1、2绝对值不等式的解法考纲定位重难突破1.理解绝对值的几何意义，会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围2.会解含一个绝对值符号和含两个绝对值符号共四种类型的绝对值不等式.重点：绝对值不等式的几何解法难点：能利用绝对值不等式解决实际问题.授课提示：对应学生用书第10页自主梳理一、含有绝对值的不等式的解法1|x|a二、|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法1|axb|c(c0)型不等式的解法是：先化为不等式组caxbc，再利用不等式的性质求出原不等式的解集2|axb|c(c0)的解法是：先化为axbc或axbc，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集三、|xa|xb|c和|xa|xb|c型
2、不等式的解法1可以利用绝对值不等式的几何意义2利用分类讨论的思想，以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的符号，进而去掉绝对值符号3可以通过构造函数，利用函数图象，得到不等式的解集双基自测1不等式|的解集是()A(0,2)B(，0)C(2，) D(，0)(0，)解析：由绝对值的意义知，原不等式同解于0，即x(x2)0，0x2，故选A.答案：A2不等式|x1|x2|2的解集是_解析：当x1时，1x2x1，x1；当1x2时，x12x2恒成立，即1x2；当x2时，x1x22，即2x5，2x.综上，x.答案：3不等式|x2|x|的解集是_解析：|x2|x|(x2)
3、2x244x0x1.答案：x|x14若不等式|ax2|6的解集为(1,2)，则实数a_.解析：由|ax2|6得8ax0时，x.因为不等式的解集为(1,2)，所以解得两值相矛盾当a0时，x，则解得a4，综上得，a4.答案：4授课提示：对应学生用书第11页探究一含有绝对值的不等式的解法例1解下列不等式：(1)|x1|2；(2)|2x1|23x；(3)3|x2|x1|.解析(1)|x1|22x121x3，所以原不等式的解集为x|1x3(2)|2x1|23x或x或xx，所以原不等式的解集为.(3)3|x2|43x24或4x235x6或2x1，所以原不等式的解集为x|2x1或5x|x1|(x2)2(x1
4、)2x24x4x22x1x，所以原不等式的解集为.绝对值不等式的常见类型及其解法(1)形如|f(x)|a(aR)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即当a0时，|f(x)|aaf(x)af(x)a或f(x)a；当a0时，|f(x)|af(x)0；当a0时，|f(x)|af(x)有意义(2)形如|f(x)|g(x)|型不等式此类问题的简单解法是利用平方法，即|f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2f(x)g(x)f(x)g(x)0.(3)形如|f(x)|g(x)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(其中
5、g(x)可正也可负)若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂(4)形如a|f(x)|a0)型不等式此类问题的简单解法是利用等价命题法，即a|f(x)|b(0ab)af(x)b或bf(x)a.(5)形如|f(x)|f(x)型不等式此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即|f(x)|f(x)f(x)0；|f(x)|f(x)x. 1解下列不等式：(1)2|3x1|0；(3)|2x1|x.解析：(1)2|3x1|323x13或33x1233x4或23x11x或x0或或0x1或x0且x1x1且x1，所以不等式的解集为x|x1且x1(3)|2x1|xx8；(2)解不等式f(x)|2x1|x4|2.解析(1
6、)法一：由代数式|x3|，|x3|知，3和3把实数集分为三个区间：x3，3x3，x3.当x8，即x4，此时不等式的解集为x|x4当3x8，此时不等式无解当x3时，x3x38，即x4，此时不等式的解集为x|x4，取式的并集得原不等式的解集为|x|x4法二：分别画出函数y1|x3|x3|和y28的图象，如图所示y1不难看出，要使y1y2，只需x4.原不等式的解集为|x|x4(2)令y|2x1|x4|，则y作出函数y|2x1|x4|与函数y2的图象，它们的交点为(7,2)和.所以|2x1|x4|2的解集为(，7).|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图
7、象法和几何法分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况(1)分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解，即|x|也即x为非负数时，|x|为x；x为负数时，|x|为x，即x的相反数(2)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)|xa|xb|c的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式不妨设a1的解集解析：(1)由题意得f(x)故yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1
8、x3，f(x)1的解集为.探究三含参数的绝对值不等式的解法例3已知不等式|x2|x3|m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为，分别求出m的范围解析法一：因|x2|x3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(2)，B(3)距离的差即|x2|x3|PA|PB|.由图象知(|PA|PB|)max1，(|PA|PB|)min1.即1|x2|x3|1.(1)若不等式有解，m只要比|x2|x3|的最大值小即可，即m1；(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x2|x3|的最小值还小，即m1；(3)若不等式的解集为，m只要不小于|x2|x3|的最大值即可，即
9、m1.法二：由|x2|x3|(x2)(x3)|1，|x3|x2|(x3)(x2)|1，可得1|x2|x3|1.(1)若不等式有解，即m1.(2)若不等式解集为R，即m1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，)绝对值不等式的综合应用典例已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解析(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个
10、顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)规律探究(1)对于含有绝对值的综合应用题，首先考虑的是零点分段法去绝对值，把函数转化为分段函数，其次结合图象求解参数或自变量的范围(2)解决已知不等式的解集求其参数的范围问题，仍然是利用转化的思想，将其转化为函数的最大(小)值问题.随堂训练对应学生用书第13页1不等式3|52x|9的解集为()A2,1)4,7)B(2,1(4,7C2,14,7) D(2,14,7)解析：因为|52x|2x5|，则原不等式等价于32x59或92x53，解得4x7或2x1，故解集为(2,14,7)答案：D2已知集合Ax|x25x60，集合Bx|2x1|3，则集合AB()Ax|2x3Bx|2x3Cx|2x3 Dx|1x3解析：Ax|x25x60x|2x3，Bx|2x1|3x|x1或x2，ABx|2x3，故应选C.答案：C3不等式|2x1|x1的解集是_解析：原不等式等价于|2x1|x1x12x1x10x2.答案：x|0x2
