1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。63.4平面向量数乘运算的坐标表示首都北京的中轴线是北京的中心标志，也是世界上现存最长的城市中轴线，在北京700余年的建筑格局上，中轴线起着相当重要的作用，但是科学家们发现“中轴线”并不是“正南正北”的朝向，即它并没有和子午线重合. 【问题1】如何判断两条直线平行或重合呢？ 【问题2】两向量是否共线又如何判断呢？ 【问题3】学习了向量的坐标表示后，向量共线的充要条件如何用坐标表示？1平面向量数乘运算的坐标表示符号表示若a，则a文字表示实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原
2、来向量的相应坐标2.平面向量共线的坐标表示条件a，b，其中b0结论向量a，b(b0)共线的充要条件是x1y2x2y10向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线的知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据若a，b，且x2y20，则向量a，b共线时，它们的坐标之间的关系如何用比例形式表示？提示：可以表示为.3中点坐标公式已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是线段P1P2的
3、中点，则点P的坐标为1已知向量a(2，4)，b(1，2)，则a2b成立吗？2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a与b共线，则成立吗？3已知A(0，2)，B(4，4)，则线段AB的中点坐标为(2，3)吗？4已知A(1，3)，B(9，1)，且A，B，C三点共线，则C点的坐标可以是(7，0)吗？提示：1.成立2.不一定3.是的4.可以对教材第32页例8，想一想：本题条件下，若点P(x，y)在直线AB上，其坐标x，y应满足什么关系？提示：，由，可得240，整理得，2xy10.1已知a(1，1)，b(2，0)，则3a2b()A(7，0) B(7，2)C.(1，3) D(7，3)【解析】选D.a(1
4、，1)，b(2，0)，所以3a2b3(1，1)2(2，0)(7，3).2下列各对向量中，共线的是()A.a(2，3)，b(3，2)B.a(2，3)，b(4，6)C.a(，1)，b(1，)D.a(1，)，b(，2)【解析】选D.A，B，C中各对向量都不共线，D中ba，两个向量共线基础类型一向量数乘的坐标运算(数学运算)1设向量a，b，c，用a，b作基底可将c表示为cpaqb，则实数p，q的值为()A.p4，q1 Bp1，q4C.p0，q4 Dp1，q4【解析】选B.由题得(3，2)p(1，2)q(1，1)(qp，2pq)，所以解得p1，q4.2已知向量a(1，2)，b(2，3)，c(3，4)，且
5、c1a2b，则1，2的值分别为()A.2，1 B1，2C.2，1 D1，2【解析】选D.因为c1a2b，所以(3，4)1(1，2)2(2，3)(122，2132)，所以解得11，22.3如图，已知|1，AOC30，若xy，则xy()A.1 B2 C3 D4【解析】选C.建立如图所示的平面直角坐标系，根据条件不妨设A(1，0)，则B，C，则由xy得x(1，0)y，所以解得x2，y1，所以xy3.向量数乘坐标运算的三个关注点(1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用；(2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解题；(3)解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相
6、同解题基础类型二向量共线坐标表示的简单应用(数学运算)【典例】1.下列四组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()Aa(1，2)，b(2，4)Ba(3，4)，b(4，3)Ca(2，1)，b(2，1)Da(3，5)，b(6，10)【解析】选B.对于A，因为1(4)2(2)0，所以不可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底；对于B，因为334470，所以可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底；对于C，因为21(1)(2)0，所以不可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底；对于D，因为310560，所以不可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底2(2021重庆高一检测)已知向量a(2
7、，x)，b(1，x1)，若(2ab)a，则x()A2 B2 C D【解析】选B.根据题意，向量a(2，x)，b(1，x1)，则2ab(3，x1)，若(2ab)a，则有2(x1)3x，解可得x2.3已知a(1，2)，b(3，2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？【解析】因为a3b(1，2)3(3，2)(10，4).kabk(1，2)(3，2)(k3，2k2)，又(kab)(a3b)，故4(k3)10(2k2)，即k.这时kab，且a3b与ab的对应坐标异号，故当k时，kab与a3b平行，并且是反向的本例3的条件下，若aub与ab共线，试确定与u的关系【解析】因为a(1
8、，2)，b(3，2)，所以ab(1，2)(3，2)(2，4)，aub(1，2)u(3，2)(3u，22u).又因为(aub)(ab)，所以(2)(22u)4(3u)0.所以u.1向量共线的判定方法2利用向量共线求参数值的方法微提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减1已知向量a(1，1)，b(1，0)，ab与a2b共线，则()AB2CD2【解析】选C.由a(1，1)，b(1，0)，得：ab(1，1)(1，0)(，)，a2b(1，1)2(1，0)(3，1)，因为ab与a2b共线，所以30，即2.
9、则.2已知向量a(1，3)，b(2，1).向量ma2b，nab.(1)求向量m，n的坐标；(2)判断向量m与n是否平行，并说明理由【解析】(1)由a(1，3)，b(2，1)，得ma2b(1，3)(4，2)(5，1)，nab(2，1)；(2)m(5，1)，n，因为51140，所以向量m与n不平行综合类型向量共线坐标表示的综合应用(逻辑推理)三点共线问题已知A(1，1)，B(1，3)，C(1，5)，试判断A，B，C三点共线吗？已知A(1，1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，试判断直线AB平行于直线CD吗？【解析】因为(1(1)，3(1)(2，4)，(1(1)，5(1)(2，6)，所以2
10、4260，所以与不共线，所以A，B，C不共线，因为(1(1)，3(1)(2，4)，(21，75)(1，2).又22410，所以.又(2，6)，(2，4)，所以24260，所以A，B，C不共线，所以AB与CD不重合，所以ABCD.点拨：题中，关键是判断与不共线；题中，关键是判断，且A，B，C不共线三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点【加固训练】 已知O为坐标原点，(1，1)，(3，1)，(a，b).(1)若A
11、，B，C三点共线，求a，b的关系(2)若2，求点C的坐标【解析】(1)因为已知(1，1)，(3，1)，(a，b)，若A，B，C三点共线，则，即，即(a1，b1) (2，2)，所以a12，b12，即ab2.(2)若2，(a1，b1)2(2，2)，所以a5，b3，所以点C的坐标为(5，3).求点的坐标【典例】如图所示，在AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，AD与BC相交于点M，求点M的坐标【解析】因为(0，5)，所以C.因为(4，3)，所以D.设M(x，y)，则(x，y5)，.因为，所以x2(y5)0，即7x4y20.又，因为，所以x40，即7x16y20，联立解得x，y2，故点M
12、的坐标为.应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤【加固训练】 如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标【解析】设P(x，y)，则(x，y)，因为(4，4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2，6)，且与共线，则得(x4)6y(2)0，解得xy3，所以P点的坐标为(3，3).【备选例题】 已知A(2，1)，B(3，1)及直线l：y4x5，直线AB与l相交于P点，求P点分的比.【解析】设P(x，y)，则由及定比分点坐标公式得：(x，y)，又因为P点在直线l上，所以45，所以.【知识拓展】线段定比分点的坐标公式(1)线段定比分点的定义如图所示，
13、设点P(x，y)是直线P1P2上不同于P2的点，且满足，叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以为定比的定比分点(2)定比分点的坐标表示设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则(xx1，yy1)(x2x，y2y)，即因为1，则点P的坐标为.创新拓展与三角函数的综合问题(数学抽象)【典例】(2021合肥高一检测)如图，扇形的半径为1，圆心角BAC150，点P在弧BC上运动，则的最小值是()A0 B C2 D1【解析】选D.以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(cos 150，sin 150)，设P(cos ，sin )，(015
14、0)，因为，所以(cos ，sin )(1，0)，于是，解得cos sin ，2sin ，那么sin cos 2sin (60)，因为0150，所以6060210，故sin (60)，因此的最小值为1.从向量线性运算的坐标表示的有关结论入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的有关知识对三角式进行化简，或结合三角函数的图象和性质进行求解创新题型新情境问题 (数学运算)【典例】我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若a，
15、b，E为BF的中点，则()Aab BabCab Dab【解析】选A.如图所示，建立平面直角坐标系不妨设AB1，BEx，则AE2x.所以x24x21，解得x.设BAE，则sin ，cos .所以xEcos ，yEsin .设mn，则m(1，0)n(0，1).所以m，n.所以ab.用向量线性运算坐标表示解题的策略(1)根据图形的垂直关系和对称关系建立恰当的平面直角坐标系；(2)利用向量线性运算的坐标表示的有关结论建立等量关系，求出有关参数的值【加固训练】 已知向量集合Ma|a(1，2)(3，4)，R，Na|a(2，2)(4，5)，R，则MN()A(1，1) B(1，2)，(2，2)C(2，2) D
16、【解析】选C.设aMN，则存在实数和，使得(1，2)(3，4)(2，2)(4，5)，即(3，4)(43，54)，所以解得所以a(2，2).所以MN(2，2)1已知向量a(2，3)，b(1，1)，则2ab()A(5，5) B(5，7) C(3，5) D(3，7)【解析】选A.2ab2(2，3)(1，1)(4，6)(1，1)(5，5).2已知两点A(2，1)，B(3，1)，与平行且方向相反的向量a可能是()Aa(1，2) Ba(9，3)Ca(1，2) Da(4，8)【解析】选D.由题意得(1，2)，结合选项可知a(4，8)4(1，2)4，所以D正确3(2021全国乙卷)已知向量a(2，5)，b(，4)，若ab，则_【解析】由已知，ab，则245，故.答案：4已知点A(1，5)和向量a(2，3)，若3a，则点B的坐标为_【解析】设O为坐标原点，因为(1，5)，3a(6，9)，故(5，4)，故点B的坐标为(5，4).答案：(5，4)5若点A(1，3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线【证明】由已知得，(8，4)，显然有748，所以.又因为直线AB，AC有公共点A，所以A，B，C三点共线关闭Word文档返回原板块
