1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练 五十三曲线与方程30分钟60分一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020乐山模拟)已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|+=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x【解析】选B.=(4,0),=(x+2,y),=(x-2,y).所以|=4,|=,=4(x-2),根据已知条件得4=4(2-x).整理得y2=-8x.所以点P的轨迹方程为y2=-8x.2.在ABC中,B
2、(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:条件方程ABC周长为10C1:y2=25ABC面积为10C2:x2+y2=4(y0)ABC中,A=90C3:+=1(y0)则满足条件,的轨迹方程依次为()A.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C2【解析】选A.ABC的周长为10,即|AB|+|AC|+|BC|=10,又因为|BC|=4,所以|AB|+|AC|=6|BC|,此时动点A的轨迹方程为C3;ABC的面积为10,所以BC|y|=10,即|y|=5,与C1对应;因为A=90,所以=(-2
3、-x,-y)(2-x,-y)=x2+y2-4=0,与C2对应.故选A.3.(2020普洱模拟)设点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程为()A.y2=2xB.(x-1)2+y2=4C.y2=-2xD.(x-1)2+y2=2【解析】选D.如图,设P(x,y),圆心为M(1,0).连接MA,PM,则MAPA,且|MA|=1,又因为|PA|=1,所以|PM|=,即|PM|2=2,所以(x-1)2+y2=2.4.如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点
4、P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【解析】选A.由条件知|PM|=|PF|.所以|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R|OF|.所以P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆.5.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=1+2(O为原点),其中1,2R,且1+2=1,则点C的轨迹是()A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线【解析】选A.设C(x,y),因为=1+2,所以(x,y)=1(3,1)+2(-1,3),即解得又1+2=1,所以+=1,即x+2y=5,所以点C的轨迹是直线.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020柳州模拟)如图,点F(a,0
5、)(a0),点P在y轴上运动,M在x轴上运动,N为动点,且=0,+=0,则点N的轨迹方程为_.【解析】由题意,知PMPF且P为线段MN的中点,连接FN,延长FP至点Q使P恰为QF的中点;连接QM,QN,则四边形FNQM为菱形,且点Q恒在直线l:x=-a上,故点N的轨迹是以点F为焦点,直线l为准线的抛物线,其方程为y2=4ax(a0).答案:y2=4ax(a0)7.ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是_.【解析】如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线定义,
6、所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,故方程为-=1(x3).答案:-=1(x3)8.已知点A,B分别是射线l1:y=x(x0),l2:y=-x(x0)上的动点,O为坐标原点,且OAB的面积为定值2,则线段AB中点M的轨迹方程为_.【解析】由题意可设A(x1,x1),B(x2,-x2),M(x,y),其中x10,x20,则因为OAB的面积为定值2,所以SOAB=|OA|OB|=(x1)(x2)=x1x2=2.2-2得x2-y2=x1x2,而x1x2=2,所以x2-y2=2.由于x10,x20,所以x0,即所求点M的轨迹方程为x2-y2=2(x0).答案:x2-y2=2(x0)三、
7、解答题(每小题10分,共20分)9.已知点C(1,0),点A,B是O:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足=0,设P为弦AB的中点.(1)求点P的轨迹T的方程.(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)连接CP,OP,由=0,知ACBC,所以|CP|=|AP|=|BP|=|AB|,由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2,即|OP|2+|CP|2=9,设点P(x,y),有(x2+y2)+(x-1)2+y2=9,化简,得x2-x+y2=4.(2)存在.根据抛物线的定义,到直线x=-1
8、的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2=2px(p0)上,其中=1.所以p=2,故抛物线方程为y2=4x,由方程组得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4,由x0,故取x=1,此时y=2.所以满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2).10.已知点A(-2,0),P是O:x2+y2=4上任意一点,P在x轴上的射影为Q,=2,动点G的轨迹为C,直线y=kx(k0)与轨迹C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N.(1)求轨迹C的方程.(2)以MN为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.【解析】(1)设G(x,y),所以Q(x,0
9、),因为=2,所以P(x,2y),因为P在O:x2+y2=4上,所以x2+4y2=4.所以轨迹C的方程为+y2=1.(2)经过定点.设点E(x0,y0)(不妨设x00),则点F(-x0,-y0).由消去y得x2=.所以x0=,则y0=.所以直线AE的方程为y=(x+2).则M.同理可得点N.所以|MN|=.设MN的中点为P,则点P的坐标为.则以MN为直径的圆的方程为x2+=,即x2+y2+y=1.令y=0,得x2=1,即x=1或x=-1.故以MN为直径的圆经过两定点(1,0),(-1,0).20分钟40分1.(5分)已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,若=,则点P的
10、轨迹方程为()A.y=-2xB.y=2xC.y=2x-8D.y=2x+4【解析】选B.设P(x,y),R(x1,y1),由=知,点A是线段RP的中点,所以即因为点R(x1,y1)在直线y=2x-4上,所以y1=2x1-4,所以-y=2(2-x)-4,即y=2x.2.(5分)(2020安顺模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若=2,且=1,则点P的轨迹方程是()A.x2+3y2=1(x0,y0)B.x2-3y2=1(x0,y0)C.3x2-y2=1(x0,y0)D.3x2+y2=1(x0,y0)【解析】选A.设A(a
11、,0),B(0,b),a0,b0.由=2得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=x0,b=3y0,点Q(-x,y),故由=1得(-x,y)(-a,b)=1,即ax+by=1.将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x0,y0).3.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得的线段长为2,在y轴上截得的线段长为2,则圆心P的轨迹方程为_.【解析】设P(x,y),圆P的半径为r,由题设知y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3,故圆心P的轨迹方程为y2-x2=1.答案:y2-x2=14.(5分)设F1,F2为椭圆+=1的左、右焦点,A为椭圆上任意
12、一点,过焦点F1向F1AF2的外角平分线作垂线,垂足为D,则点D的轨迹方程是_.【解析】由题意,延长F1D,F2A相交于点B,易证RtABDRtAF1D,则|F1D|=|BD|,|F1A|=|AB|,又O为F1F2的中点,连接OD,则ODF2B,从而可知|DO|=|F2B|=(|AF1|+|AF2|)=2,设点D的坐标为(x,y),则x2+y2=4.答案:x2+y2=45.(10分)设F(1,0),点M在x轴上,点P在y轴上,且=2,当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹方程.【解析】设M(x,0),P(0,y),N(x,y),由=2,得(x-x,y)=2(-x,y),所以解得因为,=(x,-y)
13、,=(1,-y)所以(x,-y)(1,-y)=0,即x+y2=0,所以-x+=0,即y2=4x.因此所求的轨迹方程为y2=4x.6.(10分)在直角坐标系xOy中,长为+1的线段的两端点C,D分别在x轴、y轴上滑动,= .记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程.(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A,B两点,=+,当点M在曲线E上时,求四边形AOBM的面积.【解析】(1)设C(m,0),D(0,n),P(x,y).由=,得(x-m,y)=(-x,n-y),所以解得由|=+1,得m2+n2=(+1)2,所以(+1)2x2+y2=(+1)2,整理,得曲线E的方程为x2+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由=+,知点M坐标为(x1+x2,y1+y2),且AOBM为平行四边形.由题意知,直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+1,代入曲线E的方程,得(k2+2)x2+2kx-1=0,则x1+x2=-,x1x2=-.y1+y2=k(x1+x2)+2=.由点M在曲线E上,知(x1+x2)2+=1,即+=1,解得k2=2.这时|AB|=|x1-x2|=,原点到直线AB的距离d=,所以平行四边形AOBM的面积S=|AB|d=.关闭Word文档返回原板块
