1、第4讲利用导数求参数的取值范围一、选择题1已知函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围是()A1,1B1,)C1,)D(,1解析f(x)mx20对一切x0恒成立,m2.令g(x)2,则当1,即x1时,函数g(x)取最大值1.故m1.答案C2(2014广州调研)函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是()A0,1)B(1,1)C.D(0,1)解析f(x)3x23a3(x2a)当a0时,f(x)0,f(x)在(0,1)内单调递增,无最小值当a0时,f(x)3(x)(x)当x(,)和(,)时,f(x)单调递增;当x(,)时,f(x)单调递减所以当1
2、,即0a1时,f(x)在(0,1)内有最小值答案D3已知函数f(x)x32x23m,x0,),若f(x)50恒成立,则实数m的取值范围是()A.BC(,2D(,2)解析f(x)x24x,由f(x)0,得x4或x0.f(x)在(0,4)上递减,在(4,)上递增,当x0,)时,f(x)minf(4)要使f(x)50恒成立,只需f(4)50恒成立即可,代入解之得m.答案A4已知函数f(x)x3ax23x1有两个极值点,则实数a的取值范围是 ()A(,)B(,)C(,)D(,)(,)解析f(x)x22ax3.由题意知方程f(x)0有两个不相等的实数根,所以4a2120,解得:a或a.答案D二、填空题5
3、已知函数f(x)x2mxln x是单调递增函数,则m的取值范围是_解析依题意知,x0,f(x).令g(x)2x2mx1,x(0,),当0时,g(0)10恒成立,m0成立;当0时,则m280,2m0.综上,m的取值范围是m2.答案2,)6若函数f(x)x24x3ln x在t,t1上不单调,则t的取值范围是_解析对f(x)求导,得f(x)x4.由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t1)内,函数f(x)在区间t,t1上就不单调,所以t1t1或t3t1,解得0t1或2t0,因此函数f(x)在0,1上单调递增,所以x0,1时,f(x)minf(0)1.根据
4、题意可知存在x1,2,使得g(x)x22ax41,即x22ax50,即a能成立,令h(x),则要使ah(x)在x1,2能成立,只需使ah(x)min,又函数h(x)在x1,2上单调递减(可利用导数判断),所以h(x)minh(2),故只需a.答案三、解答题9已知函数f(x)x22aln x.(1)若函数f(x)的图象在(2,f(2)处的切线斜率为1,为求实数a的值;(2)若函数g(x)f(x)在1,2上是减函数,求实数a的取值范围解(1)f(x)2x.由已知f(2)1,解得a3.(2)由g(x)x22aln x,得g(x)2x.由函数g(x)为1,2上的单调减函数,则g(x)0在1,2上恒成立
5、,即2x0在1,2上恒成立,即ax2在1,2上恒成立令h(x)x2,在1,2上h(x)2x0,所以h(x)在1,2上为减函数,h(x)minh(2).所以a.10(2014北京西城区一模)已知函数f(x)ln x,其中aR.(1)当a2时,求函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程;(2)如果对于任意x(1,),都有f(x)x2,求a的取值范围解(1)由f(x)ln x,得f(x), 所以f(1)3.又因为f(1)2,所以函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程为3xy50.(2)由f(x)x2,得ln xx2,即axln xx22x.设函数g(x)xln xx22x,则g(x
6、)ln x2x1.因为x(1,),所以ln x0,2x10,所以当x(1,)时,g(x)ln x2x10,故函数g(x)在x(1,)上单调递增,所以当x(1,)时,g(x)g(1)1.因为对于任意x(1,),都有f(x)x2成立,即对于任意x(1,),都有ag(x)成立,所以a1.11(2014山西临汾四校联考)已知函数f(x).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设g(x)x22x3,证明:对任意x1(1,2)(2,),总存在x2R,使得f(x1)g(x2)(1)解f(x),设h(x)2ln(x1)x1,则h(x)0,h(x)在(1,)上是单调递增函数,又h(2)0,当x(1,2)时,h(
7、x)0,则f(x)0,f(x)是单调递减函数;当x(2,)时,h(x)0,则f(x)0,f(x)是单调递增函数综上知:f(x)在(1,2)上是单调递减函数;在(2,)上是单调递增函数(2)证明对任意x1(1,2)(2,),总存在x2R,使得f(x1)g(x2)恒成立等价于f(x)g(x)min恒成立,而g(x)min2,即证f(x)2恒成立,即证20恒成立,也就是证0,设G(x)ln(x1)2,G(x)0,G(x)在(1,)上是单调递增函数,又G(2)0,当x(1,2)时,G(x)0,则0,当x(2,)时,G(x)0,则0,综上可得:对任意x1(1,2)(2,),总存在x2R,使得f(x1)g(x2)