1、1.函数的单调性（1）单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I,如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时，若,则f(x)在上是增函数.若,则f(x)在上是减函数.（2）单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或,则称函数f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性,叫做f(x)的单调区间.2.3 函数的单调性与最大（小）值要点梳理f(x1)f(x2)区间D区间D增函数减函数区间D2.函数的最值（1）设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M，满足：对于任意的xI,都有；存在x0I,使得.则称M是f(x)的最大值.（2）设函数y=f(x)的定义域为I，如果存
2、在实数M,满足：对于任意的xI,都有；存在x0I,使得.则称M是f(x)的最小值.3.判断函数单调性的方法(1)定义法：利用定义严格判断.f(x)Mf(x0)=Mf(x)Mf(x0)=M(2)利用函数的运算性质:如若f（x）、g(x)为增函数,则 f（x）+g（x）为增函数；为减函数（f（x）0）；为增函数（f（x）0）；f（x）g（x）为增函数（f（x）0，g（x）0）；-f（x）为减函数.（3）利用复合函数关系判断单调性.法则是“”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为,若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为.同增异减增函数减函数(4)图象法.(5)奇函数在两
3、个对称的区间上具有的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有的单调性.(6)导数法若f（x）在某个区间内可导，当f（x）0时，f（x）为函数；当f(x)0时，f(x)为函数.若f（x）在某个区间内可导，当f（x）在该区间上递增时，则f（x）0；当f（x）在该区间上递减时，则f（x）0.相同相反增减1.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数，则f(x)=0的根（）A.有且只有一个B.有2个C.至多有一个D.以上均不对解析f（x）在R上是增函数，对任意x1,x2R,若x1x2,则f(x1)f(x2),反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个.若对任意xR都无f(x)=0,则f(x)=0无根
4、.基础自测C2.(2008保定联考）已知f(x)是R上的增函数，若令F（x）=f（1-x）-f（1+x），则F（x）是R上的()A.增函数B.减函数C.先减后增的函数D.先增后减的函数解析 特殊值法.取f(x)=x,则F（x）=（1-x）-（1+x）=-2x为减函数.B3.若函数f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在区间（-，1上是减函数，则a的取值范围是()A.-3，-1B.（-，-3-1，+）C.1，3D.（-，13，+）解析f（x）是二次函数且开口向上，要使f(x)在（-，1上是单调递减函数，则必有即a2-4a+30,解得1a3.C4.函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a、b
5、、cR，则a2-3b0时，f(x)是（）A.增函数B.减函数C.常数函数D.单调性不确定的函数解析f(x)=3x2+2ax+b,=4a2-12b=4(a2-3b)0恒成立，所以f(x)是增函数.A5.(2009成都检测)已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间0,m上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为（）A.1，+）B.0，2C.（-，-2D.1，2解析f（x）=（x-1）2+2，其对称轴为x=1,当x=1时，f(x)min=2,故m1,又f(0)=3,f(2)=3,m2.综上，1m2.D已知函数证明：函数f(x)在(-1,+)上为增函数.【思维启迪】（1）用函数单调性的定义.（2）用导
6、数法.证明方法一任取x1,x2(-1,+),不妨设x10,1且0,又x1+10,x2+10,题型一 函数的单调性判定及证明于是故函数f(x)在(-1,+)上为增函数.方法二求导数得a1,当x-1时，f(x)0在（-1，+）上恒成立，则f(x)在（-1，+）上为增函数.方法三 a1,y=ax为增函数，又在（-1，+）上也是增函数，在（-1，+）上为增函数.探究拓展 对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函数则可以利用导数解之.判断函数在定义域上的单调性.【思维启迪】此题f(x)是由两个函数复合而成，只需判断这
7、两个函数的单调性.解函数的定义域为xx-1或x1,则可分解成两个简单函数.的形式.当x1时，u(x)为增函数，为增函数.在1，+）上为增函数.题型二 复合函数的单调性当x-1时，,u(x)为减函数，为减函数，在（-，-1上为减函数.探究拓展(1)复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”，即f(u)与g(x)有相同的单调性，则fg(x)必为增函数，若具有不同的单调性，则fg(x)必为减函数.(2)讨论复合函数单调性的步骤是：求出复合函数的定义域；把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其单调性；把中
8、间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性.求与下列函数的最值与值域：（1）（2）（3）【思维启迪】（1）二次函数配方；（2）基本不等式或利用函数的单调性；（3）式子的几何意义，数形结合法.解（1）由3+2x-x20得函数定义域为-1，3，又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.t0，4，0，2，从而，当x=1时，ymin=2当x=-1或x=3时，ymax=4.故值域为2，4.题型三 求函数的值域或最值（2）方法一 函数是定义域为x|x0上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x0时,即可知x0时的最值.当x0时，等号当且仅当x=2时取得当x0时，y-4
9、等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-，-44，+），无最值.方法二任取x1,x2,且x1x2,因为所以当x-2或x2时，f(x)递增，当-2x0或0 x0时，f(x)1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.【思维启迪】（1）是抽象函数单调性的证明，所以要用单调性的定义.（2）将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”，为此需将右边常数3看成某个变量的函数值.解（1）设x1,x2R，且x10,f(x2-x1)1.2分f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)
10、题型四函数单调性与不等式=f(x2-x1)-10.5分f（x2）f(x1).即f(x)是R上的增函数.6分（2）f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，f（2）=3，8分原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2),f(x)是R上的增函数，3m2-m-22,10分解得故解集为12分探究拓展 f(x)在定义域上（或某一单调区间上）具有单调性，则f(x1)f(x2)f(x1)-f(x2)0，若函数是增函数，则f(x1)f(x2)x10,则 当0 x2x1 时，则f（x1）-f（x2）0，即f(x1)x2 时，则f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在上是增函数.f（
11、x）是奇函数，f（x）分别在上为增函数；f（x）分别在上为减函数.方法二由可得当时或时，f(x)0f(x)分别在上是增函数.同理或时，f(x)0即f(x)分别在上是减函数.2.求函数的单调区间.解由4x-x20，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则 t=4x-x2=-（x-2）2+4，t=4x-x2的单调减区间是2，4），增区间是（0，2又在（0，+）上是减函数，函数的单调减区间是（0，2，单调增区间是2，4).3.在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x（x0）台的收入函数为R（x）=3
12、000 x-20 x2(单位：元)，其成本函数为C（x）=500 x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？解（1）P（x）=R（x）-C（x）=（3 000 x-20 x2）-（500 x+4 000）=-20 x2+2 500 x-4 000（x1，100且xN）.MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20(x+1)2+2 500（x+1）-4 000-（-20 x2+2 500 x-4 000）=2 480-40 x（x1，100且xN）.（2）+74 125,当
13、x=62或63时，P(x)max=74 120（元）.因为MP（x）=2 480-40 x是减函数，所以当x=1时，MP(x)max=2 440(元）.因此，利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值.4.（2009广西河池模拟）已知定义在区间（0，+）上的函数f(x)满足且当x1时，f(x)0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.（2）任取x1,x2(0,+)，且x1x2,则由于当x1时，f(x)0,所以即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)f(x2)
14、,所以函数f(x)在区间(0,+)上是单调递减函数.（3）由得而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(x)在区间（0,+）上是单调递减函数，由f(|x|)9,x9或x9或x1,函数f(x)的单调减区间为D2.D3.函数y=lg(x2+2x+m)的值域是R，则m的取值范围是（）A.m1B.m1C.m1D.mR解析函数的值域是R，令u(x)=x2+2x+m,则u(x)的值域应包含（0,+），故=4-4m0,m1.C4.函数f(x)(xR）的图象如下图所示,则函数g(x)=f(logax)(0a1)的单调减区间是（）A.B.C.D.解析 y=logax(0a1)为减函数,根据复合函数的单调
15、性及图象知，当即时，g(x)为减函数故其单调减区间为C5.C 6.C7.已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)f(1-2m),则m的取值范围是.解析依题意，原不等式等价于8.9.8x1,则x2-x10.f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)0,f(x2)f(x1),f(x)在（-,+)上为增函数.（2）x|-2x-1或2x3.11.（1）证明任设x1x20,x1-x20,f(x1)f(x2),f(x)在(-,-2)内单调递增.(2)00时,(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；（2）求f(x)在-3，3上的最值.解（1）f(x)在R上是单调递减函数.证明如下：令x=y=0,f(0)=0,令x=-y可得：f(-x)=-f(x),在R上任取x10,f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).又x0时，f(x)0,f(x2-x1)0,即f(x2)f(x1).由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.（2）f(x)在R上是减函数，f（x）在-3，3上也是减函数.f（-3）最大，f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)f(-3)=-f(3)=2.即f(x)在-3，3上最大值为2，最小值为-2.返回
