1、高考资源网（） 您身边的高考专家4平面向量基本定理及坐标表示4.1平面向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养1.理解平面向量基本定理及其意义(重点)2体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题(难点).通过平面向量基本定理的推导与应用，培养逻辑推理与数学运算素养.1平面向量基本定理(1)定义：如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为e1，e22标准正交基若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基在正交基下向量的线性表示称为正交分解若基中的两个
2、向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基思考：1.0能不能作为基中的一个基向量？提示：由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基向量2平面向量的基唯一吗？提示：不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基1设e1，e2是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基的是()Ae1e2和e1e2B3e14e2和6e18e2Ce12e2和2e1e2De1和e1e2BB中，6e18e22(3e14e2)，(6e18e2)(3e14e2)，3e14e2和6e18e2不能作为基2如图，已知a，b，3，用a，b表示，则等于()AabBabCabDabB()ab.3如图，在平
3、行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中、R，则_.设a，b，则ab，ab，又ab，()，即，.4设M、N、P是ABC三边上的点，它们使，若a，b，试用a，b将、表示出来解如图，()ba.同理可得ab.()ab.对向量基的理解【例1】下列关于基的说法正确的是()平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基；基中的向量可以是零向量；平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的ABCDC由平面向量基本定理可知，只有是正确的考查两个向量是否能构成基，主要看两向量是否非零向量且不共线.此外，一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基唯一线性表示出
4、来.若e1，e2是平面内的一组基，则下列四组向量能作为平面向量的基的是()Ae1e2，e2e1B2e1e2，e1e2C2e23e1,6e14e2De1e2，e1e2D只有e1e2与e1e2不共线，故选D用基表示平面向量【例2】如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若a，b，试以a，b为基表示，.解四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，2，2，b，a.babab，ba.若本例中其他条件不变，设a，b，试以a，b为基表示，.解取CF的中点G，连接EG.E、G分别为BC，CF的中点，b，ab.又，ab.又，bab.应用平面向量基本定理时的关注点(
5、1)充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角形中确定向量的关系.(2)应用数乘向量时特别注意线段的比例关系，如中点、三等分点等.(3)一个重要结论：设a、b是同一平面内的两个不共线的向量，若x1ay1bx2ay2b，则有.平面向量基本定理的应用【例3】如图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM与BPPN的值解设e1，e2，则3e2e1，2e1e2.A，P，M和B，P，N分别共线，存在实数，使得e13e2，2e1e2.故(2)e1(3)e2.而2e13e2，由平面向量基本定理，得解得，APPM4，BPPN.1在本例条件下，若a，b，
6、试用a，b表示.解由例3解析知BPPN，则，b()babba.2若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求APPM与BPPN的值解如图，设e1，e2，则2e2e1，2e1e2.A，P，M和B，P，N分别共线，存在实数，使得e12e2，2e1e2.故(2)e1(2)e2.而2e12e2，由平面向量基本定理，得解得，APPM2，BPPN2.1事实上，母题探究2给出了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21.2例3求解的关键是在同一组基下，对向量算了两次，然后根据平面向量基本定理可知其对应向量系数相等，从而可得关于，的方程组，解方程组即得这种方法叫“算两次”，是一种重要的
7、数学方法1基的特征(1)一组基是两个不共线向量；(2)基的选择是不唯一的2准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基，将问题中涉及的向量向基化归，使问题得以解决1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基()(2)零向量不能作为基向量()(3)平面向量基本定理中基的选取是唯一的()(4)若ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，则ac，bd()答案(1)(2)(3)(4)2已知平行四边形ABCD，下列各组向量中，是该平面内所有向量基的是()A，B，C，D，D结合图形及基的概念知D正确，故选D3如图所示，在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则_.由B，H，C三点共线，可令x(1x)，又M是AH的中点，所以x(1x)，又.所以x(1x).4如图，ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设a，c.(1)用a，c表示向量；(2)若点F在AC上，且ac，求AFCF.解(1)ca，(ca)，()a(ca)ca.(2)设，a(ca)(1)ac. 又ac，AFCF41.- 8 - 版权所有高考资源网
