(x)与g(x)的大小解析(1)f(x)x(x2)(ex11)，令f(x)0，得x12，x20，x31.当2x1时，f(x)0；当x2或0x1时，f(x)0，所以函数f(x)在(2,0)，(1，)上是单调递增的，在(，2)，(0,1)上是单调递减的(2)f(x)g(x)x2ex1x3x2(ex1x)因为对任意实数x总有x20，所以设h(x)ex1x，xR.h(x)ex
5、11，令h(x)0，得x1.当x1时，h(x)0，即函数h(x)在(，1)上单调递减，因此当xh(1)0；当x1时，h(x)0，即函数h(x)在(1，)上单调递增，因此当x1时，h(x)h(1)0；当x1时，h(1)0.综上可知，对任意实数x都有h(x)0，即f(x)g(x)0，故对任意实数x，恒有f(x)g(x)跟踪训练2.已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解析：(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知，f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f
6、(x)ln x，则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数综上，f(x)的单调递增区间为(5，)，单调递减区间为(0,5)类型三利用导数研究函数的极值和最值题型特点利用导数研究函数的极值和最值问题是高考的热点，既有选择题、填空题，也有解答题选择题和填空题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数的单调性或方程、不等式的综合应用方法归纳解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数大小(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最
7、值点，要通过比较才能下结论(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值例3已知函数f(x)x33ax22bx在x1处有极小值1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在闭区间2,2上的最大值和最小值解析(1)f(x)3x26ax2b，f(x)在点x1处有极小值1，即解得f(x)x3x2x，f(x)3x22x1.令f(x)0，即3x22x10，解得x或1.当x1或x0；当x1时，f(x)0.函数f(x)的单调递增区间是，(1，)，单调递减区间是.(2)由(1)可知，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x21(1,2)2f(x)00f(x
8、)1012由表中数据知，函数f(x)在x2处取得最大值2，在x2处取得最小值10，函数f(x)在闭区间2,2上的最大值为2，最小值为10.跟踪训练3.已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点(1)求a和b的值；(2)求f(x)在0，t上的最小值解析：(1)由f(x)x3ax2bx得，f(x)3x22axb.又因为1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点，所以3x22axb0的两个根为1和1.由根与系数的关系，得1(1)a0，1(1)b3，故a0，b3.(2)由(1)知f(x)x33x，所以f(x)3x233(x1)(x1)，由f(x)0得，x1或1.当t1时，在0
9、，t上，f(x)1时，在0,1上，f(x)0，故f(x)minf(1)2.综合得，当t1时，f(x)的最小值为t33t；当t1时，f(x)的最小值为2.类型四导数在实际问题中的应用题型特点以实际生活为出题背景，通过求利润最大、用料最省、体积(容积或面积)最大等问题考查分析、解决问题及建模的能力，题型有小题也有大题，属中等难度方法归纳在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，再利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点例4统计显示，某种
10、型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)与行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解析(1)当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了2.5(小时)，要耗油2.517.5(升)即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升(2)当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意，得h(x)x2(0x120)，则h(x)(0x120)令h(x)0，得x80，
11、当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25，也是最小值即当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升跟踪训练4.如图，四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)某公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，试求游乐园的最大面积解析：如图，以M点为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，则D(4,2)设抛物线方程为y22px.点D在抛物线上，228p.解得p.抛物线方程为y2x(0x4,0y2)设P(y2，y)(
12、0y2)是曲线MD上任一点，则|PQ|2y，|PN|4y2.矩形游乐园面积为S|PQ|PN|(2y)(4y2)8y32y24y.求导得，S3y24y4，令S0，得3y24y40，解得y或y2(舍)当y时，S0，函数为增函数；当y时，S0，当x(，)时，f(x)0，因此x1，x2分别为f(x)的极大值点、极小值点(2)由(1)的分析可知yf(x)图象的大致形状及走向如图所示要使直线ya与yf(x)的图象有3个不同交点需54f()af()54.则方程f(x)a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为(54，54)跟踪训练5.已知函数f(x)(a0)(1)当a1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数
13、F(x)f(x)1没有零点，求实数a的取值范围解析：(1)当a1时，f(x)，f(x).由f(x)0，得x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值所以，函数f(x)的极小值为f(2)，函数f(x)无极大值(2)F(x)f(x).当a0，解得ae2，所以此时e2a0.故实数a的取值范围为(e2,0)类型六利用导数解决不等式问题题型特点利用导数解决不等式问题是近几年高考的热点，主要有以下两个考查角度：一是证明不等式；二是由不等式恒成立问题求参数的取值范围通常以解答题形式作为最后一题的(2)(3)问考查，难度较大，属高档题方法归纳对于不等式的证
14、明问题，可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明，其一般步骤是：构造可导函数研究单调性或最值得出不等关系整理得出结论利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题例6设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x(1，)时，1x.解析(1)由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0解得x1.当0x
15、0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明：由(1)知f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0，所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln xx1，ln1，即11，f(0)4，则不等式f(x)1(e为自然对数的底数)的解集为()A(0，)B(，0)(3，)C(，0)(0，) D(3，)解析：由f(x)1，得exf(x)3ex.构造函数F(x)exf(x)ex3，得F(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1由f(x)f(x)1，ex0，可知F(x)0，即F(x)在R上单调递增又因为F(0)e0f(0)e03f(0)40，所以F(x)0的解
16、集为(0，)答案：A7已知函数f(x)ax2bxln x(a0，bR)(1)当a1，b1时，求f(x)的单调区间；(2)若对任意的x0，f(x)f(1)，试比较ln a与2b的大小解析：(1)由f(x)ax2bxln x，x(0，)，得f(x).a1，b1，f(x)(x0)令f(x)0，得x1(负值舍去)当0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)单调递增f(x)的单调递减区间是(0,1)，f(x)的单调递增区间是(1，)(2)由题意可知，f(x)在x1处取得最小值，即x1是f(x)的极值点，f(1)0，2ab1，即b12a.令g(x)24xln x(x0)，则g(x).令g(x)0，得x.
17、当0x0，g(x)单调递增；当x时，g(x)0，g(x)单调递减g(x)g1ln 1ln 40，g(a)0，即24aln a2bln a0，故ln a1时，f(x)x3.解析：(1)f(x)x，因为x2是一个极值点，所以20，则a4.此时f(x)x，因为f(x)的定义域是(0，)，所以当x(0,2)时，f(x)0，所以当a4时，x2是一个极小值点，则a4.(2)因为f(x)x，所以当a0时，f(x)0，f(x)的单调递增区间为(0，)当a0时，f(x)x，所以函数f(x)的单调递增区间(，)；递减区间为(0，)(3)证明：当a1时，f(x)x2ln x.设g(x)x3x2ln x，则g(x)2
18、x2x.因为当x1时，g(x)0，所以g(x)在x(1，)上为增函数，所以g(x)g(1)0，所以当x1时，x2ln xx3，即f(x)x3.授课提示：对应学生用书第76页1(2018高考全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2xByxCy2x Dyx解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即(x)3(a1)(x)2axx3(a1)x2ax，解得a1，f(x)x3x，f(x)3x21，f(0)1，f(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.答案：D2(2017高考江苏卷)已知函数f(x)x32xex，其中e是自然对数
19、的底数若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是_解析：f(x)3x22exex3x2220，f(x)在定义域内为单调递增函数又f(x)x32xexf(x)，f(x)为奇函数f(a1)f(2a2)0，f(a1)f(2a2)，即f(a1)f(2a2)又f(x)为单调递增函数，a12a2，即2a2a10，a.答案：3(2018高考北京卷)设函数f(x)ax2(3a1)x3a2ex.(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为0，求a.(2)若f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围解析：(1)由题意得f(x)(2ax3a1)exax2(3a1)x3a2exax2(a1)x1ex，f(2)4a2(a1)1e2(2a1)e2，又f(2)0，a.(2)由(1)得f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x1)ex，若a0；当x(1，)时，f(x)1，当x时，f(x)0，此时x1是f(x)的极小值若0a0；当x时，f(x)0，x1是f(x)极大值点a1，f(x)(x1)2ex0恒成立，f(x)为增函数，f(x)无极值综上，a的取值范围是(1，)
