1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评 六十五圆锥曲线与其他知识的交汇问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,抛物线的焦点为F,且,4,成等差数列,则k= ()A.2或-1B.-1C.2D.1【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2).由 消去y,得k2x2-4x+4=0,故=16-16k2=640,解得k-1,且x1+x2=.由=x1+=x1+2,=x2+=x2+2,且,4,成等差数列,得x1+2+x2+2=
2、8,得x1+x2=4,所以=4,解得k=-1或k=2,又k-1,故k=2.2.如图,F1,F2分别是双曲线-=1(a0,b0)的两个焦点,以坐标原点O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A,B两点,若F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为()A.B.2C.-1D.+1【解析】选D.连接AF1,依题意知:=,2c=2,所以2a=-=(-1),e=+1.3.已知抛物线C:y2=x,M为x轴负半轴上的动点,MA,MB为抛物线的切线,A,B分别为切点,则的最小值为()A.-B.-C.-D.-【解析】选A.设切线MA的方程为x=ty+m.代入抛物线方程得y2-ty-m=0.由直线与抛物线相切
3、得=t2+4m=0,m=-,所以M,则A,B.故=-=-.当t=时,的最小值为-.4.已知双曲线C1:-y2=1,双曲线C2:-=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C2的一条渐近线上的点,且OMMF2,O为坐标原点,若OMF2的面积S=16,且双曲线C1,C2的离心率相同,则双曲线C2的实轴长是()A.32B.16 C.8D.4【解析】选B.双曲线C1:-y2=1的离心率为,设F2(c,0),双曲线C2一条渐近线方程为y=x,则|F2M|=b,即|OM|=a,由S=16得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,=,解得a=8,b=4,c=4,即双曲线的实轴长为16.二、
4、填空题(每小题5分,共20分)5.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则的最小值为_.【解析】点P为椭圆+=1上的任意一点,设P(x,y)(-3x3,-2y2),依题意得左焦点F(-1,0),所以=(x,y),=(x+1,y),所以=x(x+1)+y2=x2+x+=x2+x+8.记f(x)=x2+x+8,对称轴x=-,又x-3,3,所以f(x)在-3,3上单调递增,故f(x)f(-3)=6,所以的最小值为6.答案:66.阿基米德(公元前287年公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短
5、半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为20,则椭圆C的标准方程为_.【解析】依题意设椭圆C的方程为+=1(ab0),则椭圆C的面积为S=ab=20,又e=,解得a2=25,b2=16.则椭圆C的标准方程为+=1.答案:+=17.已知平面上有两定点A、B,该平面上一动点P与两定点A、B的连线的斜率乘积等于常数m(mR),则动点P的轨迹可能是下面哪种曲线:直线;圆;抛物线;双曲线;椭圆_(将所有可能的情况用序号都写出来).【解析】设=2a(a0),以AB所在直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A,B,设P的坐标为(xa),则kPA=,
6、kPB=,由题意,=m,即y2=mx2-ma2.当m=0时,方程化为y=0,表示直线;当m=-1时,方程化为x2+y2=a2,表示圆;当m0时,方程化为-=1,表示双曲线;当m0且m-1时,方程化为+=1,表示椭圆,所以动点P的轨迹可能是:直线;圆;双曲线;椭圆.答案:8.(2020宿州模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为抛物线C上异于顶点O的一点,点B的坐标为(a,b)(其中a,b满足b2-4ab0)的一个焦点为F(1,0),点P在C上.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l:y=x+m与椭圆C相交于A,B两点,问y轴上是否存在点M,使得ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形?若存在
7、,求点M的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意可得c=1,点P在C上,所以+=1,又a2=b2+c2=b2+1,解得a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)假设y轴上存在点M,使ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形,设A,B,线段AB的中点为N,由 ,消去y可得7x2+8mx+4m2-12=0,=64m2-28=480,解得m20)的左焦点F与抛物线C2:y2=-2px(p0)的焦点重合,M是C1与C2在第二象限内的交点,抛物线的准线与x轴交于点E,且|ME|=.(1)求椭圆C1及抛物线C2的方程.(2)过E作直线l交椭圆C1于A,B两点,则在椭圆的长轴上是否存在点N,
8、使得为定值?若存在,求出点N的坐标及定值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由两曲线焦点重合,知=,由椭圆的对称性,知E为椭圆的右焦点,连接MF,由椭圆的定义知|MF|+|ME|=4,则|MF|=4-=.设M(xM,yM),过点M作准线的垂线,垂足为H,由抛物线的定义知|MF|=|MH|=,因而yM=,xM=-,代入+=1中,得+=1,与=联立,得p=2,b2=3,所以椭圆的方程为+=1,抛物线的方程为y2=-4x.(2)由(1)知E(1,0),若直线l的斜率存在,设直线方程为y=k(x-1),由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=.假设点N存在,其坐标为(m,0),其中-2m2,=(x1-m,y1)(x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+k(x1-1)k(x2-1)=(1+k2)x1x2-(m+k2)(x1+x2)+m2+k2=(1+k2)-(m+k2)+m2+k2=.若为定值,则满足=,得m=,定值为-.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,不妨设其与椭圆+=1的交点为A1,B1,-,又N,0,则=-,-,-=-,综上,在椭圆的长轴上存在点N,0,使得=-,为定值.关闭Word文档返回原板块
