1、滨州行知中学2017-2018学年第一学期期末考试高三数学(理科)试题第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内,复数 满足 ,则 的共轭复数对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.设集合 , ,若 ,则 的取值范围是( )A B C D 3.已知直线 : , : ,若 : ; : ,则 是 的( )A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 4.设 , 满足约束条件 ,则目标函数 的最小值为( )A B C. D 5.我国古代数学典籍九章算术“
2、盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述.如图所示,则输出的 值为( )A B C. D 6.如图所示的阴影部分是由轴及曲线 围成,在矩形区域 内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率是( ) A B C. D 7.若双曲线的中心为原点,是双曲线的焦点,过 的直线 与双曲线相交于 , 两点,且 的中点为 ,则双曲线的方程为( ) A B C. D 8.已知函数 (其中 为自然对数的底数),额 的大致图像为( )A B C. D9.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )A B C. D 10.已知点
3、 是抛物线 : 的焦点,点 为抛物线 的对称轴与其准线的交点,过 作抛物线 的切线,切点为 ,若点 恰好在以 , 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )A B C. D 11.设偶函数 定义在 上,其导数为 ,当 时, ,则不等式 的解集为( )A BC. D12.已知函数 的定义域为 ,若对于 , , , 分别为某个三角形的三边长,则 为“三角形函数”,下列四个函数为“三角形函数”的是( )A BC. D 第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知向量 , ,若向量 与 垂直,则 14.已知呈线性相关的变量 , 之间的关系如下表所示:由表中数据,得到
4、线性回归方程,由此估计当 为 时, 的值为 15. 展开式中,各项系数之和为 ,则展开式中的常数项为 16.已知函数 的图象关于点 对称,记 在区间 的最大值为 ,且 在 ( )上单调递增,则实数 的最小值是 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知数列 的前 项和为 ,且满足 ( )(1)求数列 的通项公式;(2)设 求数列 的前 项和 .18. 已知四棱锥 中, 平面 ,底面 为菱形, , 是 中点, 是 的中点, 是 上的点.(1)求证:平面平面 ;(2)当 是 中点,且 时,求二面角 的余弦值.19. 某市一次全市高中男生身高统计
5、调查数据显示:全市 名男生的身高服从正态分布 .现从某学校高三年级男生中随机抽取 名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于 和 之间,将测量结果按如下方式分组: , , ,得到的频率分布直方图如图所示.(1)试评估该校高三年级男生在全市男生中的平均身高状况;(2)求这 名男生身高在 以上(含 )的人数;(3)在这 名男生身高在 以上(含 )的人中任意抽取 人,该 人中身高排名(从高到低)在全市前 名的人数记为 ,求 的数学期望.参考数据:若 ,则 ,20. 已知椭圆 : ( )的左、右顶点分别是 、 ,上顶点是 ,圆 : 的圆心 到直线 的距离是 ,且椭圆的右焦点与抛物线 的焦点重合.(1)求
6、椭圆 的方程;(2)平行于 轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为、,直线 、 与 轴的交点记为、 ,试判断 是否为定值,若是,证明你的结论.若不是,举反例说明. 21. 已知 .(1)当 时,求 的极值;(2)若 有 个不同零点,求 的取值范围;(3) ,求证: .请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程极坐标系的极点为直角坐标系 的原点,极轴为 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线 的极坐标方程为 , .(1)求曲线 的直角坐标方程;(2)在曲线 上求一点 ,使它到直线 : ( 为参数)的距离最短,写出 点的
7、直角坐标系.23.选修4-5:不等式选讲已知函数 ( ).(1)若的解集为 ,求 的值;(2)若 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.数学(理科)试题参考答案一、选择题1-5:AACAB 6-10:ABDDC 11、12:CB二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解:(1)当 时, 得: ,即 ,又 ,得 ,数列 是以 为首项, 为公比的等比数列 ( ),即( )(2)(), ()18.证明:(1)连接 ,底面 为菱形, , 是正三角形, 是 中点, ,又 , 平面 , 平面 , ,又 , 平面 .又 平面 ,平面 平面 解:(2)由(1)得, , , 两两垂直.以 ,
8、,所在直线分别为 轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设 ,则 则 , , , , , , , , ,设是平面 的一个法向量,则 ,取 ,得 .同理可求,平面 的一个法向量 则 观察可知,二面角的平面角为锐角二面角 的平面角的余弦值为 .19.解:(1)由频率分布直方图,经过计算该校高三年级男生平均身高为 .高于全市的平均值 (或者:经过计算该校高三年级男生平均身高为 ,比较接近全市的平均值 )(2)由频率分布直方图知,后三组频率为 人数为 ,即这 名男生身高在 以上(含 )的人数为 人.(3) , .所以,全市前名的身高在 以上,这 人中 以上的有 人.随机变量 可取 , , ,
9、 , 20.解:(1) 方程为: 即为: 由题意得整理得: , (舍) 椭圆 : (2)设直线 : ,令 得 , 方程为: 令 得 设 ,则 且 ,即 所以 是定值为 21.解:(1)当 时, , , 为减函数 , , 为增函数 ,无极大值(2) 1当 时, ,只有一个零点 2当 时, , , 为减函数 , , 为增函数而 当 , ,使 当 时, 取 , 函数由 个零点3当 时, 令 得 , ,即 时,当 变化时, , 变化情况是 函数 至多有一个零点,不符合题意 时, , 在 单调递增 至多有一个零点,不合题意 时,即 时当 变化时 , 的变化情况是 , 时, 函数 至多有一个零点综上: 的
10、取值范围是 (3)令 令 为增函数 取 , , 存在唯一 使 ,即 , ,即 , 为减函数 , ,即 , 为增函数 对 有 即 22.解:(1)由, ,可得 曲线 的直线坐标方程为 (2)直线 的参数方程为 ( 为参数),消去 得 的普通方程为 , 与 相离,设点 ,且点 到直线 : 的距离最短,则曲线 在点 处的切线与直线 : 平行. ,又 (舍)或 , 点 的坐标为 23.解:(1) ,即 ,两边平方并整理得 所以 , 是关于 的方程 的两根由根与系数的关系得 解得 (2)因为 ,所以若不等式 恒成立,只需 当 时, ,解得 ;当 时, ,此时满足条件的 不存在综上可得实数 的取值范围是 .