1、第4讲利用导数求参数的取值范围一、选择题1已知函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是()A1,1B1，)C1，)D(，1解析f(x)mx20对一切x0恒成立，m2.令g(x)2，则当1，即x1时，函数g(x)取最大值1.故m1.答案C2(2014广州调研)函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是()A0,1)B(1,1)C.D(0,1)解析f(x)3x23a3(x2a)当a0时，f(x)0，f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值当a0时，f(x)3(x)(x)当x(，)和(，)时，f(x)单调递增；当x(，)时，f(x)单调递减所以当1
2、，即0a1时，f(x)在(0,1)内有最小值答案D3已知函数f(x)x32x23m，x0，)，若f(x)50恒成立，则实数m的取值范围是()A.BC(，2D(，2)解析f(x)x24x，由f(x)0，得x4或x0.f(x)在(0,4)上递减，在(4，)上递增，当x0，)时，f(x)minf(4)要使f(x)50恒成立，只需f(4)50恒成立即可，代入解之得m.答案A4已知函数f(x)x3ax23x1有两个极值点，则实数a的取值范围是 ()A(，)B(，)C(，)D(，)(，)解析f(x)x22ax3.由题意知方程f(x)0有两个不相等的实数根，所以4a2120，解得：a或a.答案D二、填空题5
3、已知函数f(x)x2mxln x是单调递增函数，则m的取值范围是_解析依题意知，x0，f(x).令g(x)2x2mx1，x(0，)，当0时，g(0)10恒成立，m0成立；当0时，则m280，2m0.综上，m的取值范围是m2.答案2，)6若函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析对f(x)求导，得f(x)x4.由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，所以t1t1或t3t1，解得0t1或2t0，因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以x0,1时，f(x)minf(0)1.根据
4、题意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，则要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在x1,2上单调递减(可利用导数判断)，所以h(x)minh(2)，故只需a.答案三、解答题9已知函数f(x)x22aln x.(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2)处的切线斜率为1，为求实数a的值；(2)若函数g(x)f(x)在1,2上是减函数，求实数a的取值范围解(1)f(x)2x.由已知f(2)1，解得a3.(2)由g(x)x22aln x，得g(x)2x.由函数g(x)为1,2上的单调减函数，则g(x)0在1,2上恒成立
5、，即2x0在1,2上恒成立，即ax2在1,2上恒成立令h(x)x2，在1,2上h(x)2x0，所以h(x)在1,2上为减函数，h(x)minh(2).所以a.10(2014北京西城区一模)已知函数f(x)ln x，其中aR.(1)当a2时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)如果对于任意x(1，)，都有f(x)x2，求a的取值范围解(1)由f(x)ln x，得f(x)， 所以f(1)3.又因为f(1)2，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为3xy50.(2)由f(x)x2，得ln xx2，即axln xx22x.设函数g(x)xln xx22x，则g(x
6、)ln x2x1.因为x(1，)，所以ln x0,2x10，所以当x(1，)时，g(x)ln x2x10，故函数g(x)在x(1，)上单调递增，所以当x(1，)时，g(x)g(1)1.因为对于任意x(1，)，都有f(x)x2成立，即对于任意x(1，)，都有ag(x)成立，所以a1.11(2014山西临汾四校联考)已知函数f(x).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)x22x3，证明：对任意x1(1,2)(2，)，总存在x2R，使得f(x1)g(x2)(1)解f(x)，设h(x)2ln(x1)x1，则h(x)0，h(x)在(1，)上是单调递增函数，又h(2)0，当x(1,2)时，h(
7、x)0，则f(x)0，f(x)是单调递减函数；当x(2，)时，h(x)0，则f(x)0，f(x)是单调递增函数综上知：f(x)在(1,2)上是单调递减函数；在(2，)上是单调递增函数(2)证明对任意x1(1,2)(2，)，总存在x2R，使得f(x1)g(x2)恒成立等价于f(x)g(x)min恒成立，而g(x)min2，即证f(x)2恒成立，即证20恒成立，也就是证0，设G(x)ln(x1)2，G(x)0，G(x)在(1，)上是单调递增函数，又G(2)0，当x(1,2)时，G(x)0，则0，当x(2，)时，G(x)0，则0，综上可得：对任意x1(1,2)(2，)，总存在x2R，使得f(x1)g(x2)