1、习题课数学归纳法明目标、知重点1进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题2掌握证明nk1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等 1归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明2数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n有关的数学命题；(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；(3)注意点：在第二步递推归纳时，从nk到nk1必须用上归纳假设题型一用数学归纳法证明不等式思考用数学归纳法
2、证明不等式的关键是什么？答用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由nk到nk1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明nk1时的结论例1已知数列bn的通项公式为bn2n，求证：对任意的nN*，不等式都成立证明由bn2n，得，所以.下面用数学归纳法证明不等式成立(1)当n1时，左边，右边，因为，所以不等式成立(2)假设当nk(k1且kN*)时不等式成立，即成立则当nk1时，左边.所以当nk1时，不等式也成立由(1)、(2)可得不等式对任意的nN*都成立反思与感悟用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标在凑证明目标时，比较法、综合法、分
3、析法都可选用跟踪训练1用数学归纳法证明1(n2，nN*)证明当n2时，左式，右式1，因为，所以不等式成立假设nk(k2，kN*)时，不等式成立，即1，则当nk1时，1112)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)k(k1)，那么，当nk1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)k(k1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k1条直线共有f(k)k个交点，即f(k1)f(k)kk(k1)kk(k12)k(k1)(k1)(k1)1，当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，对任意nN*(n2)命题都成立反思与感悟用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二
4、要注意有必要的文字说明跟踪训练3有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)n2n2部分证明(1)n1时，分为2块，f(1)2，命题成立；(2)假设nk(kN*)时，被分成f(k)k2k2部分；那么当nk1时，依题意，第k1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，即nk1时命题成立，由(1)(2)知命题成立呈重点、现规律1数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等2证明问题
5、的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.3从nk到nk1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.一、基础过关1用数学归纳法证明等式123(n3) (nN*)，验证n1时，左边应取的项是()A1 B12C123 D1234答案D解析等式左边的数是从1加到n3.当n1时，n34，故此时左边的数为从1加到4.2用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2 B3C5 D6答案C解析当n取1、2、3、4时2nn21不成立，当n5时，253252126，第一个能使2nn21的n值为5，故选C.3已知f(n)1(nN
6、*)，证明不等式f(2n)时，f(2k1)比f(2k)多的项数是()A2k1项 B2k1项C2k项 D以上都不对答案C解析观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)1，而f(2k1)1.因此f(2k1)比f(2k)多了2k项4用数学归纳法证明不等式(nN*)的过程中，由nk递推到nk1时，下列说法正确的是()A增加了一项B增加了两项和C增加了B中的两项，但又减少了一项D增加了A中的一项，但又减少了一项答案C解析当nk时，不等式左边为，当nk1时，不等式左边为，故选C.5用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开(
7、)A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3答案A解析假设当nk时，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可6已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an (nN*)依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为_答案Sn解析S11，S2，S3，S4，猜想Sn.7已知正数数列an(nN*)中，前n项和为Sn，且2Snan，用数学归纳法证明：an.证明(1)当n1时，a1S1(a1)，a1(an0)，a11，又1，n1时，结论成立(2)假设nk
8、(kN*)时，结论成立，即ak.当nk1时，ak1Sk1Sk(ak1)(ak)(ak1)()(ak1).a2ak110，解得ak1(an0)，nk1时，结论成立由(1)(2)可知，对nN*都有an.二、能力提升8对于不等式n1 (nN*)，某学生的证明过程如下：当n1时，11，不等式成立假设nk (nN*)时，不等式成立，即k1，则nk1时，.假设nk时，不等式成立则当nk1时，应推证的目标不等式是_答案解析观察不等式中的分母变化知，.10证明：62n11能被7整除(nN*)证明(1)当n1时，62117能被7整除(2)假设当nk(kN*)时，62k11能被7整除那么当nk1时，62(k1)1
9、162k12136(62k11)35.62k11能被7整除，35也能被7整除，当nk1时，62(k1)11能被7整除由(1)，(2)知命题成立11求证：(n2，nN*)证明(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时命题成立，即.则当nk1时，()()(3)，所以当nk1时不等式也成立由(1)和(2)可知，原不等式对一切n2，nN*均成立12已知数列an中，a1，其前n项和Sn满足anSn2(n2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明解当n2时，anSnSn1Sn2.Sn(n2)则有：S1a1，S2，S3，S4，由此猜想：Sn(nN*)用
10、数学归纳法证明：(1)当n1时，S1a1，猜想成立(2)假设nk(kN*)猜想成立，即Sk成立，那么nk1时，Sk1.即nk1时猜想成立由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想结论均成立三、探究与拓展13已知递增等差数列an满足：a11，且a1，a2，a4成等比数列(1)求数列an的通项公式an；(2)若不等式(1)(1)(1)对任意nN*，试猜想出实数m的最小值，并证明解(1)设数列an公差为d(d0)，由题意可知a1a4a，即1(13d)(1d)2，解得d1或d0(舍去)所以an1(n1)1n.(2)不等式等价于，当n1时，m；当n2时，m；而，所以猜想，m的最小值为.下面证不等式对任意nN*恒成立下面用数学归纳法证明：证明(1)当n1时，命题成立(2)假设当nk时，不等式，成立，当nk1时，只要证 ，只要证，只要证2k2，只要证4k28k34k28k4，只要证34，显然成立所以，对任意nN*，不等式恒成立
