1、福建省福州第一中学2020届高三数学下学期教学反馈检测试题 理（含解析）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】分析】利用复数的乘法和除法运算，化简z，再令实部为0，即得解.【详解】由于若为纯虚数，则故选：B【点睛】本题考查了复数的基本概念和四则运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.2.已知向量，满足，则（ ）A. B. C. 3D. 7【答案】B【解析】【分析】由，求解，再根据即得解.【详解】由于故选：B【点睛】本题考查了
2、向量数量积在模长求解中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.3.已知，为自然对数的底数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用的单调性，和中间值0，1即得解.【详解】利用的单调性可得，因此故选：B【点睛】本题考查了指数，对数值的大小比较，指数，对数函数的单调性，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题.4.已知，是两个不重合的平面，直线，直线，：，：，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】充分性如图可构造为平行四边形，可证明，必要性，可构造反例，平面相交，当直线在关于交
3、线对称的位置，有，故必要性不成立.【详解】充分性：若，可知四点共面，连接，由于，平面，为平行四边形，故充分性成立;必要性：如图所示，平面相交，当直线在关于交线对称的位置，有，故必要性不成立.故选：A【点睛】本题考查了空间中的平行对称关系，考查了学生空间想象，逻辑推理能力，属于中档题.5.纸是由国际标准化组织的216定义的，其纸张尺寸的长宽比都是，这种规格的纸张不管对折多少次，都仍是长宽比还是的长方形，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准.如图是一个尺寸的长方形内接于一个半圆，在这个半圆中随机取一点，此点取自长方形区域的概率（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设
4、圆心为O，由于，由勾股关系可得，计算，由面积测度的几何概型，计算即得解.【详解】设圆心为O，半径为由于由面积测度的几何概型：在这个半圆中随机取一点，此点取自长方形区域的概率【点睛】本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.6.若将函数图象上的每一个点都向左平移个单位，得到的图象，若函数是偶函数，则函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数是偶函数，可计算得结合，可得，故，令，即得解.【详解】由题意：若函数是偶函数，则又令则函数的单调递减区间为：故选：D【点睛】本题考查了正弦型函数的图像变换和性质，考查了学生综
5、合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】模拟程序运行，由题意，依次写出每次得到的A值，观察规律即得解.【详解】模拟程序运行，可得：；满足条件：，执行循环体，满足条件：，执行循环体，此时不满足条件，退出循环，输出A的值为：由A的规律可知，故选：C【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于基础题.8.已知数列，都是公差为1的等差数列，且，设，则数列的前7项和等于（ ）A. 17B. 26C. 35D. 44【答案】C【解析】【分析】可证明，由等差数列的求和公式
6、，即得解.【详解】，故数列是公差为1的等差数列，所以的前7项和为.故选：C【点睛】本题考查了等差数列的判定和求和，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9.奥运会乒乓球单打的淘汰赛采用七局四胜制，猜先后由一方先发球，双方轮流先发球，当一方赢得四局胜利时，该方获胜，比赛结束，现有甲、乙两人比赛，根据前期比赛成绩，单局甲先发球并取胜的概率为0.8，乙先发球并取胜的概率为0.4，且各局比赛的结果相互独立；如果第一局由乙先发球，则甲以获胜的概率是（ ）A. 0.1024B. 0.2304C. 0.2048D. 0.4608【答案】B【解析】【分析】由于甲以获胜，一共进行了4局比赛，
7、且每局都是甲获胜，根据事件的独立性，即得解.【详解】由于甲以获胜，一共进行了4局比赛，且每局都是甲获胜，且甲先发球并取胜的概率为0.8，乙先发球并取胜的概率为0.4，因此 故选：B【点睛】本题考查了随机事件独立性的综合应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算能力，属于中档题.10.在棱长为6的正方体中，点满足，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设球心为P，P到三点的距离相等，由正方体的性质，P点在直线上，如图建立空间直角坐标系，可求解P点坐标，可得解半径R，即得解.【详解】连接，如图建立空间直角坐标系，设P为三棱锥的外接球的球心，故P到三点的
8、距离相等，由正方体的性质，P点在直线上不妨设由于外接球半径： 故表面积故选：C【点睛】本题考查了三棱锥外接球的半径，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.11.过点作抛物线的两条切线，设，与轴分别交于点，则的外接圆方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设切线方程为：，与抛物线联立，表示线段的中垂线方程，可求解圆心坐标和半径，表示圆的方程即可.【详解】设过点的抛物线的切线方程为：，即（*），代入得，由得，（1）所以方程（1）有两个不相等的实数根，且，在（*）中令得，设外接圆圆心为点，则，下求：线段中点横标，纵标，线段的中垂线方程为，令得，由（1）知，故
9、，设的外接圆半径为，则，所以的外接圆方程为，即.故选：A【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，圆的方程，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12.已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（ ）A. 1B. 3C. 4D. 9【答案】D【解析】【分析】转化为，记，则，设利用导数分析函数单调性，可得，数形结合可得，利用韦达定理即得解.【详解】由得，即，记，且设，一方面由得（*），当时方程（*）有两个不相等的实数根，且，；另一方面，由知在上单调递减，在上单调递增，当时，当时，如图：，且，因此.故选：D【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数
10、学运算的能力，属于较难题.第卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设不等式组表示的平面区域为，若直线经过区域内的点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】如图画出不等式组表示的平面区域，若直线经过区域内的点，当经过点A时取得最大值，当经过点B时取得最小值，计算即得解.【详解】如图画出不等式组表示的平面区域，若直线经过区域内的点，当经过点A时取得最大值，当经过点B时取得最小值.故答案为：【点睛】本题考查了线性规划问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.14.已知数列中，则_.【答案】-9【解析】【分析】当为奇数时，当为偶数时，利用叠加法即得解.【
11、详解】当奇数时，当为偶数时，故故答案为:-9【点睛】本题考查了利用叠加法求通项公式，考查了学生转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.15.已知双曲线的左、右顶点分别为、，过点作斜率为1的直线，与双曲线的一条渐近线交于点，垂直轴于点，又过点作与平行的直线，与双曲线交于第一象限的点，垂直轴于点，且与的面积的比为4，则双曲线的离心率_.【答案】【解析】【分析】设点，可得，设点，代入双曲线方程，可得，结合，可得解.【详解】如图，设点，由得，又设点，则，得，由于与的面积的比为4，知得，故.故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.1
12、6.在锐角中，则的取值范围是_，的取值范围是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由得，利用锐角，可得A的取值范围，记，利用导数研究函数单调性，即得解.【详解】由得，故，得；所求为，记，故在上单调递减，在上单调递增，故的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了三角函数和导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，的周长为，求的面积.【答
13、案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由同角三角函数啊和正弦定理，可转化为，可得，即得解；（2）由余弦定理：和，的周长可得解，a,b,c，结合面积公式，即得解.【详解】（1）由 以及正弦定理，因为，故故，而，因此因为，所以（2）由，以及余弦定理：知，又故，由于的周长为故，故，故因此的面积为【点睛】本题考查了解三角形的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.18.如图，在几何体中，四边形为菱形，且，平面，. （1）求证：平面平面；（2）为中点，当，时，求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明，继而可证平面，故得证平面平面（2）如图建立空
14、间直角坐标系，求解平面，平面的法向量，利用二面角的向量公式即得解.【详解】（1）因为平面，所以平面，故又四边形为菱形，故又，是平面内两条相交的直线，故平面，又平面，因此平面平面（2） 取线段中点，连接，以点为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系则点，设平面的法向量为，则即，可取又设平面的法向量，则即，可取故，因此二面角的正弦值为【点睛】本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.19.已知以椭圆的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形面积为9.（1）求椭圆的方程；（2）矩形在轴右侧，且顶点、在直线上，顶点、在椭圆上，若矩形的面积为
15、，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意知,求解a代入即得解；（2）设直线：,利用弦长公式，平行线间距离公式，可得，,利用，构造，研究函数单调性，即可得解.【详解】（1）依题意知，所以故椭圆的方程为（2）设直线：把代入：得（*）由判别式得，此时方程（*）有两个不相等的实数根，且，可得，由平行线间的距离公式：由可得记，其中，则函数在上单调递减且，故，因此直线的方程为【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.20.在全球关注的抗击“新冠肺炎”中，某跨国科研中心的一个团队，研制了甲、乙两种治疗“新冠肺炎”新药，希望知道哪种新药
16、更有效，为此进行动物试验，试验方案如下：第一种：选取共10只患病白鼠，服用甲药后某项指标分别为：；第二种：选取共10只患病白鼠，服用乙药后某项指标分别为：；该团队判定患病白鼠服药后这项指标不低于85的确认为药物有效，否则确认为药物无效.（1）已知第一种试验方案的10个数据的平均数为89，求这组数据的方差；（2）现需要从已服用乙药的10只白鼠中随机抽取7只，记其中服药有效的只数为，求的分布列与期望；（3）该团队另一实验室有1000只白鼠，其中900只为正常白鼠，100只为患病白鼠，每用新研制的甲药给所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有变为正常白鼠，但正常白鼠仍有变为患病白鼠，假设实验室的所有白鼠都
17、活着且数量不变，且记服用次甲药后此实验室正常白鼠的只数为.（i）求并写出与的关系式；（ii）要使服用甲药两次后，该实验室正常白鼠至少有950只，求最大的正整数的值.【答案】（1）6.2（2）见解析，（3），（i）（ii）【解析】【分析】（1）利用题设数据及方差的定义求解即可；（2）利用超几何概型的概率公式计算概率，列分布列，即得解.（3）（i）依题设知，即得解；（ii），代入，构造函数即得解.【详解】（1）方差（2）在第二种试验中服药有效的白鼠有4只，服药无效的白鼠有6只，故的可能取值为1，2，3，4，因此的分布列为1234（3）（）依题设知，即（），由可得记函数，其中，则函数在上单调递减，且
18、，故最大的正整数【点睛】本题考查了统计、概率，数列综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.21.已知函数（，为自然对数的底数），是的导数.（1）当时，求证：；（2）是否存在整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值，并证明你的结论；若不存在，也请说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，最大整数，【解析】【分析】（1）转化为，由于，可证明函数在上单调递增，即得解；（2）记，当，可证明，矛盾，故，当时，设，即得解.【详解】（1），当时，所以函数在上单调递增，当时，所以函数在上单调递增，当时，即（2）对于，记，当时，此时，设，若，记，则时，当，与矛盾，因此下证时恒成立，即等
19、价于设，则由（1）知，故在上单调递减，在上单调递增，所以因此，故，即所以存在最大整数，使得对一切恒成立【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知曲线的极坐标方程为（，），点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，、均异于原点，且，求实数的值.【答案】（1）：，:（2）或【解析】【分析】（1
20、）消去参数,可得曲线的普通方程，利用可得直角坐标方程；（2）将曲线化为极坐标方程，利用极坐标方程的几何意义，结合辅助角公式，即得解.【详解】（1）曲线的参数方程为,消去参数，可得曲线的普通方程为：故：曲线的极坐标方程为.又故：的直角坐标方程为：.（2）曲线：化为极坐标方程为设点，依题设知，所以由知因，故或因此或【点睛】本题考查了极坐标，参数方程与一般方程的互化，以及利用极坐标的几何意义解决线段长度问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.23.设函数，.（1）解不等式；（2）若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）转化为为即得解；（2）转化为，在同一直角坐标系中作和的图象，数形结合即得解.【详解】（1）等价于，即故不等式的解集为（2）即，在同一直角坐标系中作和的图象其图象为：图中点，点，点，要使恒成立，必须或因此实数的取值范围是【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
