1、综合检测(二)第二章解三角形(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知ABC中，c6，a4，B120，则b等于()A76B2C27D2【解析】由余弦定理，得b2a2c22accos B76，所以b2.【答案】B2在ABC中，A60，a4，b4，则B等于()A45或135 B135C45 D以上答案都不对【解析】由，得sin Bsin A.ba，BA60.B45.【答案】C3在ABC中，若2cos Bsin Asin C，则ABC的形状一定是()A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角
2、形【解析】由2cos Bsin Asin C得ac，ab.【答案】C4在ABC中，角A、B的对边分别为a、b，且A2B，则的取值范围是()A(0，) B(1，2)C(，1) D(0，2)【解析】AB，3B，B，2cos B(1，2)【答案】B5在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则acos Cccos A的值为()Ab B.C2cos B D2sin B【解析】acos Cccos Aacb.【答案】A6(2013曲师大附中高二检测)已知ABC中，AB，AC1，C120，则ABC的面积等于()A. B.C. D.【解析】设BCx，由余弦定理得，()2x212xcos 120，x2
3、x20，得x1或x2(舍去)BC1，SABCACBCsin 12011.【答案】B7如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D由增加的长度决定【解析】设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，三边都增加m，(am)2(bm)2(cm)2m22m(abc)0.abc，cos C0，C90，而由“大边对大角”，C是最大角，新三角形为锐角三角形【答案】A8(2013大冶高二检测)已知ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且tan B，则tan B等于()A. B.1C2 D2【解析】由得accos B，2accos B1.又由余弦
4、定理得b2a2c22accos Ba2c21，a2b2c21.tan B2.【答案】D9在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为()A. B.C.或 D.或【解析】由(a2c2b2)tan Bac得，即cos B，sin B，又B为ABC的内角，所以B为或.【答案】D图110如图1所示，某海上缉私小分队驾驶缉私船以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60方向航行进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45方向有一艘船C，若船C位于A处的北偏东30方向上，则缉私船在B处与船C的距离是()A5()km B5()kmC10()km D
5、10()km【解析】由题意可知ABC是等腰三角形，即ABAC20，ABCACB75，BAC30，由正弦定理得，BC10()(km)【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11在ABC中，若a7，b8，cos C，则最大角的余弦是_【解析】c2a2b22abcos C9，c3，B为最大角，cos B.【答案】12已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c，b，B120，则a_【解析】由正弦定理得，sin C，C30，AC30，ac.【答案】13已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，AC2B，则sin A_【解析
6、】在ABC中，ABC，又AC2B，3B，B，由正弦定理，sin A.【答案】14(2013商丘高二检测)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a2c2b2bc，b2，ABC的面积为2，则c_【解析】由a2c2b2bc得，b2c2a2bc.cos A.A60.SABCbcsin A2csin 602.c4.【答案】4三、解答题(本大题共4小题，共50分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)在ABC中，cos A，cos B.(1)sin C的值；(2)设BC5，求ABC的面积【解】(1)由cos A，得sin A，由cos B，得sin B.所以sin Csi
7、n(AB)sin Acos Bcos Asin B.(2)由正弦定理得AC.所以ABC的面积SBCACsin C5.16(本小题满分12分)锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2bsin A.(1)求B的大小；(2)若a3，c5，求b.【解】(1)根据正弦定理，由a2bsin A得sin A2sin Bsin A，又sin A0，sin B，又B，B.(2)在ABC中，根据余弦定理得，b2a2c22accos B27252537.b.17(本小题满分12分)在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccos Bcos C，试判断ABC的形状【解】法一由正弦定理和已知
8、条件得：sin2Bsin2Csin2Csin2B2sin Bsin Ccos Bcos C，sin Bsin C0，sin Bsin Ccos Bcos C，即cos(BC)0，B、C为ABC的内角，BC90，A90故ABC为直角三角形法二原等式变形为：b2(1cos2C)c2(1cos2B)2bccos Bcos C，即：b2c2b2cos2Cc2cos2B2bccos Bcos C，由余弦定理得：b2c2b2()2c2()22bcb2c2b2c2a2.故ABC为直角三角形图218(本小题满分14分)如图2，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60的C处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60的B处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距离海岛5千米的E港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)【解】轮船从点C到点B用时80分钟，从点B到点E用时20分钟，而船始终匀速航行，由此可见，BC4EB.设EBx，则BC4x，由已知得BAE30，在AEC中，由正弦定理得，即sin C，在ABC中，由正弦定理得，即AB.在ABE中，由余弦定理得BE2AE2AB22AEABcos 302525，所以BE(千米)故轮船的速度为v(千米/小时)
