1、1方程解的存在性及方程的近似解11利用函数性质判定方程解的存在性新课程标准解读核心素养1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系数学抽象、直观想象、数学运算2.了解函数零点存在定理，会判断函数零点的个数直观想象、逻辑推理路边有一条河，小明从A点走到了B点观察下列两幅图问题推断哪一幅能说明小明一定曾渡过河？知识点一函数的零点1函数的零点使得f(x0)0的数x0称为方程f(x)0的解，也称为函数f(x)的零点f(x)的零点就是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：1函数的零点是实数，而不是点如函数f(x)x1的零点是1，而不是
2、(1，0)2并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)，yx21均没有零点3若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内 1函数f(x)log2x的零点是()A1B2C3 D4答案：A2函数f(x)(x1)(x23x10)的零点有_个答案：3知识点二函数零点存在定理若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)f(b)0，则在开区间(a，b)内，函数yf(x)至少有个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)0至少有个解1函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？提示：
3、只能判断有无零点，不能判断零点的个数2函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)0.1(2021宁德高一月考)函数f(x)x3x1的零点所在的区间是()A(2，1) B(1，0)C(0，1) D(1，2)解析：选Af(2)5，f(1)1，f(0)1，f(1)1，f(2)7.因为f(2)f(1)0，f(0)f(1)0，f(1)f(2)0，所以函数f(x)x3x1的零点所在的区间是(2，1)，故选A.2若函数yax2x1只有一个零点，则实数a_解析：当a0时，令yx10，解得x1，符合题意；当a0时，函数yax2x1为二次函数，因为函数yax2x1只有一个零点，所以14a
4、0，解得a，符合题意故实数a0或.答案：0或求函数的零点例1(1)求函数f(x)的零点；(2)已知函数f(x)axb(a0)的零点为3，求函数g(x)bx2ax的零点解(1)当x0时，令x22x30，解得x3；当x0时，令2ln x0，解得xe2.所以函数f(x)的零点为3和e2.(2)由已知得f(3)0，即3ab0，则b3a，故g(x)3ax2axax(3x1)令g(x)0，即ax(3x1)0，解得x0或x.所以函数g(x)bx2ax的零点为0和.函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来图象
5、与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 跟踪训练1函数f(x)2x23x1的零点是()A，1B.，1C.，1 D，1解析：选B方程2x23x10的两根分别为x11，x2，所以函数f(x)2x23x1的零点是，1.2若f(x)则函数g(x)f(x)x的零点为_解析：求g(x)的零点即求f(x)x的根，或解得x1或x1.g(x)的零点为1，1.答案：1，1函数零点个数问题角度一判断函数零点个数例2求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数解法一：f(0)10210，f(x)在(0，1)上必定存在零点又显然f(x)2xlg(x1)2在(1，)上为增函数故函数f(x)有且只有一个零点法二：在同一坐标系下作
6、出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草图由图象知g(x)lg(x1)的图象和h(x)22x图象有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点判断函数零点个数的4种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点；(2)画出函数yf(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数；(3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定yf(x)在(a，b)上零点的个数；(4)转化成两个函数图象的交点问题 角度二根据零点个数求参数范围例3已知函数f(x)(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A(，1) B(，0)C(1，0) D1，0)
7、解析当x0时，f(x)3x1有一个零点x.因此当x0时，f(x)exa0只有一个实根，aex(x0)，则1a0时，由f(x)ln x0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点，令f(x)0得a2x，因为02x201，所以0a1，所以实数a的取值范围是(0，1答案：(0，1方程在某区间内解的情况问题例4(链接教科书第129页例1、例2)求证：方程3x在区间(0，1)内必有一个实数根证明设函数f(x)3x3x1，则函数f(x)在(0，1)上单调递增而f(0)30210，f(0)f(1)0，因为函数f(x)在区间(0，1)内的图象是一条连续曲线，所以由零点
8、存在定理可知函数f(x)在区间(0，1)内有零点，且只有一个所以方程3x在区间(0，1)内必有一个实数根判断方程在区间内解的存在性问题的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；(2)利用零点存在定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点；(3)数形结合法：通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断提醒函数零点存在定理是不可逆的，f(a)f(b)0函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，但是函数yf(x)在(a，b)内有零点，不一定能推出f(a
9、)f(b)0. 跟踪训练1方程2xa0的一个解在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A(1，3) B(1，2)C(0，3) D(0，2)解析：选C设函数f(x)2xa，易知函数f(x)2xa在区间(1，2)内是增函数，又方程2xa0的一个解在区间(1，2)内，所以解得0a3.故选C.2方程ln xx30在区间(2，3)内有没有解？为什么？解：设函数f(x)ln xx3，因为f(2)ln 223ln 210，且f(x)的图象是一条连续的曲线，所以由零点存在定理可知方程f(x)0在区间(2，3)内有解，即方程ln xx30在区间(2，3)内有解1(多选)下列图象表示的函数中有两个零点的有()
10、解析：选CD有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点，故选C、D.2根据表格中的数据可以判定方程ln xx20的一个根所在的区间为()x12345ln x00.6931.0991.3861.609x210123A(1，2) B(2，3)C(3，4) D(4，5)解析：选C设f(x)ln xx2ln x(x2)，易知函数f(x)在(1，)上的图象连续，由表格数据得f(3)ln 3(32)1.09910.0990，f(4)ln 421.38620，f(2)0，f(5)0，则f(3)f(4)0，即在区间(3，4)上，函数f(x)存在一个零点，即方程ln xx20的一个根所在的区间为(3，4)，故选C.3已知函数f(x)g(x)3x，则方程f(x)g(x)的解的个数是()A2 B3C4 D5解析：选C因为函数f(x)当x2时，f(x)2x1是增函数，且f(x)0，解得a.5若方程x2(m2)x10的两个根分别在区间(0，1)和(1，2)之内，则实数m的取值范围为_解析：方程x2(m2)x10的两个零点分别在区间(0，1)和(1，2)之内，即解得m0.答案：
